交汇创新——定积分与概率的交汇B1.2本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用第14讲定积分与微积分基本定理第二章基本初等函数、导数及其应用下限上限CB3350考点一定积分的计算考点二利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)A2考点三定积分在物理中的应用C342栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用
1．定积分的概念
在(x)dx中分别叫________与积分________区间[a]叫做积分区间(x)叫做被积函数叫做积分变量(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)(x)dx＝____________(k为常数)；
(2)[f(x)±f2(x)]dx＝________________；
(3)(x)dx＝(x)dx＋____________(其中a
kf(x)dx
f1(x)dxf2(x)dx
f(x)dx
3．微积分基本定理
一般地如果f(x)是区间[a]上的连续函数且F′(x)＝f(x)那么(x)dx＝____________这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
为了方便常把F(b)－F(a)记作________即(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
F(b)－F(a)
F(x)
1．辨明三个易误点
(1)若积分式子中有几个不同的参数则必须先分清谁是积分变量．
(2)定积分式子中隐含的条件
(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积但要注意：面积为正而定积分的结果可以为负．
2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分
(1)利用微积分基本定理求定积分其步骤如下
求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
计算F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时可通过求曲边梯形的面积求定积分．
如：定积分的几何意义是求单位圆面积的所以＝
1．(2014·高考陕西卷)定积分(2x＋)dx的值为()
＋2＋1
－1
解析：(2x＋)dx＝(x＋)＝e，故选
2．(选修2-2例1改编)由曲线y＝x＝围成的封闭图形的面积为()
B.
C. D．1
解析：由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为(－x)dx＝＝B.
3．若＝9则常数T的值为________．
解析：因为＝＝9所以T＝3.
4.dx＝________．
解析：由定积分的几何意义可知dx为圆(x－1)＋y＝1在x轴上方的半圆面积即＝
5．(2016·天津模拟)作变速直线运动的质点的速度是v(t)＝
)，则该质点从t＝10到t＝30时所经过的路程是________
解析：＝(t)dt＝＋＝＋20t＝350.
利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)(x2x＋1)；
(2)(－)dx；
(3)－x|
[解(1)(x2＋2x＋1)＝＋＋＝＋x＋x＝(2)(sinx－)dx
＝－＝(－osx)－＝2.
(3)|1－x|＝(1－x)＋(x－1)＝|＋
＝－0＋－＝1.
若本例(3)变为“－1|试求之．
解：－1|＝(1－x)dx＋(x－1)＝＋＝＋＝
计算一些简单定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；
(2)把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
(3)分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数；
(4)利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个
(5)计算原始定积分的值．
分段函数的定积分要分段积分特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义其所求的值可正可负．
1.计算下列定积分：
(1)(3x－2x＋1)；
(2)x；
(3)dx.
解：(1)(3x－2x＋1)＝(x3－x＋x)＝24.(2)dx＝＝－(3)edx＝2|＝2－2.
利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题
高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：
(1)根据条件求平面图形面积；
(2)利用平面图形的面积求参数．
(1)(2015·高考天津卷)曲线y＝x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
(2)设a>0若曲线y＝与直线x＝a＝0所围成封闭图形的面积为a则a＝________．
[解析
(1)如图阴影部分的面积即为所求．由得A(1)．S＝(x－x)dx＝＝
(2)由题意知＝a又＝则＝a即＝a所以a＝
用定积分求平面图形面积的四个步骤
(1)画出草图在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2)借助图形确定出被积函数求出交点坐标确定积分的上、下限；
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
(4)计算定积分写出答案．
2.(1)如图函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()
C．2 D.
(2)由抛物线y＝x－1x＝0＝2及x轴围成的图形面积为________．
解析：(1)根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：＝＋＝＋＝＋－＝
(2)如图所示由y＝x－1＝0得抛物线与x轴的交点分别为(－1)和(1)．所以S＝－1|＝(1－x)dx＋(x－1)＝＋＝＋＝2.
一辆汽车在高速公路上行驶由于遇到紧急情况而刹车以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：的单位：)行驶至停止．在此期间汽车继m)是()
＋25＋25
C．4＋25＋50
[解析由v(t)＝7－3t＋＝0可得t＝4因此汽车从刹车到停止一共行驶了4此期间行驶的距离为v(t)dt＝＝＝4＋25
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程＝(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下沿着与(x)
相同方向从x＝a移动到x＝b时力F(x)所做的功是W＝(x)dx.
3.(2016·杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10已知(x)＝x＋1且方向和x轴正向相同则变力F(x)对质点M所做的功为________(x的单位：；力的单位：)．
解析：变力F(x)＝x＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为＝(x)dx＝(x＋1)＝＝342()．
(2015·高考福建卷)如图点A的坐标为(1)，点C的坐标为(2)，函数f(x)＝x若在矩形ABCD内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等于________．
[解析]由题意知阴影部分的面积
＝(4－x)dx＝(4x－)|＝
所以所求概率
＝＝＝
(1)本题将求几何概型的概率问题转化为求函数的定积分问题是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．
(2)利用定积分的几何意义考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点．
1.(2016·长沙模拟)如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0))与x轴围成向矩形OABC内随机投掷一点若落在阴影部分的概率为则a的值是()
C. D.
解析：由题意知构成试验的全部区域是矩形OABC面积为a·＝6.记“向矩形OABC内随机投掷一点若落在阴影部分”为事件A则构成事件A的区域即为阴影部分面积＝dx＝－＝1－由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝所以＝－又a∈(0)，所以a＝
2．(2015·高考陕西卷)如图一横截面为等腰梯形的水渠因泥沙沉积导致水________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)(－5)，(5，0)，得抛物线的函数表达式为＝－2抛物线与x轴围成的面积S＝dx＝梯形面积S＝＝16.最大流量比为S＝1.2.
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