本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破第七章立体几何第2课时求空间角和距离第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破第七章立体几何栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破第七章立体几何考点一异面直线所成的角
如图在P-ABCD中平面ABCD底面ABCD是菱形＝2＝60
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB求PB与AC所成角的余弦值．
[解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60＝AB＝2所以BO＝1＝CO＝如图以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz则P(0－)，A(0，－)，B(1，0，0)，C(0，，0)．
所以＝(1，－2)＝(0，0)．
设PB与AC所成角为θ则＝＝＝即PB与AC所成角的余弦值为
1.
如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形底面ABCD是PC的中点．已知AB＝2＝2＝2.求：
1)△PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
解：(1)因为PA⊥底面ABCD所PA⊥CD.
又AD⊥CD＝A所以CD⊥平面PAD从而CD⊥PD.因为PD＝＝，CD＝2所以△PCD的面积为＝2
(2)法一：如图取PB的中点F连接EF则EF∥BC从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中由EF＝＝＝2知△AEF是等腰直角三角形所以∠AEF＝因此异面直线BC与AE所成的角的大小是
法二：建立如图所示的空间直角坐标系则(2，0，0)，C(2，2，0)，
E(1，，1)，＝(1，1)，＝(0，0)．设与的夹角为θ则＝＝＝所以θ＝由此可知异面直线BC与AE所成的角的大小是
考点二直线与平面所成的角
(2014·高考陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示过棱AB的中点E作平行于AD的平面分别交四面体的棱BD于点F
(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
[解(1)证明：由该四面体的三视图可知＝DC＝2＝1.由题设平面EFGH平面EFGH∩平面BDC＝FG平面EFGH∩平面ABC＝EH所以BC∥FG所以FG∥EH.同理EF∥AD所以EF∥HG所以四边形EFGH是平行四边形．又因为AD⊥DC所以AD⊥平面BDC所以AD⊥BC所以EF⊥FG所以四边形EFGH是矩形．
(2)法一：如图以D为坐标原点建立空间直角坐标系则D(0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
＝(0)，＝(－2)，＝(－2)．设平面EFGH的法向量n＝(x)，
因为EF∥AD所以n·＝0n·＝0得取n＝(1)，
所以＝|〈n〉|＝＝＝
法二：如图以D为坐标原点建立空间直角坐标系则D(0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．因为E是AB的中点所以F分别为BD的中点得E(1，0，0)，G(0，1，0)．所以＝＝(－1)，＝(－2)．
设平面EFGH的法向量n＝(x)，
则n·＝0n·＝0得n＝(1)，
所以＝|〈n〉|＝＝＝
利用向量求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角取其余角就是斜线.
2.如图，在三棱柱ABC-A中四边形AA是边长为2的菱形平面ABC⊥平面AA＝60＝90
(1)求证：A；
(2E是AB的中点＝AC求直线EC与平面ABB所成的角的正弦值．
解：(1)证明：取AC的中点O连接A因为四边形AA是菱形且∠A＝60所以△A为等边三角形所以A又平面ABC⊥平面AA所以A平面ABC所以A又BC⊥AC所BC⊥平面AA所以AC在菱形AA中所以AC平面A所以A
(2)以点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A(0－1)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)，
＝(2)，＝＝(0)，设m＝(x)是平面ABB的法向量则m·＝0m·＝0即取z＝－1可得m＝(－，－1)．又E(1)，所以＝(－1)，
设直线EC与平面ABB所成的角为θ则＝|〈m〉|＝＝即直线EC与平面ABB所成角的正弦值为
考点三二面角(高频考点)
二面角是高考的重点是考查热点题型多以解答题形式出现一般为中档题高考对二面角的考查主要有以下两个命题角度：
(1)求二面角；
(2)由二面角求其他量．
(2015·高考北京卷节选)如图，在四棱锥A-EFCB中为等边三角形平面AEF⊥平面EFCB＝4＝2a＝∠FCB＝60为EF的中点．
(1)求证：AO⊥BE；
(2)求二面角F-AE-B的余弦值．
[解(1)证明：因为△AEF是等边三角形为EF的中点所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB平面AEF所以AO⊥平面EFCB所以AO⊥BE.(2)取BC的中点G连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB又OG平面EFCB所以OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系则E(a)，A(0，0，a)，B(2，(2－a))，＝(－aa)，＝(a－2(a－2))．设平面AEB的一个法向量n＝(x)，
则即令z＝1则x＝＝－1于是n＝(－1)．又平面AEF的一个法向量为p＝(0)，
所以〈np〉＝＝－由题知二面角F-AE-B为钝角所以它的余弦值为－
求二面角大小的常用方法
(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
3.(2016·沈阳教学质量监测)如图，BC为圆O的直径为圆周上异于B、C的一点垂直于圆O所在的平面于点E于点F.
