第三章第8讲

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1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中视线在水平线________的角叫仰角在水平线________的角叫俯角(如图①)．



2．方位角

从正________方向顺时针转到目标方向线的角(如图②点的方位角为α)．

3．方向角

相对于某一正方向的角(如图③)．



(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．

(2)东北方向：指北偏东45

(3)其他方向角类似．



1．辨明两个易误点

(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所

(2)解三角形时为避免误差的积累应尽可能用已知的数据(原始数据)少用间接求出的量．

2．解三角形应用题的一般步骤





1．在某次测量中在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60点的俯角为70则∠BAC等于()



C．120° D．130°

2．若点A在点C的北偏东30点B在点C的南偏东60且AC＝BC则点A在点B的()

北偏东15北偏西15

C．北偏东10北偏西10

解析：如图所示＝90又AC＝BC所以∠CBA＝45而β＝30所以α＝90－45－30＝15所以点A在点B的北偏西15

3.如图设A两点在河的两岸一测量者在A的同侧选C，测出AC的距离为50＝45＝105则A两点间的距离为________．

50m

解析：由正弦定理得＝＝＝50()．

考点一测量距离

如图隔河看两目标A与B但不能到达在岸边先选取相距千米的C两点同时测得∠ACB＝75＝45＝30＝45(A，B，C，D在同一平面内)求两目标A之间的距离．



[解在△ACD中＝120D＝∠ADC＝30所以AC＝CD＝在△BCD中＝45＝75＝60所以BC＝＝

在△ABC中由余弦定理得＝()＋－2××cos75°

＝3＋2＋－＝5所以AB＝()，

所以A之间的距离为



距离问题的类型及解法

(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两

(2)选择合适的辅助测量点构造三角形将问题转化为求某个三角形的边长问题从而利用正、余弦定理求解.





．如图所示要测量一水塘两侧A两点间的距离其方法为：先选定适当的位置C用经纬仪测出角α再分别测出AC的长b则可求出A两点间的距离AB＝若测得CA＝＝600＝60试计算AB的长．

解：由题可得在△ABC中＝AC＋BC－2AC·BC所以AB＝400＋600－2×400×600＝280000.所以AB＝200即A两点间的距离为200

考点二测量高度

(2015·高考湖北卷)



如图一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上行驶600后到达B处测得此山顶在西偏北75的方向上仰角为30则此山的高度CD＝________

100

[解析由题意在△ABC中＝30＝180－75＝105故∠ACB＝45又AB＝600故由正弦定理得＝解得＝300在中＝BC·＝300＝(m)．



求解高度问题的注意事项

(1)在测量高度时要理解仰角、俯角的概念

(2)准确理解题意分清已知条件与所求画出示意图；

(3)运用正、余弦定理有序地解相关的三角形逐步求解问题的答案注意方程思想的运用.

2.(2016·吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度在C点测得塔顶A的仰角是45在D点A的仰角是30并测得水平面上的∠BCD＝120＝40则电视塔的高度为________

解析：如图设电视塔AB高为x则在中由∠ACB＝45得BC＝x.在中＝30则BD＝在△BDC中由余弦定理得＝BC＋CD－2BC·CD·即()2＝x＋40－2·x·40·解得x＝40所以电视塔高为40

考点三测量角度

在一次海上联合作战演习中红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向相距的水面上10nmile的速度沿南偏东75方向前进若红方侦察艇以每小时14的速度沿北偏东45＋α方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

[解如图设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇则AC＝14x＝10x＝120根据余弦定理得(14x)＝12＋(10x)－240x解得x＝2.故AC＝2820.

根据正弦定理得＝解得＝＝所以红方侦察艇所需要的时间为2小时角α的正弦值为



解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含

(2)分析题意分清已知与所求再根据题意画出正确的示意图这是最关键、最重要的一步．

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后注意正、余弦定理的“联袂”使用.

3.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险在原地等待营救．信息中心30°、相距20海里的C处的乙船现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援求的值．

解：如题图所示在△ABC中B＝40＝20＝120.由余弦定理知＝AB＋AC－2AB·AC·＝2800＝20由正弦定理得＝＝＝由∠BAC＝120知∠ACB为锐角则＝由θ＝∠ACB＋30cosθ＝(∠ACB＋30)

＝－＝

(本题满分12分)(2015·高)在△ABC中内角A所对的边分别是a已知A＝－a＝

(1)求的值；

(2)若△ABC的面积为3求b的值．



(1)―→―→

(2)―→―→―→



(1)由b2－a＝及正弦定理得－＝

所以－＝(3分)

又由A＝即B＋C＝得－＝＝解得＝2.(6分)

(2)由＝2(0，π)，得＝＝(8分)

因为＝(A＋C)＝，

所以＝(9分)

由正弦定理得c＝(10分)

又因为A＝bcsinA＝3所以bc＝6(11分)

故b＝3.(12分)

(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系再利用恒等变换再次应用正弦定理求解所求问题．

(2)计算准确争取得满分

公式运用要准确这是计算正确的

②算数要准确无误尤其注意正、负号的选择计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．