方法思想——等价转化思想在充要条件中的应用AA本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第一章集合与常用逻辑用语栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第一章集合与常用逻辑用语第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语真假为真为假相同没有关系充分必要充要CBD4．(选修2-1P10练习T3(2)改编)“(x－a)(x－b)＝0”是“x＝a”的__________________条件．5．(选修2-1P8习题1.1A组T4改编)命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是__________________________________________________．必要不充分“若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”考点一四种命题的相互关系及真假判断BC②③考点二充分条件、必要条件的判断(高频考点)A①④AC考点三充分条件、必要条件的应用3栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第一章集合与常用逻辑用语栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第一章集合与常用逻辑用语
1．命题
用语言、符号或式子表达的可以判断________的陈述句叫做命题．其中判断________的语句叫做真命题判断________的语句叫做假命题
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的逆否关系
(2)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题它们有________的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题它们的真假性______．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p则q”为真命题记作：p则p是q的________条件是p的________条件．
(2)如果既有p又有q记作：p则p是q的______条件也是p的充要条件．
1．辨明两个易误点
(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件又否定结论而命题的否定是只否定命题的结论．
(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A且B)，与A的充分不必要条件是B(B且A)两者的不同．
2．充要条件常用的三种
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A与?BA，B?A与?AB，A?B与B??A的等价关系对于条件或结论是否定式的命题一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B则A是B的充要条件．
1．(2015·高考湖南卷)设A是两个集合则“A∩B＝A”是“A的()
充分不必要条件必要不充分条件
充要条件既不充分也不必要条件
解析：由于A∩B＝A所以“A∩B＝A”是“A的充要条件．
2．(选修2-1P10练习T41)改编)“x>4”是“x－2x－3>0”的()
充要条件充分而不必要条件
必要而不充分条件既不充分也不必要条件
解析：因为x－2x－3>0所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}所以x>4－2x－3>0.但x－2x－3>0所以“x>4x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．
3．(2015·高考山东卷)设m∈R命题“若m>0则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
若方程x＋x－m＝0有实根则m>0
若方程x2＋x－m＝0有实根则m≤0
若方程x＋x－m＝0没有实根则m>0
若方程x＋x－m＝0没有实根则m≤0
解析：根据逆否命题的定义命题“若m>0则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x＋x－m＝0没有实根则m≤0”．故选
(1)(2014·高考陕西卷)原命题为“若z互为共轭复数则＝|z关于其逆命题()
真假真假假真
真真假假假假
(2)命题“若x都是偶数则x＋y也是偶数”的逆否命题是()
若x＋y是偶数则x与y不都是偶数”
若x＋y是偶数则x与y都不是偶数”
若x＋y不是偶数则x与y不都是偶数”
若x＋y不是偶数则x与y都不是偶数”
[解析(1)原命题正确所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数同时因为逆命题与否命题互为逆否命题所以逆命题和否命题错误．故选(2)由于“x都是偶数”的否定表达是“x不都是偶数”＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数则x与y不都是偶数”．
判断四种命题间关系、真假的方法
(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论然后按定义来写当一个命题有大前提时写其他三个命题时大前提需要保持不变；
(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时可转而判断其逆否命题的真假.
1.以下关于命题的说法正确的有______(填写所有正确说法的序号)．
命题“若则函数f(x)＝(a>0且a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
命题“若a＝0则ab＝0”的否命题是“若a≠0则ab≠0”；
命题“若a∈M则b与命题“若b∈M则a等价．
解析：对于①若＝则a>1所以函数(x)＝在其定义域内是增函数故①不正确；对于②依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确；对于③不难看出命题“若a∈M则b与命题“若b∈M则a互为逆否命题因此二者等价所以③正确．综上可知正确的说法有②③.
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点常以选择题的形式出现作为一个重要载体考查的知识面很广几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：
(1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；
(3)与命题的真假性相交汇命题．
(1)(2015·高考天津卷)设x∈R则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()
充分而不必要条件
必要而不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题：
数列{a为等比数列”是“数列{a＋1为等比数列”的充分不必要条件；
＝2”是“函数f(x)＝|x－a|2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
设a分别是△ABC三个内角A所对的边若a＝1＝则“A＝30是“B＝60的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
[解析(1)<1?1
由于是的真子集所以“1<是“的充分而不必要条件．(2)对于①当数列{a为等比数列时易知数列{a＋1是等比数列但当数列{a＋1为等比数列时数列{a未必是等比数列如数列1显然不是等比数列而相应的数列3是等比数列因此①正确；对于②当a≤2时函数f(x)＝|x－a|在2，＋∞)上是增函数因此②不正确；对于③当m＝3时
相应的两条直线互相垂直反之这两条直线垂直时不一定有m＝3也可能m＝0.因此③不正确；对于④由题意得＝＝若B＝60则＝注意到b>a故A＝30反之当A＝30时有＝由于b>a所以B＝60或B＝120因此④正确．综上所述真命题的序号是①④.
充
(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本节要点整合).
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目可先从结论出发求出使结论成立的必要条件然后再验证得到的必要条件是否满
(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性判断是否成立即可．
2.(1)(2016·洛阳统考)已知集合A＝{1＋1}＝{2则“m＝是“A∩B＝{4}”的()
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
(2)如果x是实数那么“x≠y”是“的()
充要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
既不充分又不必要条件
解析：(1)＝{4}＋1＝4＝±故“m＝是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．(2)法一：设集合A＝{(x)|x≠y}，B＝{(x)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x)|x＝y}的补集D＝{(x)|cosx＝显然C所以B于是“x≠y”是“的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x＝y＝而＝x＝y.
已知集合M＝{x|x<－3或x>5}＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围使它成为M∩P＝{x|5
(2)求实数a的一个值使它成为M∩P＝{x|5
[解(1)由M∩P＝{x|5
本例的条件不变若“x∈M”是“x∈P”的必要不充分条件求实数a的取值范围．
解：因为“x∈M”是“x∈P”的必要不充分条件则PM，
所以a>5.所以实数a的取值范围为(5＋∞)．
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)
(2)求解参数的取值范围时一定要注意区间端点值的检验尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时不等式是否能够取等号决定端点值的取舍处理不当容易出现漏解或增解的现象.
3.(2016·常德一中月考)若“x－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件则a的最小值为________．
解析：由x－x－6>0解得x<－2或x>3.因为“x－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集即a≥3故a的最小值为3.
已知p：－2≤x≤10：x－2x＋1－m(m>0)，且?p是?q的必要而不充分条件求实数m的取值范围．
[解]因为?p是?q的必要而不充分条件
所以p是q的充分而不必要条件
由q：x－2x＋1－m(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m
设q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}
p：P＝{x|－2≤x≤10}
因为p是q的充分而不必要条件所以P
所以或
即m≥9或m>9.所以m≥9.
本题将“?p是?q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系使抽象问题直观化、复杂问题简单化体现了等价转化思想的应用．
1.给定两个命题p、q.若?p是q的必要而不充分条件则p是?q的()
充分而不必要条件必要而不充分条件
充要条件既不充分也不必要条件
解析：由qp且?p可得pq且?q所以p是?q的充分而不必要条件．
2．已知条件p：x＋y≠－2条件q：x不都是－1则p是q的()
充分不必要条件必要不充分条件
充要条件
解析：(等价法)因为p：x＋y≠－2：x≠－1或y≠－1所以?p：x＋y＝－2q：x＝－1且y＝－1因为?qp但?pq，所以?q是?p的充分不必要条件即p是q的充分不必要条件．故选
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