(1)求证：BF⊥平面ACD；
(2)若AB＝BC＝2＝45求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：因BC为圆O的直径所以CD⊥BD因为AB⊥圆O所在的平面所以AB⊥CD又AB∩BD＝B所以CD⊥平面ABD因为BF平面ABD所以CD⊥BF又因为BF⊥AD且AD∩CD＝D所以BF⊥平面ACD.
(2)如图以O为原点建立空间直角坐标系则B(0－1)，E(0，0，1)，D(1，0，0)，A(0，－1)，
因为BF⊥AD所以DF＝＝AD，得＝所以F＝＝(0)，
设平面BEFn1＝(x)，
则即解得不妨取平面BEF的一个法向量n＝(0－1)．而又由已知AB垂直于圆O所在的平面．得是平面BDC的一个法向量即n＝＝(0)，
设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为θ则＝|〈nn2〉|＝＝
考点四空间距离
如图所示已知四边形ABCDEADM和MDCF都是边长为a的正方形点P、Q分别是ED和AC的中点求：
(1)与所成的角；
(2)P点到平面EFB的距离；
(3)异面直线PM与FQ之间的距离．
[解
建立空间直角坐标系如图所示则D(0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，P，Q.
(1)因为＝＝所以＝＋0×＋(－a)＝－又|＝|＝所以〈〉＝＝＝－所以与成150角．
(2)设n＝(x)是平面EFB的单位法向量即|n|＝1n⊥平面EFB所以n⊥且n⊥又＝(－a)，＝(0－a)，
所以解得其中一解为所以n＝又因为＝所以所求距离d＝·n|＝
(3)设e＝(x)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量则由＝＝得求得e＝而＝(0)，
所以PM与FQ之间的距离d′＝|e|＝＝
利用空间向量求解空间距离的转化方法
(1)点点距：点与点的距离分别以这两点为起点和终点的向量的模．
(2)点线距：点M到直线a的距离若直线a的方向向量为a直线上任意一点为N则点M到直线a的距离d＝|·sin〈a〉．
(3)线线距：两平行线间的距离转化为点线距离；两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度．
(4)点面距：点M到平面α的距离若平面α的法向量为n平面α内任意一点为N则点M到平面α的距离d＝||cos〈n〉|＝
(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离转化为点面距离．
(6)面面距：两平行平面间的距离转化为点面距离.
4.在直角梯形ABCD中＝2AD＝2AB＝2＝90如图(1)把△ABD沿BD翻折使得平面ABD⊥平面BCD如图(2)．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)若点M为线段BC的中点求点M到平面ACD的距离．
解：(1)证明：由已知条件可得BD＝2＝2因ABD⊥平面BCD平面ABD∩平面BCD＝BD所以CD⊥平面ABD.又AB平面ABD所以CD⊥AB.(2)
连接DM以点D为原点所在的直线分别为x轴轴建立空间直角坐标系如图．由已知可得A(1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)．
所以＝(－1)，＝(0－2)，＝(－1－1)．设平面ACD的法向量为n＝(x)，则所以令x＝1得平面ACD的一个法向量为n＝(1－1)．所以点M到平面ACD的距离d＝＝
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