交汇创新——函数的新定义问题①②③①③④本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性第二章基本初等函数、导数及其应用奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点f(x＋T)＝f(x)最小最小DBD4．(必修1P39习题1.3B组T3改编)若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，则函数f(x)在(－∞，0)上为________．5．(必修1P39习题1.3A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝_______________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．减函数x(1－x)考点一函数的周期性A考点二判断函数的奇偶性考点三函数奇偶性的应用(高频考点)A1(－1，3)CC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)如果T，使得当x取定义域内的任何值时都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数那么这个________正数就叫f(x)的最小正周期．
1．辨明三个易误点
(1)应用函数的周期性时应保证自变量在给定的区间内．
(2)判断函数的奇偶性易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
(3)判断函数f(x)是奇函数必须对定义域内的每一个x均有f(－x)＝－f(x)而不能说存在x使f(－x)＝－f(x
2．活用周期性三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－则T＝2a.
3．奇、偶函数的三个性质
(1)在奇、偶函数的定义中(－x)＝－f(x)或f(－x)＝(x)是定
(2)奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．
(3)设f(x)(x)的定义域分别是D那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇奇×奇＝偶偶＋偶＝偶偶×偶＝偶奇×偶＝奇．
1．(2015·高考福建卷)下列函数为奇函数的是()
＝＝
C．y＝＝－－x
2．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1]上的偶函数那么a＋b的值是()
－－
解析：因为f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1]上的偶函数所以a－1＋2a＝0所以a＝又f(－x)＝f(x)所以b＝0所以a＋b＝
3．(2016·河北省五校联盟质量监测)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数当x∈[－2)时(x)＝则f＝()
C. D．－1
解析：因为f(x)是周期为3的周期函数所以＝f＝f＝4×－2＝－1.
(2014·高考安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数且0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________．
[解析因为f(x)是以4为周期的奇函数所以f＝＝f＝＝f因为当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)所以＝＝因为当1
若本例中“奇函数”变
解：因为f＝f＝＝＝f＝f＝＝－所以f＋f＝－
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数且周期为T函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性可以由函数局部的性质得到函数的整体性质在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
1.(2016·广东省阳东一中、广雅中学高三联考)已知函数(x)是定义在(－∞＋∞)上的奇函数若对于任意的实数x≥0都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0)时f(x)＝(x＋1)则f(－2015)＋f(2016)的值为()
－1－2
解析：因为f(x)是奇函数且周期为2所以f(－2015)＋f(2016)＝－f(2015)＋f(2016)＝－f(1)＋(0)．又当x∈[0)时(x)＝(x＋1)所以f(－2015)＋(2016)＝－1＋0＝－1.
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
[解(1)原函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)－＝－＝－f(x)从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1关于原点对称．又f(－1)＝(1)＝0(－1)＝－f(1)＝0所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为Rx＞0时(－x)＝－(－x)－2＝－(x＋2)＝－(x)；当x＜0时(－x)＝(－x)＋2＝－(－x－2)＝－(x)；当x＝0时(0)＝0也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．
(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路
定义法
②图象法
(2)分段函数奇偶性的判断应注意：要注意定义域内x取值的任意性应分段讨论讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简判断f(x)与f(－x
2.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解：(1)因为函数f(x)＝＋的定义域为不关于坐标原点对称所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)由得－2≤x≤2且x≠0所以f(x)的定义域为[－2)∪(0，2]，关于原点对称．所以f(x)＝＝所以f(x)＝－f(－x)所以f(x)是奇函数．
(3)易知函数0)∪(0，＋∞)关于原点对称又当x＞0时(x)＝x＋x则当x＜0时－x＞0故(－x)＝x－x＝f(x)；当x＜0时(x)＝x－x则当x＞0时－x＜0故f(－x)＝x＋x＝f(x)故原函数是偶函数．
函数的奇偶性是函数的重要性质常与函数的单调性及周期性相结合命题以选择题或填空题的形式考查难度稍大为中高档题．
高考对函数奇偶性考查主要有以下五个命题角度：
(1)求函数解析式
(2)求函数解析式中参数的值；
(3)函数的奇偶性与单调性相结合；
(4)函数的奇偶性与周期性相结合；
(5)函数的奇偶性与对称性相结合．
(1)(2016·嘉兴一模)已知函数y＝(x)＋x是奇函数且f(2)＝1则f(－2)＝()
－1
C．－5
(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x(x＋)为偶函数则a＝________．
(3)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0＋∞)单调递减(2)＝0.若f(x－1)＞0则x的取值范围是______________．
[解析(1)因为y＝f(x)＋x是奇函数所以f(－x)－x＝－[f(x)x]，即f(－x)＝－f(x)所以f(x)为奇函数所以f(－2)＝－f(2)＝－1故选(2)因为f(x)为偶函数所以f(－x)－f(x)＝0恒成立所以－x(－x＋)－x(x＋)＝0恒成立所以x＝0恒成立所以＝0即a＝1.
