C本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲几何概型第九章计数原理、概率、随机变量及其分布长度(面积或体积)BCCABBAB栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________成比例则称这样的概率模型为几何概率模型简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
(A)＝
1．辨明两个易误点
(1)几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影
(2)易混淆几何概型与古典概型两者共同点是基本事件的发生是等可能的不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的古典概型中基本事件的个数是有限的．
2．会解三种常见的几何概型
(1)与长度有关的几何概型其基本事件只与一个连续的变量有关；
(2)与面积有关的几何概型其基本事件与两个连续的变量有关若已知图形不明确可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标这样基本事件就构成了平面上的一个区域即可借助平面区域解决问题．
(3)
1．(2014·高考湖南卷)在区间[－2]上随机选取一个数X则X≤1的概率为()
C. D.
解析：在区间[－2]上随机选取一个数X则X≤1即－2≤X≤1的概率为P＝
2．(2016·九江第一次联考)在区间[0]上任取一个数x则使得2的概率为()
B.
C. D.
解析：因为2[0，2π]，
所以x∈所以所求概率P＝＝
3．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1称其为“安全飞行”则蜜蜂“安全飞行”的概率为()
B.
C. D.
解析：由已知条件可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝
4．(2016·江西省八所中学联考)已知实数a∈[－2]，则a∈{x∈R|x－2x－3≤0}的概率为________．
解析：－2x－3≤0－1≤x≤3故所求概率为P＝＝
5．(必修3练习改编)假设你在图中随机撒一把黄豆则它落在阴影部分的概率为________．
解析：设圆的半径为R由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形其直角边长为则所求事件的概率为＝＝＝
考点一与长度有关的几何概型
(1)(2015·高考山东卷)在区间[0]上随机地取一个数x则事件“－1≤(x＋)≤1”发生的概率为()
C. D.
(2)(2016·烟台模拟)在区间上随机取一个数x则的值介于0到之间的概率为________．
[解析(1)不等式－1≤(x＋)≤1可化为2≤log(x＋)≤，即＋解得0≤x≤故由几何概型的概率公式得P＝＝(2)当－时由0≤，得－－或，根据几何概型概率公式得所求概率为
本例(2)中若cosx的值介于0到改为“的值介于0到则概率如何？
解：当－时由0≤，
得－－或，
根据几何概型概率公式得所求概率为
与长度有关的几何概型的求法
解答关于长度的几何概型问题只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度即可利用几何概型的概率计算公式求解．此处的“长度”可以是线段的长短也可以表示时间的长短.
1.(1)在区间[－5]内随机地取出一个数a使得1∈{x|2x＋ax－a＞0}的概率为________．
(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)设a∈[0]，则函数(x)＝在区间(0＋∞)内为增函数的概率为________．
解析：(1)由1∈{x|2x＋ax－a＞0}得a－a－2＜0－1＜a＜2所以所求概率为＝(2)因为函数g(x)＝在区间(0＋∞)内为增函数所以a－2＜0解得a＜2所以函数(x)＝在区间(0＋∞)内为增函数的概率为＝
考点二与面积有关的几何概型(高频考点)
与面积有关的几何概型是高考命题的热点多以选择题或填空题的形式呈现试题难度不大多为容易题或中档题．
高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下三个命题角度：
(1)与平面图形面积有关的几
(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型；
(3)与定积分交汇命题的几何概型．
(1)(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中其中AB＝2＝1则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()
C. D.
(2)(2015·高考福建卷)如图矩形ABCD中点A在x轴上点B的坐标为(1)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点则此点取自阴影部分的概率等于()
B.
C. D.
[解析(1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事件E则P(E)＝＝＝(2)因为f(x)＝点坐标为(1)，所以C点坐标为(1)，D点坐标为(－2)，A点坐标为(－2)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6阴影部分的面积为＝故P＝＝
与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型时关键是弄清某事件对应的面积以求面积必要时可根据题意构造两个变量把变量看成点的坐标找到试验全部结果构成的平面图形以便求解.
2.(1)记集合A＝{(x)|x2＋y和集合B＝{(x)|x＋y－4≤0所表示的平面区域分别为Ω若在区域Ω内任取一点M(x)，则点M落在区域Ω内的概率为()
B.
C. D.
(2)(2016·山西省第三次四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P则△PBC的面积大于的概率为________．
(3)(2016·贵阳监测考试)若任取x[0，1]，则点(x，y)满足y≤x的概率为________．
解析：
(1)如图所示集合A所表示的平面区域Ω的面积为16集合B所表示的平面区域Ω(阴影部分)的面积为＝8所以点M落在区域Ω内的概率为＝故选
(2)设AB、AC上分别有点D、E满足AD＝且AE＝则△ADE∽△ABC且DE＝因为点A到DE的距离等于点A到BC的距离的所以DE到BC的距离等于△ABC高的当动点P在△ADE内时到BC的距离大于DE到BC的距离所以当P在△ADE内部运动时的面积大于所以所求概率为＝＝
(3)
如图因为曲线与坐标轴围成图形的面积S＝dx＝＝，所以所求概率P＝＝
考点三与体积有关的几何概型
(2016·长春第二次调研)如图在长方体ABCD-A中分别是棱A上的点(点E与B不重合)且EH∥A过EH的平面与棱BB相交交点分别为F设AB＝2AA＝2a＝a＝2B在长方体ABCD-A内随机选取一点则该点取自于几何体A内的概率为________．
[解析因为EH∥A所以EH∥B所以EH∥平面BCC1过EH的平面与平面BCC交于FG则EH∥FG所以易证明几何体A和EB分别是等高的五棱柱和三棱柱由几何概型可知所求概率为：P＝1－＝1－＝1－＝.
与体积有关的几
对于与体积有关的几何概型问题关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
3.在棱长为2的正方体ABCD-A中点O为底面ABCD的中心在正方体ABCD-A内随机取一点P则点P到点O的距离大于1的概率为()
－
D．1－
解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件M则P(M)＝＝1－
方法思想——转化与化归思想在几何概型中的应用
(2014·高考重庆卷)某校早上8：00开始上课假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
[解析]设小王到校时间为x，小张到校时间为y则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图原点O表示：30在平面直角坐标系中画出400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为＝故所求概率为P＝＝
本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x将已知转化为x所满足的不等式进而转化为坐标平面内的点(x)的相关约束条件从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．
甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到8：00～9：00之间到达且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的则两人见面的概率是()
C. D.
解析：由题意知若以8：00为起点则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0
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