考题溯源——基本不等式的实际应用16040本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明第3讲基本不等式第六章不等式、推理与证明a≥0，b≥0a＝bx＝y最小x＝y最大DCD525m2CC1－116栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第六章不等式、推理与证明
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：____________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．算术
设a>0则a的算术平均数为________几何平均数为________基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0则
(1)如果积xy是定值p那么当且仅当________时＋y有________值是________．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p那么当且仅当________时有________值是________．(简记：和定积最大)
2
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值一正二定三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
＋b(a，b∈R)；＋(a，b同号)；
(a，b∈R)；(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
1．若x>0且x＋y＝则xy的最大值为()
B．2
C. D.
解析：因为x>0且x＋y＝所以xy≤＝＝
2．(2016·郑州模拟)设a>0若a＋b＝1则＋的最小值是()
C．4 D．8
解析：由题意＋＝＋＝2＋＋＋2＝4当且仅当＝即a＝b＝时取等号所以最小值为4.
3．若aR，且ab>0则下列不等式中恒成立的是()
2＋b＋b≥2
＋ D.＋
解析：因为a＋b－2ab＝(a－b)所以错误．对于当a<0时明显错误．对于因为ab>0所以＋＝2.
4．若x>1则x＋的最小值为________．
解析：＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．
解析：设矩形的长为x宽为y则x＋y＝10所以S＝xy≤＝25当且仅当x＝y＝5时取等号．
5．(必修5习题3.4组改编)若把总长为20的篱笆________．
考点一利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容题型主要为选择题、填空题．
高考对利用基本不等式求最值的考查
(1)知和求积的最值；
(2)知积求和的最值；
(3)求参数的值或范围．
(1)(2015·高考湖南卷)若实数a满足＋＝则ab的最小值为()
C．2 D．4
(2)(2015·高考福建卷)若直线＋＝1(a＞0＞0)过点(1)，则a＋b的最小值等于()
2 B．3
C．4 D．5
(3)(2015·高考重庆卷)设a＞0＋b＝5则＋的最大值为________
3
[解析(1)由＋＝知a>0所以＝＋，即ab≥2当且仅当即a＝＝2时取“＝”所以ab的最小值为2
(2)将(1)代入直线＋＝1得＋＝1＞0＞0故a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋＋2＝4等号当且仅当a＝b时取到故选(3)令t＝＋则t＝a＋1＋b＋3＋＝9＋2＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18当且仅当a＋1＝b＋3时取等号此时a＝＝所以t＝＝3
利用基本不等式求最值需满足的三个条件
(1)“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”即检验等号成立的条件判断等号能否取到只有等号能成立才能利用基本不等式求最值.
1.(1)当x＞0时(x)＝的最大值为__________．
(2)若x<3则函数f(x)＝＋x的最大值为________．
(3)已知函数y＝a＋3－2(a>0)的图象恒过定点A若点A在直线＋＝－1上且m则3m＋n的最小值为________．
解析：(1)因为x＞0所以f(x)＝≤＝1当且仅当x＝即x＝1时取等号．
(2)因为x<3所以x－3<0所以3－x>0所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1当且仅当＝3－x即x＝1时等号成立．故f(x)的最大值为－1.
(3)易知函数y＝a＋3－2(a>0)恒过定点(－3－1)所以A(－3－1)．又因为点A在直线＋＝－1上所以＋＝1.所以3m＋n＝(3m＋n)·＝10＋＋10＋2＝16当且仅当m＝n时等号成立所以3m＋n的最小值为16.
考点二利用基本不等式证明不等式
已知a>0＋b＝1求证：
[证明法一：因为a>0＋b＝1所以1＋＝1＋＝2＋同理＋＝2＋所以＝＝5＋≥5＋4＝9当且仅当＝即a＝b时取“＝”．所以当且仅当a＝b＝时等号成立．
法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋因为a为正数＋b＝1所以ab≤＝当且仅当a＝b＝时取“＝”．于是≥8，
所以＋8＝9当且仅当a＝b＝时等号成立．
利用基本不等式证明不等式的策略
(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形使之达到能使用基本不等式的条件；
(2)若题目中还有已知条件则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系当已知条件中含有1时要注意1的代换；
(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能
2.设a都是正数求证：＋＋＋b＋c.
证明：因为a都是正数所以，都是正数．所以＋当且仅当a＝b时等号成立＋当且仅当b＝c时等号成立＋当且仅当a＝c时等号成立．三式相加得2(a＋b＋c)即＋＋＋b＋c当且仅当a＝b＝c时等号成立．
考点三利用基本不等式解决实际问题
小王大学毕业后决经过市场调查生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元每生产x万件需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8万件时W(x)＝＋x(万元)．在年产量不小于8万件时(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解(1)因为每件商品售价为5元则x万件商品销售收入为5x万元依题意得当0
(2)当0
应用基本不等式解实际问题的步骤
(1)理解题意设变量；
(2)建立相应的函数关系式把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值；
(4)写出正确答案．
3.某化工企业2015年年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元此外每年都要花费一定的维护费第一年的维护费为2万元由于设备老化以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
解：(1)由题意得＝即y＝x＋＋1.5(x∈N)．(2)由基本不等式得：＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5当且仅当x＝即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换
(2014·高考福建卷)要制作一个容积为4高为的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元侧面造价是每平方米10元则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
[解析]设该长方体容器的长为x则宽为又设该容器的造价为y元则y＝20×4＋2即y＝80＋20(x>0)．因为x＋＝4所以y＝80＋20×4＝160(元)．
本题源于教材人教版5P99例2“某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池其容积为4800深为3．如果池底每平方米的造价为150元池壁每平方米的造价为120元怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？”只对题目数字作一变动其解法完全相同．
一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时每小时的燃料费是6元．10海里当这艘轮船的速度为________海里/小时时费用总和最小．
解析：设每小时的燃料费y＝kv因为速度为10海里/小时时每小时的燃料费是6元所以k＝＝费用总和为＝10＝48当且仅当＝即v＝40时取等号．
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