栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质选修4-1几何证明选讲相等相等平分第三边平分另一腰对应线段对应线段两角两边夹角三边相似比平方平方有一个锐角两条直角边成比例比例中项比例中项本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲1．平行线的截割定理
(1)平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段______那么在其他直线上截得的线段也________．
推论1：经过三角形一边的中点________________．
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线____．
(2)平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线所得的________成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．
2．相似三角形的判定定理与性质定理
(1)判定定理
判定定理1：________对应相等的两个三角形相似．
判定定理2：________对应成比例并且________相等的两个三角形相似．
判定定理3：________对应成比例的两个三角形相似．
(2)性质定理
性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和角平分线以及它们周长的比都等于________．
性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的________．
(3)推论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比外接圆的面积比等于相似比的________．
3．直角三角形相似的判定定理与射影定理
(1)直角三角形相似的判定定理
判定定理1：如果两个直角三角形________对应相等那么它们相似．
判定定理2：如果两个直角三角形的________对应成比例那么它们相似．
判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应________，那么这两个直角三角形相似．
(2)直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上____________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的____________．
考点一平行线截割定理的应用
如图等边三角形DEF内接于△ABC且DE∥BC已知AH⊥BC于点H＝4＝求△DEF的边长．
[解设DE＝x交DE于点M显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等又DE∥BC则＝＝所以＝＝解得x＝即等边△DEF的边长为
平行线截割定理的应用
平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面当不能直接证明要证的比例成立时常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比.
1.
如图所示在梯形ABCD中＝4＝2分别为AD上的点且EF＝3求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．
解：由CD＝2＝4＝3得EF＝(CD＋AB)所以EF是梯形ABCD的中位线则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高设为h则S梯形ABFE梯形EFCD＝(3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5.
考点二相似三角形的判定与性质
如图在等腰梯形ABCD中＝DC过点D作AC的平行线DE交BA的延长线于点E.求证：
(1)△ABC≌△DCB；
(2)DE·DC＝AE·BD.
[证明(1)因为四边形ABCD是等腰梯形所以AC＝BD.因为AB＝DC＝CB所以△ABC≌△DCB.(2)因为△ABC≌△DCB所以∠ACB＝∠DBC＝∠DCB.因为AD∥BC所以∠DAC＝∠ACB＝∠ABC.所以∠DAC＝∠DBC＝∠DCB.因为ED∥AC所以∠EDA＝∠DAC.所以∠EDA＝∠DBC所以△ADE∽△CBD.所以DE∶BD＝AE∶DC所以DE·DC＝AE·BD.
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．
(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.
2.
如图在中＝90为AC的中ED、CB的延长线交于一点F.
求证：FD＝FB·FC.
证明因为E是斜边上的中点所以ED＝EA所以∠A＝∠1因为∠1＝∠2所以∠2＝∠A因为∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2＝∠ACB＋∠A＝90＋∠A所以∠FBD＝∠FDC因为∠F是公共角所以△FBD∽△FDC所以＝所以FD＝FB·FC.
考点三直角三角形的射影定理
如图在△ABC中于D于E于F.求证：AE·AB＝AF·AC.
[证明因为AD⊥BC所以△ADB为直角三角形．又因为DE⊥AB由射影定理知＝AE·AB.同理可得AD＝AF·AC所以AE·AB＝AF·AC.
本例中“在△ABC中”改为“在中＝90证明BD·DC＝AE·AB.
证明：在中所以AD＝BD·DC.又由例题解析知AD＝AE·AB所以BD·DC＝AE·AB.
(1)在使用直角三角形射影定理时要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．
(2)证题时要注意作垂线构造直角三角形这是解直角三角形时常用的方法.
3.
如图所示在△ABC中＝90于点D是∠ABC的角平分线交AD于点F求证：＝
证明：因为BE是∠ABC的角平分线所以＝＝在中由射影定理知＝BD·BC即＝由①③得＝由②④得＝
|
|
