第九章第4讲

本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第4讲随机事件的概率第九章计数原理、概率、随机变量及其分布确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，______________________的事件叫做相对于条件S的随机事件可能发生也可能不发生频率fn(A)3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)________(或________)相等关系若B?A且________，那么称事件A与事件B相等________并事件(和事件)若某事件发生________________________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)________(或A＋B)发生一定发生B?AA?BA?BA＝B当且仅当事件A发生或事件B发生A∪B定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生_________________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或________)互斥事件若A∩B为________事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝?对立事件若A∩B为________事件，A∪B为________，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝?且A∪B＝Ω当且仅当事件A发生且事件B发生A∩BAB不可能不可能必然事件0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)11－P(B)DBB≤D0.80.950.880.930.890.906栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布

1．事件的分类

2.概率与频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验观察某一事件A是否出现称n次试验中事件A出现的次数n为事件A出现的频数称事件A出现的比例f(A)＝________为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A由于事件A发生fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)因此可以用____________来估计概率P(A)．



4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：____________．

(2)必然事件的概率：P(A)＝________．

(3)不可能事件的概率：P(A)＝________．

(4)概率的

如果事件A与事件B互斥则P(A∪B)＝________．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件则A∪B为必然事件．

(A∪B)＝________(A)＝________．



1．辨明两个易误点

(1)易将概率与频率混淆频率随着试验次数变化而变化而概率是一个常数．

(2)对立事件是互斥事件是互斥中的特殊情况但互斥事件不一定是对立事件互斥”是“对立”的必要不充分条件．

2．集合方法判断互斥事件与对立事件

(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集则事件互斥．

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．



1．一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()

至多有一次中靶 B．两次都中靶

只有一次中靶 D．两次都不中靶

解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况由互斥事件的定义可知“两次都不中靶”与之互斥．

2．从某班学生中任意找出一人如果该同学的身高小于160的概率为0.2该同学的身高在[160](单位cm)内的概率为那么该同学的身高超过175的概率为()



C．0.7 D．0.8

解析：因为必然事件发生的概率是1所以该同学的身高超过175的概率为1－0.2－＝0.3故选

3．甲：A是互斥事件；乙：A是对立事件那么()

甲是乙的充分但不必要条件

甲是乙的必要但不充分条件

甲是乙的充要条件

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：两个事件是对立事件

4．(必修3习题3.1A组T改编)若A为互斥事件则P(A)＋P(B)________1(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．

解析：因为P(A)＝(B)＝且A与B是互斥事件．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝

5．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张事件A为“抽得红桃K”事件B为“抽得黑桃”则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．



考点一随机事件的关系

一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1将这个玩具向上抛掷1次设事件A表示向上的一面出现奇数点事件B表示向上的一面出现的点数不超过3事件C表示向上的一面出现的点数不小于4则()

与B是互斥而非对立事件

与B是对立事件

与C是互斥而非对立事件

与C是对立事件

[解析＝{出现点数1或3}事件A不互斥更不对立；B∩C＝B∪C＝Ω故事件B是对立事件．



事件间关系的判断方法

对互斥事件要把握住不能同时发生而对于对立事件除不能同时发生外其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解具体应用时可把所有试验结果写出来看所求事件包含哪些试验结果从而断定所给事件的关系.

1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅记事件A为“只订甲报纸”事件B为“至少订一种报纸”事件C为“至多订一种报纸”事件D为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是再判断它们是不是对立事件．

(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.

解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”即事件A与事件C有可能同时发生故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的故B与D是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件D一定发生且事件D不发生会导致事件B一定发生故B与D还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”由于这两个事件B与C不是互斥事件．(4)由(3)的分析事件D“一种报纸也不订”是事件C的一种可能即事件C与事件D有可能同时发生故C与D不是互斥事件．

考点二随机事件的频率与概率

(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份对西安市该年4月份的天气情况进行统计结果如下：

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天估计西安市在该天不下雨的概率；

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会估计运动会期间不下雨的概率．

[解(1)在容量为30的样本中不下雨的天数是26以频率估计概率月份任选一天西安市不下雨的概率为＝(2)称相1日与2日日与3日等)．这样在4月份中前一天为晴天的互邻日期对有16个其中后一天不下雨的有14个所以晴天的次日不下雨的频率为以频率估计概率运动会期间不下雨的概率为



(1)概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度频率是随机的而概率是一个确定的值通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

(2)随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率即通过大量的重复试验事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数这个常数就是概率．

2.某射击运动员在同一条件下进行练习结果如表所示：

射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率；

(2)这位射击运动员射击一次击中10环的概率为多少？

解：(1)击中10环的频率依次为0.8(2)这位射击运动员射击一10环的概率约为0.90.

考点三互斥事件、对立事件的概率(高频考点)

随机事件的概率注重对互斥事件和对

高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：

(1)根据互斥事件求概率；

(2)利用对立事件求概率．

(经典考题)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据如表所示．

一次购物量 1至

件 5至

件 9至

件 13至

17件

及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间

(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55

(1)确定x的值并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

[解(1)由已知得25＋y＋10＝55＋30＝45所以x＝15＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计其估计值为＝(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A)＝＝(A2)＝＝(A3)＝＝

因为A＝A且A是互斥事件所以P(A)＝P(A)＝P(A)＋(A2)＋(A3)

＝＋＋＝故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为



求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法

(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和运用互斥事件的求和公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率再用公式(A)＝1－P()即运用逆向思维(正难则反)特别是“至多”至少”型题目用间接求法就显得较简便.

3.(1)(2016·太原模拟)抛掷一颗骰子观察掷出的点数设事件A为出现奇数点事件B为出现2点已知P(A)＝(B)＝则出现奇数点或2点的概率是________．

(2)经统计在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：①至多2人排队等候的概率；

至少3人排队等候的概率．



解：(1)由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件因为P(A)＝(B)＝所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝＋＝故填

(2)记“无人排队等候”为事件A人排队等候”为事件B人排队等候”为事件C人排队等候”为事件D人排E，“5人及5人以上排队等候”为事件F则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．记“至多2人排队等候”为事件G则G＝A＋B＋C所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.法一：记“至少3人排队等候”为事件H则H＝D＋E＋F所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H则其对立事件为事G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.