CBA本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布第九章计数原理、概率、随机变量及其分布x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平偏离aE(X)＋ba2D(X)npp(1－p)np(1－p)上方x＝μ1集中分散ACB栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：E(X)＝______________为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的______．
(2)D(X)＝(x－E(X))为随机变量X的方差它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均________程度其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(a为常数)．
3．两点分布与二项
X X服从两点分布 X～B(n) E(X) p(p为成功概率) ________ D(X)
________ ________
4.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴________与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的它关于直线________对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为________；
(5)当σ一定时曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时曲线的形状由σ确定．σ越小曲线越“瘦高”表示总体的分布越________；σ越大曲线越“矮胖”表示总体的分布越________．
1．辨明两个易误点
(1)均值E(X)是一个实数由X的分布列唯一确定即X作为随机变量是可变的而(X)是不变的它描述X值的取值平均状态．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b(aX＋b)＝a(X)．
2．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；
(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
3．求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量X的均值、方差求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差可直接用X的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)可直接利用它们的均值、方差公式求解．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝()
C. D．3
解析：(X)＝1×＋2×＋3×＝故选
2．已知随机变量X服从正态分布N(0)．若P(X>2)＝则P(－2≤X≤2)＝()
C．0.954 D．0.977
解析：因为μ＝0所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2)，则D(X)等于()
C．10 D．16
解析：因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6所以D(X)＝[(－4)＋(－2)＋0＋2＋4]＝8.
4．已知随机变量X的分布列为：
X －1 0 1 P
且设Y＝2X＋3则Y的均值是________．
解析：由分布列性质有＋＋a＝1即a＝；(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝3－＝
5．(选修2-3习题2.3组改编)抛掷两枚骰子当至少一枚5点或一枚6点出现时就说这次试验成功则在10次试验中成功次数的均值为________．
解析：抛掷两枚骰子当两枚骰5点和6点时的概率为＝所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝用X表示10次试验中成功的次数则X～，E(X)＝10×＝
考点一离散型随机变量的均值(高
离散型随机变量的均值是高考命题的热点多以解答题的形式呈现多为中档题．
高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度：
(1)已知离散型随机变量符合的条件求其均值；
(2)已知离散型随机变量的均值求参数值．
(2014·高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
[解记E＝{甲组研发新产品成功}＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝()＝(F)＝()＝且事件E与F与与F与都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}则＝于是P()＝P()P)＝＝故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝
(2)设企业可获利润为X万元则X的可能取值为0因为P(X＝0)＝P()＝＝(X＝100)＝P()＝＝(X＝120)＝P(E)＝＝(X＝220)＝P(EF)＝＝
故所求的分布列为
数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
求离散型随机变量X的均值的方法
(1)理解X的意义写出X可能取的全
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求E(X)．
1.(2016·沈阳教学质量监测)为向国际化大都市目标迈进某市今年新建三大类重点工程它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．
(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X求X的分布列和数学期望．
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A、B、C＝1由题意知A、A、A、B、B、B、C、C、C均相互独立．则P(A)＝＝(Bi)＝＝(Ci)＝＝＝1(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：＝P(A1B2C3)＝6××＝
(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：＝＝由X～B得P(X＝k)＝(k＝0)，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 P 其数学期望为E(X)＝3×＝2.
考点二均值与方差的实际应用
(2016·山西省四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题按照题目要求独立完成全部3道题中至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为且每题正确完成与否互不影响．
(1)求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；
(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
[解(1)由题意知X的可能取值为1(X＝1)＝＝(X＝2)＝＝(X＝3)＝＝所以考生甲正确完成题目数的分布列为：
X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为Y因为Y～B其分布列为：P(Y＝k)＝·，k＝0所以E(Y)＝3×＝2.又因为D(X)＝(1－2)＋(2－2)＋(3－2)＝(Y)＝3×＝所以D(X)＜D(Y)．
又因为P(X≥2)＝＋＝0.8(Y≥2)＝＋P(X≥2)＞P(Y≥2)．从做对题数的数学期望来看两人水平相当；从做对题数的方差来看甲较稳定；从至少完成2道题的概率来看甲获得通过的可能性较大因此可以判断甲的实验操作能力强．
均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度(X)越大表明平均偏离程度越大说明X的取值越分散；反之(X)越小的取值越集中在E(X)附近统计中常用来描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度它们从整体和全局上刻画了随机变量是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据一般先比较均值若
2.(2016·云南省第一次统一检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛射击次数相同已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环他们比赛成绩的统计结果如下：
环数击中频率选手 7 8 9 10 甲 0.2 0.15 0.3 乙 0.2 0.2 0.35 请你根据上述信息解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛请你从随机变量均值意义的角度谈谈让谁参加比较合适？
解：(1)记甲运动员击中n环为事件A(n＝7)；乙运动员击中n环为事件B(n＝7)，甲运动员击中的环数不少于9环为事件A乙运动员9环为事件B根据已知事件A与事件A互斥事件B与事件B互斥事件A与B相互独立则P(A)＝(A9)＋P(A)＝1－0.2－0.15＝0.65(B9∪B10)＝P(B)＋P(B)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575.