(3)
因为f(x)是偶函数所以图象关于y轴对称．又f(2)＝0且f(x)在[0f(x)的大致图象如图所示由(x－1)得－2
与函数奇偶性有关问题的解决方法
(1)已知函数的奇偶性求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上再利用奇偶性求出或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)从而得到f(x)的解析式．
(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式由系数的对等性得参数的值或方程求解．
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
3.(1)(2016·唐山高三年级统一考试)已知(x)是R上的奇函数当x≥0时(x)＝x＋(1＋x)则当x＜0时(x)＝()
－x－(1－x)＋(1－x)
－(1－x) D．－x＋(1－x)
(2)(2016·洛阳统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是()
＝－1＝－
＝＝1
解析：(1)当x<0时－x>0(－x)＝(－x)＋(1－x)因为f(x)是R上的奇函数所以当x＜0时(x)＝－f(－x)＝－[(－x)＋(1－x)]所以f(x)＝x－(1－x)．(2)因为f(2x＋1)是偶函数其图象关于y轴即x＝0对称而f(2x＋1)＝，所以f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到即f(2x)的图象的对称轴方程是x＝
新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型的新定义函数问题主要以“新概念函数”为载体利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查．(2)性质型新定义函数多以
对于函数f(x)若存在区间A＝[m]，使得{y|y＝(x)，x∈A}＝A则称函数f(x)为“同域函数”区间A为函数f(x)的一个“同域区间”．给出下列四个函数：
(x)＝x；②f(x)＝x－1；
(x)＝|x－1|；④f(x)＝(x－1)．
存在“同域区间”的“同域函数”的是________．(
[解析]①取区间[0]，则，所以f(x)＝x∈[0，1]．所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；
取区间[－1]，则函数f(x)＝x－1在该区间上单调递减故f(0)≤f(x)≤f(－1)即f(x)∈[－1]．所以该函数为存在“同域区间”
③f(x)＝|x－1|＝取区间[0]，则函数f(x)＝1－x在该区间上单调递减故f(1)≤f(x)≤f(0)即(x)∈[0，1]．所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；
④函数f(x)＝(x－1)的定义域为(1＋∞)且该函数在定义域上为单调递增函数．假设存在区间[m]，使得(x)∈[m，n]，则有
即
若该方程组有解则方程2＝x－1有两个不同的实数解．如图分别作出函数y＝2与y＝x－1的图象显然两函数图象没有公共点即方程2＝x－1无解．所以不存在区间[m]，使得f(x)∈[m]，即该函数不是存在“同域区间”的“同域函数”．
综上填①②③.
该题以函数的定义域与值域的求解为背景存在“同域区间”的“同域函数”的实质就是函数的定义域与值域相同此类新定义函数问题以比较常见的基本初等函数为考查重点涉及函数零点、方程根的个数的求解等问题．如④中的函数f(x)＝(x－1)要利该题中方程2＝x－1无解所以不是新定义的函数；而如果该方程只有一个实数解则也不是新定义的函数；当且仅当该方程有两个解时该函数才是新定义的函数．
设函数f(x)的定义域为D如果存在非零常数T对任意的x∈D都有f(x＋T)＝T·f(x)则称函数(x)是“似周期函数”非零常数T为函数f(x)的“似周期”．现有四个关于“似周期函数”的命题：
如果“似周期函数”fx)的“似周期”为－1那么它是周期为2的周期函数；
函数f(x)＝x是“似周期函数”；
函数f(x)＝2－x是“似周期函数”；
如果函数f(x)＝是“似周期函数”那么“ω＝kZ”．
其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①如果“似周期函数”f(x)的“似周期”为－1则f(x－1)＝－f(x)所以(x－1)＝－f(x)＝－[－f(x＋1)]＝f(x＋1)故它是周期为2的周期函数故①正确；对于②若函数f(x)＝x是“似周期函数”则存在非零常数T对任意的x∈R都有f(x＋T)＝T·f(x)即x＋T＝Tx即(1－T)x＋T＝0对任意的x∈R恒成立显然不成立故②不正确；对于③若函数f(x)＝2－x是“似周期函数”则存在非零常数T对任意的x∈R都有2－x－T＝－x即(T－2－T)·2－x＝0对任意的x∈R恒成立则－2－T＝0由函数y＝x－的单调性可知存在T＞0使得T－2－T＝0
故函数f(x)＝2－x是“似周期函数”故③正确；对于④若函数f(x)＝是“似周期函数”则存在非零常数T使得cos[(x＋T)]＝(ωx＋ωT)＝T·故T＝1或T＝－1且ωT＝kZ，故ω＝kZ，故正确．
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