方法思想——探究空间直角坐标系的建立本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何第7讲立体几何中的向量方法第七章立体几何非零向量垂直2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2?____________l1⊥l2n1⊥n2?____________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?____________l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0n1＝λn2n1·n2＝0n·m＝0CAC90°30°第1课时证明空间中的位置关系线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第七章立体几何
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线是直线l上任意两点则称为直线l的方向向量与平行的任意________也是直线l的方向
(2)①定义：与平面________的向量称做平面的法向量．
确定：设a是平面α内两不共线向量n为平面α的法向量则求法向量的方程组为
3.空间向量与空间角的关系
(1)两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a的方向向量分别为ab，其夹角为θ则＝|cos＝________________(其中φ为异面直线a所成的角)．
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示设直线l的方向向量为e平面α的法向量为n直线l与平面α所成的角为φ两向量e与n的夹角为θ则有＝|θ|＝____________．
(3)求二面角的大小
如图①是二面角α两个半平面内与棱l垂直的直线则二面角的大小θ＝____________．
如图②③n1，n2分别是二面角α的两个半平面α的法向量则二面角的大小θ满足＝__________．
〈〉
cos〈nn2〉或－os〈nn2〉
4.点到平面的距离的求法
如图设AB为平面α的一条斜线段n为平面α的法向量则点B到平面α的距离d＝
辨明两个易误点
(1)求异面直线所成角时易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角范围为
(2)求直线与平面所成角时注意求出两向量夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．
1．(选修2-1练习改编)已知平面α的法向量分别为n＝(2)，n2＝(－3－4)则()
C．α，β相交但不垂直
以上均不对
解析：因为nn2，且nn2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0所以α不平行也不垂直．故选
2．已知向量mn分别是直线l和平面α的方向向量和法向量若〈mn〉＝－则l与α所成的角为()
C．120° D．150°
解析：由于〈mn〉＝－所以〈mn〉＝120所以直线l与α所成的角为30
3．已知两平面的法向量分别为m＝(0)，n＝(0)，则两平面所成的二面角为()
C．45°或135
解析：〈m〉＝＝＝即〈m〉＝45所以两平面所成二面角为45或180－45＝135
4．已知正方体ABCD-A如图所示则直线B和CD所成的角为________．
解析：以A为原点、、分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系设正方体棱长为1则＝(－1)，＝(－1－1)〈〉＝＝0所以两直线所成的角为90
5．正四棱锥S-ABCD中为顶点S在底面上的射影为侧棱SD的中点且SO＝OD则直线BC与平面PAC所成的角是________．
解析：如图所示以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a则A(a)，B(0，a，0)，C(－a)，P.
则＝(2a)，＝＝(a)．设平面PAC的法向量为n易知可取n＝(0)，
则cos〈n〉＝＝＝所以〈n〉＝60所以直线BC与平面PAC所成的角为90－60＝30
考点一利用空间向量证明平行问题
已知正方体ABCD-A的棱长为2分别是BB的中点．求证：FC平面ADE.
[证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz
则有D(0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)．＝(0)，＝(2)，＝0，2，1)．
设n＝(x)是平面ADE的一个法向量则即解得令z＝2则y＝－1所以n＝(0－1)．因为n＝－2＋2＝0.所以n.
因为FC平面ADE所以FC平面ADE.
在本例条件下若M分别是C的中点．求证：MN∥平面A
证明：由本例解析知如图所示
M(0，2，1)，N(1，2，2)，＝(1)，＝(2)，＝(2)．
设n＝x，y，z)是平面A的一个法向量．所以即解得令x＝1则y＝－1＝－1所n＝(1－1－1)．因为n＝1＋0－1＝0所以n.
