选修4-4第1讲

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(1)坐标变换

设点P(x)是平面直角坐标系中的任意一点在变换φ：的作用下

点P(x)对应到点(λx)，称φ为坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系



在平面内取一O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选一个长度单位一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)这样就建立了一个极坐标系．



设M是平面内任意一点极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为ρ；以极轴Ox为始边射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角记为θ有序数对(ρ)叫做点M的极坐标记为M(ρ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点x轴正半轴作为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点

它的直角坐标、极坐标分别为(x)和(ρ)，则

(x≠0)

3．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ)，且极轴到此直线的角为α则它的方程为：ρ(θ－α)＝ρ(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)直线过极点：θ＝θ和θ＝＋θ；

(2)直线过点M(a)且垂直于极轴：_______；

(3)直线过M且平行于极轴：________．

4．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ)，半径为r则该圆的方程为：

－2ρos(θ－θ)＋ρ－r＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)当圆心位于极点半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a)，半径为a：________；

(3)当圆心位于M半径为a：________．

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换

求双曲线C：x－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．

[解设曲线C′上任意一点P′(x′)，由上述可知将代入x－＝1得－＝1化简得－＝1即－＝1为曲线C′的方程可见仍是双曲线则焦点(－5)，F2(5，0)为所求．



求经伸缩变换后曲线方程的方法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下

的变换方程的求法是将代入y＝(x)，得＝，整理之后得到y′＝h(x′)即为所求变换之后的方程．

1.在同一平面直角坐标系中将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4求满足图象变换的伸缩变换．

解：设变换为代入第二个方程得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较系数得λ＝1＝4即因此经过变换后直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.

考点二极坐标与直角坐标的互化

(1)(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρ＝点A的极坐标为A求点A到直线l的距离．

(2)化圆的直角坐标方程x＋y＝r(r>0)为极坐标方程．

[解(1)由2ρ＝得2ρ＝所以y－x＝1由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2－2)所以d＝＝即点A到直线l的距离为(2)将x＝ρ＝ρ代入x＋y＝r中得ρ＋ρ＝r即ρ(cos2θ＋)＝r＝r.所以以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2)．



极坐标与直角坐标互化的注意点

(1)在由点的直角坐标化为极坐标时一定要注意点所在的象限和极角的范围否则点的极坐标将不唯一．

(2)在曲线的方程进行互化时一定要注意变量的范围．要注意.

2.(2016·郑州质量预测)在极坐标系下已知圆O：ρ＝＋和直线l：＝(ρ≥0，0≤θ<2π)

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0)时求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解：(1)圆O：ρ＝＋即ρ＝ρ＋ρ故圆O的直角坐标方程为：x＋y－x－y＝0直线l：ρ＝即ρ－ρ＝1则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0)，

将(0)转化为极坐标为即为所求．

考点三曲线极坐标方程的应用

(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中直线C：x＝－2圆C：(x－1)＋(y－2)＝1以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C的极坐标方程；

(2)若直线C的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)设C与C的交点为M求△C的面积．

[解(1)因为x＝ρ＝ρ所以C的极坐标方程为ρ＝－2的极坐标方程为ρ－2ρ－4ρ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ－2ρ－4ρnθ＋4＝0得－3＋4＝0解得ρ＝2＝故ρ－ρ＝即|MN|＝由于C的半径为1所以△C的面积为



在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面.

3.在极坐标系中已知两点A、B的极坐标分别为、求△AOB(其中O为极点)的面积．

解：由题意知A的极坐标分别为、则△AOB的面积S＝＝＝3.