本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第7讲离散型随机变量及其分布列第九章计数原理、概率、随机变量及其分布而变化一一列出概率分布列分布列011-ppP(X=1)min{M,n}CCD栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量:随着试验结果变化________的变量常用字母X表示.
(2)离散型随机变量:所有取值可以________的随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)概念:一般地若离散型随机变量X可能取的不同值为x取每一个值x(i=1)的概率P(X=x)=p则表
X x x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的____________简称为X的____有时为了表达简单也用等式P(X=x)=p=1表示X的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质
________(i=1);
②=________.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布则其分布列为
0 1 P ________ ________ 其中p=________称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中任取n件其中恰有X件次品则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=________,k=0其中m=________,且n≤NN,称分布列为超几何分布列.
X 0 1 … m P
________
________ …
________
1.辨明两个易误点
(1)确定离散型随机变量的取值时易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.
(2)对于分布列易忽视其性质p+p+…+p=1及p≥0(i=1),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.
2.分布列的三种求法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列;
2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列;
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.
1.10件产品中有3件次品从中任取2件可作为随机变量的是()
取到产品的件数
取到正品的概率
取到次品的件数
取到次品的概率
2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后若取得黑球则另换1个红球放回袋中直到取到红球为止.若抽取的次数为X则表示“放回5个红球”事件的是()
=4=5
=6
解析:事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球且第6次摸到红球故X=6.
3.(选修2-3习题2.1组改编)设随机变量X的分布列如下表所示则p的值是()
X 1 2 3 4 P A.1 B.
C. D.
解析:由分布列的性质得+++p=1所以p=
4.设随机变量X的分布列为P(X=k)==1则P=________.
解析:=P(X=1)+P(X=2)=+=
5.一盒中有12个乒乓球其中9个新的个旧的从盒中任取3个球来用用完后装回盒中此时盒中旧球个数X是一个随机变量其分布列为P(X)则P(X=4)的值为________.
解析:由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球故P(X=4)==
考点一离散型随机变量的分布列的性质
设X的分布列为
0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求:(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
[解由分布列的性质知:.2+0.1+0.1+0.3+m=1解得m=0.3.首先列表为:+1 1 3 5 7 9-1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为:(1)2X+1的分布列:
+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X-1|的分布列:-1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值此时要注意检验以保证每个概率值均为
(2)若X为随机变量则2X+1-1|等仍然为随机变量求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值再根据对应的概率写出分布列.
1.随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1 P a b c 其中a成等差数列则P(|X|=1)=________公差d的取值范围是________.
解析:因为a成等差数列所以2b=a+c.又a+b+c=1所以b=所以P(|X|=1)=a+c=又a=-d=+d根据分布列的性质得0≤-d≤+d≤所以-.
考点二离散型随机变量的分布列(高频考点)
离散型随机变量的分布列是高考命题的热点多以解答题的形式出现试题难度不大多为容易题或中档题.
高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度:
(1)与排列、组合有关的分布列的求法;
(2)与互斥事件有关的分布列的求法;
3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法.(下一讲内容)
(2015·高考安徽卷节选)已知2件次品和3件正品混放在一起现需要通过检测将其区分每次随机检测一件产品检测后不放回直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元)求X
[解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A(A)==
(2)X的可能取值为20000.
P(X=200)==(X=300)==(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--.
故X的分布列为X 200 300 400 P
求离散型随机变量的分布列的三个步骤
(1)找:找出随机变量X的所有可能取值x(i=1),并确定X=x的意义;
(2)求:借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(X=x)=p(i=1);
(3)列:列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
2.(2016·兰州双基过关考试)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片其中4张卡片上的数字是1张卡片上的数字是23.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数求X的分布列.(注:若三个数a满足a≤b≤c则称b为这三个数的中位数)
解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为==.
(2)X的所有可能取值为1且(X=1)==(X=2)==(X=3)==故X的分布列为X 1 2 3 P
考点三超几何分布
一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个.已知从袋中任意摸出2个球至少得到1个白球.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出3个球记得到白球的个数为X求随机变量X的分布列.
[解(1)记“从袋中任意摸出2个球至少得到1个白球”为事件A设袋中白球的个数为x则P(A)=1-=得到x=5.故白球有5个.
(2)X服从超几何分布其中N=10=5=3(X=k)==0于是可得其分布列为
在本例条件下若从袋中任意摸出4个球记得到白球的个数为X求随机变量X的分布列.
解:服从超几何分布其中N=10=5=4(X=k)==0于是可得其分布列为
X 0 1 2 3 4 P
超几何分布的特点
(1)对于服从某些特殊分布的随机变量其分布列可直接应用公式给出.
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题随机变量为抽到的某类个体的个数随机变量取值的概率实质上是古典概型.
3.(2015·高考天津卷节选)为推动乒乓球运动的发展某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名2名;乙协会的运动员5名其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数求随机变量X的分布列.
解:(1)由已知有P(A)==所以事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1(X=k)(k=1).所以随机变量X的分布列为
交汇创新——离散型随机变量的概率与平面向量的交汇
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点再从A(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列.
[解](1)从8个点中任取两C=28(种)当X=0时两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)==
(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2-1=-2时有2种情形;X=1时有8种情形;X=-1时有10种情形.所以X的分布列为
X -2 -1 0 1 P
离散型随机变量的概率与向量、不等式、方程等知识交汇是近年来命题的热点解决本类问题的关键就是将向量、不等式或方程问题进行转化使之成为解决离散型随机变量的概率问题的条件.
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