栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲第2讲直线与圆的位置关系选修4-1几何证明选讲一半它所对弧的度数相等直角直径圆周角2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的______________，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角互补内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线________经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过____经过切点且垂直于切线的直线必经过____外端垂直于垂直于切点圆心4.圆中的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________PA·PB＝PC·PD割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积______PA·PB＝PC·PD切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________PA·PB＝PC2相等相等比例中项本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-1几何证明选讲1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理
(1)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．
(2)圆心角定理
圆心角的度数等于________________．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90的圆周角所对的弦是________．
(3)弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的________．
推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．
考点一圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题
(1)(2015·高考江苏卷)如图在△ABC中＝AC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.
(2)(2015·高考广东卷改编)如图已知AB是圆O的直径＝4是圆O的切线切点为C＝1.过圆心O作BC的平行线分别交EC和AC于点D和点P求OD的长．
[解(1)证明：因为AB＝AC所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E所以∠ABD＝∠E.BAE为公共角所以△ABD∽△AEB.(2)因为AB为直径所以∠BCA＝90由OP∥BC得OP＝＝＝＝所以CP＝PA＝因为EC为⊙O的切线所以∠DCP＝＝∠AOP.又因为∠APO＝∠CPD所以△DCP∽△AOP所以＝所以DP＝所以OD＝＋＝8.
(1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系从而证明三角形全等或相似可求线段或角的大小．
(2)判定切线通常有三种方法
和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
过半径外端且
1.
如图已知圆上的弧＝过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC＝BE·CD.
证明：(1)因为＝所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECA等于所对的圆周角ACB等于所对的圆周角所以∠ECB等于所对的圆周角故∠ECB＝∠CDB又由(1)知∠EBC＝∠BCD所以△BDC∽△ECB故＝即BC＝BE·CD.
考点二圆内接四边形的判定及性质
(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形的延长线与DC的延长线交于点E且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径的中点为M且MB＝MC证明：△ADE为等边三角形．
[证明(1)由题设知A四点共圆所以∠D＝∠CBE由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N连接MN则由MB＝MC知MN⊥BC故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径为AD的中点故OM⊥AD即MN⊥AD.所以AD∥BC故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E故∠A＝∠E由(1)知＝∠E所以△ADE为等边三角形．
证明四点共圆的常用方法
(1)四点到一定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)如果两个
三角形有公共边公共边所对的角相等且在公共边的同侧那么这两个三角形的四个顶点共圆．
2.
如图在正三角形ABC中点D、E分别在边BC、AC上且BD＝＝、BE相交于点P.
求证：(1)四点P、D、C、E共圆；
(2)AP⊥CP.
证明：(1)在正△ABC中由BD＝＝知：即∠ADB＝∠BEC即∠ADC＋∠BEC＝所以四点P、D、C、E共圆．(2)如图连接DE.在△CDE中＝2CE＝60由正弦定理知∠CED＝90由四点P、D、C、E共圆知＝∠DEC所以AP⊥CP.
考点三与圆有关的比例线段
(1)(2015·高考天津卷改编)如图在圆O中是弦AB的三等分点弦CD分别经过点M若CM＝2＝4＝3求线段NE的长．
(2)(2015·高考陕西卷)如图切⊙O于点B直线AO交⊙O于D两点垂足为C.
证明：∠CBD＝∠DBA；
若AD＝3DC＝求⊙O的直径．
[解(1)由题意可设AM＝MN＝NB＝x由圆的相交弦定理得即解得x＝2＝(2)①证明：因为DE为⊙O的直径所以∠BED＋∠EDB＝90又BC⊥DE所以∠CBD＋∠EDB＝90从而∠CBD＝∠BED.
又AB切⊙O于点B得∠DBA＝∠BED所以∠CBD＝∠DBA.由①知BD平分∠CBA则＝＝3.又BC＝从而AB＝3所以AC＝＝4所以AD＝3.由切割线定理得AB＝AD·AE即AE＝＝6DE＝AE－AD＝3即⊙O的直径为3.
证明与圆有关的比例线段常用到三角形相似、相交弦定理、割线定理以及切割线定理等同时要注意圆的有关性质直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用．
3.
(2014·高考课标全国卷Ⅱ)如图是⊙O外一点是切线为切点割线PBC与⊙O相交于点B＝2PA为PC的中点的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB
证明：(1)连接AB由题设知PA＝PD故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA＝∠BAD＋∠PAB＝∠PAB所以∠DAC＝∠BAD从而＝因BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC所以DC＝2PB＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC所以AD·DE＝2PB
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