第二章第11讲

本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用第11讲变化率与导数、导数的计算第二章基本初等函数、导数及其应用切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xn(n∈Q)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝______________f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝_____________________－sinxex0nxn－1f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)u对xyu′·ux′y对uBB3(－ln2，2)考点一导数的计算考点二导数的几何意义(高频考点)1(1，1)B交汇创新——导数与其他知识的交汇－1栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x)处的____________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地切线方程为________________．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝________________为f(x)的导函数．







3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝____________；

(3)＝____________(g(x)≠0)．



4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)＝(x)的导数间的关系为y＝________即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．



1．辨明三个易误点

(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)′＝nx－1与指数函数的求导公式(a)′＝a混淆．

(2)求曲线切线时要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别前者只有一条而后者包括了前者．

(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

2．导数运算的技巧

(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式再利用运算法则求导数；

(2)对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形转化为较易求导的结构但必须注意变形的等价性避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．



1．(选修2-2练习(4)改编)函数y＝x－的导数为()

sinx－x

C．xcosx D．－x

解析：＝x′x(cosx)′－()′＝－－＝－x

2．(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2则曲线f(x)在点(0(0))处的切线方程为()

＝0＝2x

＝x＝－2x

解析：因为f(x)＝2所以f(0)＝0(x)＝2(sinx＋)，所以f′(0)＝2所以曲线f(x)在点(0(0))处的切线方程为y＝2x.

3．(2015·高考天津卷)已知函数f(xaxlnx，x∈(0，＋∞)其中a为实数(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3则a的值为________．

解析：x)＝a＝a(1＋)．由于f′(1)＝a(1＋)＝a又f′(1)＝3所以a＝3.

4．(2016·长春质量检测)若函数f(x)＝则f′(2)＝________．



解析：由f′(x)＝得f′(2)＝



5．(2014·高考江西卷)若曲线y＝－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0则点P的坐标是________．

解析：设P(x)，因为y＝－x所以y′＝－－x所以点P处的切线斜率为k＝－－x＝－2所以－x＝所以x＝－所以y＝＝2所以点P的坐标为(－)．

求下列函数的导数：

(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；(2)y＝x；

(3)y＝3－2＋；(4)y＝；

(5)y＝(2x－5)．

[解(1)因为y＝(3x－4x)(2x＋1)＝6x＋3x－8x－4x＝6x－5x－4x所以y′＝18x－10x－4.(2)y′＝(x)′sinx＋x(sinx)′＝2x＋x(3)y′＝(3)′－(2)′＋＝(3)′ex＋3(ex)′－(2)′

＝3＋3－2＝(＋1)·(3)x－2

(4)y′＝＝＝(5)令u＝2x－5＝则y′＝()′u′＝＝即y′＝



导数计算的原则和方法

(1)求导之前应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简然后求导这样可以减少运算量提高运算速度减少差错．

(2)复合函数的求导要正确分析函数的复合层次通过设中间变量确定复合过程然后求导.

1.求下列函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝(1＋)2.

解：(1)y′＝nxn－1＋x＝x－1(n＋x)．(2)y′＝＝－(3)y′＝＋＝.

(4)y′＝2(1＋)·(1＋)′＝2(1＋sin)·cosx.

导数的几何意义是每年高考的必考内容考查题型既有选择题也有填空题也常出现在解答题的第(1)问中难度偏小属中低档题．

高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：

(1)已知切点求切线方程；

(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；

(3)已知切线方程求参数值．

(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1(1))处的切线过点(2)，则a＝________．

(2)(2015·高考陕西卷)设曲线y＝在点(0)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直则P的坐标为________．

[解析(1)因为f′(x)＝3ax＋1所以f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．因为切线过点(2)，所以7－(a＋2)＝3a＋1解得a＝1.

(2)y′＝曲线y＝在点(0)处的切线的斜k1＝＝1设P(m)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k＝－(m>0)因为两切线垂直所以k＝－1所以m＝1＝1则点P的坐标为(1)．



(1)求曲线切线方程的步骤

求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数即曲线y＝(x)在点P(x(x0))处切线的斜率；

由点斜式方程求得切线方程为y－f(x)＝f′(x)·(x－x)．

(2)求曲线的切线方程需注意两点

当曲线y＝f(x)在点P(x(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时切线方程为xx0；

当切点坐标不知道时应首先设出切点坐标再求解.

2.(1)(2016·威海质检)已知函数f(x)＝x若直线l过点(0－1)并且与曲线y＝f(x)相切则直线l的方程为()

＋y－1＝0－y－1＝0

＋y＋1＝0－y＋1＝0

(2)(2016·云南省调研)函数f(x)＝的图象在点(－1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．



解析：(1)因为点(0－1)不在曲线(x)＝x上所以设切点为(x)．又因为f′(x)＝1＋所以解得x＝1＝0.所以切点为(1)，所以f′(1)＝1＋＝1.所以直线l的方程为y＝x－1即x－y－1＝0.

(2)f′(x)＝＝则f′(－1)＝－4故该切线方程为y＝－4x－2切线在x轴上的截距分别为－－2故所求三角形的面积为

抛物线y＝x在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x)是区域D内的任意一点则x＋2y的取值范围是________．



[解析]由于y′＝2x所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)即y＝2x－1.

画出可行域(如图)．设x＋2y＝z则y＝－＋可知当直线y＝－＋经过点，B(0，－1)时分别取到最大值和最小值此时最大值z＝最小值z＝－2故取值范围是



(1)本题以y＝x在x＝1处的切线问题为条件利用导数的几何意义求得切线方程构造出求x＋2y的取值范围的可行域充分体现了导数与线性规划的交汇．

(2)利用导函数的特性在求解有关奇(偶)函数问题中发挥出奇妙的作用．

(3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．

(2016·武汉高三月考)已知曲线(x)＝x＋1(n∈N)与直线x＝1交于点P设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x则＋＋…＋的值为________．

解析：(x)＝(n＋1)x＝f′(1)＝n＋1点P(1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)令y＝0得x＝1－＝即x＝所以x＝××…××＝则＋＋…＋＝(x1·x2·…·x2015)＝＝－1.