又因为MN平面A所以MN∥平面A
用向量证平行问题的常用方法
1.已知正方体ABCD-A的棱长为1、F、G分别为AB、AD、AA的中点求证：平面EFG∥平面B
证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则A(1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．得E，G，
＝＝
设n＝(x)为平面EFG的法向量设n＝(x)为平面B则即令x＝1可得y＝－1＝－1同x2＝1＝－1＝－1.即n＝(1－1－1)n2＝(1－1－1)．由n＝n得平面EFG∥平面B
考点二利用空间向量证明垂直问题(高频考点)
空间几何中的垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样可以是小题也可以是解答题的一部分或解答题的某个环节是高考中的重要得分点．
高考对空间向量解决垂直问题有以下三个命题角度：
(1)证明线线垂直问题；
(2)证明线面垂直问题；
(3)证明面面垂直问题．
如图四棱柱ABCD-A的底面ABCD是正方形为底面中心平面ABCD＝AA＝证明：A平面BB
[证明由题设易知OA两两垂直以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝AA＝所以OA＝OB＝OA＝1所以A(1)，B(0，1，0)，C(－1)，D(0，－1)，A1(0，0，1)．
由＝易得B(－1)．＝(－1－1)＝(0－2)，＝(－1)，
所以＝0·＝0所以A又BD∩BBB，
所以A平面BB
用向量证明垂直的方法
2.(2016·济南质检)如图，在三棱锥P-ABC中＝AC为BC的中点平面ABC垂足O落在线段AD上．已知BC＝8＝4＝3＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)如图所示以O为坐标原点以射线OD为y轴正半轴射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0)，A(0，－3)，
B(4，2，0)，C(－4)，P(0，0，4)．于是＝(0)，
＝(－8)，
所以＝(0)·(－8)＝0所以，即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝5又AM＝3且点M在线段AP上所以＝＝又＝(－4－5)，
所以＝＋＝
则＝(04)·＝0所以，即AP⊥BM又根据(1)的结论知AP⊥BC所以AP⊥平面BMC于是AM⊥平面BMC.又AM平面AMC故平面AMC⊥平面BMC.
考点三利用空间向量解决探索性问题
如图在三棱柱ABC-A中是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA＝3＝5.
(1)求证：AA平面ABC.
(2)证明：在线段BC上存在点D使得AD⊥A并求的值．
[解(1)证明：因为四边形AA为正方形所以AA因为平面ABC⊥平面AA且AA垂直于这两个平面的交线AC.所以AA平面ABC.(2)由(1)知AA由题知AB＝3＝5＝4所以AB⊥AC.如图以A为原点建立空间直角坐标系Axyz
则B(0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．设D(x)是直线BC上的一点且＝，λ∈[0，1]．所以(x－3)＝λ(4－3)．解得x＝4λ＝3－3λ＝4λ所以＝(4λ－3λ)．由＝0即9－25λ＝0解得λ＝因为[0，1]，所以在线段BC上存在点D使得AD⊥A此时＝λ＝
立体几何探索性问题的求解方法
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想找出点或线的位置然后再加以证明得出结论.
(2)假设所求的点或线存在并设定参数表达已知条件根据题目进行求解若能求出参数的值且符合已知限定的范围则存在这样的点或线否则不存在．
3.
如图在长方体ABCD-A中＝AD＝1为CD的中点．
(1)求证：B；
(2)在棱AA上是否存在一点P使得DP∥平面B？若存在求AP的长；若不存在说明理由．
解：(1)证明：以A为原点，，的方向分别为x轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a则A(0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，
故＝(0)，＝＝(a)，＝因为＝－＋1×1＋(－1)×1＝0所以，即B
(2)假设在棱AA上存在一点P(0)，
使得DP∥平面B此时＝(0－1)．再设平面B的一个法向量n＝(x)，
因为n⊥平面B所以n⊥n⊥，得取x＝1则y＝－＝－a得平面B的一个法向量n＝要使DP∥平面B只需n⊥有－az＝0解得z＝又DP平面B所以存在点P满足DP∥平面B此时AP＝
如图所示正三棱柱ABC-A的所有棱长都为2为CC1的中点．求证：AB平面A
[证明]如图所示取BC的中点O连接AO.
因为△ABC为正三角形
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A中
平面ABC⊥平面BCC所以AO⊥平面BCC取B的中点OO为原点以，为x轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系则B(1)，D(－1)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．
＝(－1)，＝(－2)．设平面A的法向量为n＝(x)，
因为n⊥n⊥，
故
令x＝1得y＝2＝－
故n＝(1－)为平面A的一个法向量
而＝(1－)所以n，
即AB1⊥平面A
建立空间直角坐标系的策略
(1)一般来说如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
(2)如果不存在这样的三条直线则应尽可能找两条垂直相交的直线以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系即建立坐标系时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系在没有现成的垂直关系时要通过
如图四棱锥P-ABCD中底面是以O为中心的菱形底面ABCD＝2＝为BC上一点且BM＝求PO的长．
解：如图连接AC因为四边形ABCD为菱形所以AC∩BD＝O且AC⊥BD.以O为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.因为∠BAD＝所以OA＝AB·＝＝AB·＝1所以O(0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(－)，
＝(0)，＝(－－1)．
由BM＝＝2知＝＝.从而＝＋＝所以M设P(0)，a>0，
则＝(－)，＝因为MP⊥AP所以＝0即－＋a＝0所以a＝或a＝－(舍去)即PO＝
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