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y根据已知得X、Y的可能取值为：7甲运动员射击环数X的分布列为：
X 7 8 9 10 P 0.2 0.15 0.3 0.35甲运动员射击环数X的均值(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
乙运动员射击环数Y的概率分布列为：
乙运动员射击环数Y的均值(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.因为E(X)>E(Y)所以从随机变量均值意义的角度看选甲去比较合适．
考点三正态分布
(1)(2016·长春质检)已知随机变量X服从正态分布N(1)，若P(X＞2)＝0.15则P(0≤X≤1)＝()
．5
(2)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布(0，32)，从中随机取一件其长度误差落在区间(3)内的概率为()
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
[解析(1)P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝－P(X＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝(－6＜ξ＜6)＝故P(3＜ξ＜6)＝＝＝＝13.59故选
正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ进行对比联系确定它们属于(μ－σ＋σ)(μ－2σ＋2σ)(μ－3σ＋3σ)中的哪一个．
3.设随机变量X～N(1)，且P(X≤0)＝(X≥a－2)则实数a的值为()
C．8 D．10
解析：由正态分布的性质可知(X≤0)＝X≥2)，所以a－2＝2故a＝4.
交汇随机变量的均值与其他知识的交汇
(2015·高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨使用设备1小时获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨使用设备1.5小时获利元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍设备每天生产A两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单
W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产使其获利最大因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量．
(1)求Z的分布列和均值；
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
[解](1)设每天A两种产品的生产数量分别为x相应的获利为z
则有()
目标函数为z＝1000x＋1200y.
将z＝1000x＋1200y变形为l：y＝－＋
设l：y＝－
①
②
③
当W＝12时()表示的平面区域如图①阴影部分所示三个顶点分别为A(0)，B(2.4，4.8)，C(6，0).
平移直线l知当直线l过点B
即当x＝2.4＝4.8时取最大值
故最大获利Z＝z＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160(元)．
当W＝15时()表示的平面区域如A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)．
平移直线l知当直线l过点B
即当x＝3＝6时取得最大值
故最大获利Z＝z＝3×1000＋6×1200＝10200(元)．
当W＝18时()表示的平面区域如图③阴影部分所示
四个顶点分别为A(0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0).
平移直线l知当直线l过点C
即当x＝6＝4时取得最大值
故最大获利Z＝z＝61000＋4×1200＝10800(元)．
故最大获利Z的分布列为
Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此(Z)＝8160×0.3＋10200×0.5＋10800×0.2＝9708.
(2)由(1)知一天最大获利超过10000元的概率p＝(Z>10000)＝0.5＋0.2＝0.7
由二项分布天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p＝11－p)3＝1－0.3＝0.973.
(1)本题是线性规划和离散型随机变量的分布列、均值交汇考查了对数学的应用意识．根据题目所给信息需要提炼出线性约束条件和目标函数考查了数据处理能力．在求Z的值时应用了数形结合思想．
(2)离散型随机变量的均值常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、数列、不等式等知识交汇题目设计新颖是近几年高考考查的热点．
(2016·云南省师大附中适应性考试)甲、乙两支球队进行总决赛比赛采用五场三胜制即若有一队先胜三场则此队为总冠军比赛就此结束．因两队实力相当每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计第一场比赛可获得门票收入40万元以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为220万元的概率；
(2)设总决赛中获得的门票总收入为X求X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)依题意每场比赛获得的门票收入组成首项为40公差为10的等差数列．设此数列为{a则易知a＝40＝10n＋30故S＝令S＝220解得n＝－11(舍去)或n＝4所以此决赛则前三场的比分必为1∶2且第四场比赛为领先的球队获胜其概率为××＝
(2)随机变量X可取的值为S即150又P(X＝150)＝2×＝(X＝220)＝××＝(X＝300)＝××＝分布列如下：
X 150 220 300 P 所以X的数学期望为E(X)＝150×＋220×＋300×＝232.5(万元)．
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