栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-5不等式选讲栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-5不等式选讲第1讲绝对值不等式选修4-5不等式选讲|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0{x|－aa或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-5不等式选讲栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础选修4-5不等式选讲1．绝对值三角不等式
定理1：如果a是实数则|a＋b|≤________当且仅当________时等号成立．
定理2：如果a是实数那么____________，当且仅当________________时等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式 a>0 a＝0 a<0 ____________ __________ ______ |x|>a ____________ __________ ______ (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
＋b|≤c________________；
＋b|≥c____________________________．
考点一含绝对值不等式的解法
(1)(2015·高考江苏卷)解不等式x＋|2x＋3|≥2.
(2)(2015·高考山东卷改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2.
[解(1)原不等式可化为或解得x≤－5或x≥－综上原不等式的解集是
(2)①当x≤1时原不等式可化为1－x－(5－x)<2所以－4<2不等式恒成立所以x≤1.当1
|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式的解法
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根将数轴分为(－∞]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x＝a和x＝b的距离之和大于c的全体－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y＝|x－a|＋|x－b|和y＝c的图象结合图象求解．
1.解不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1.
解：(1)当x<－3时原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1解得x<10所x<－3.(2)当－3≤x<时原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1解得x<－所以－3≤x<－(3)当x≥时原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1解得x>2所以x>2.综上可知原不等式的解集为
考点二绝对值不等式性质的应用
确|x－a|
[解因为|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤x－a|＋|y－a|
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋中等号成立的条件要深刻理解特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|它经常用于证明含绝对值的不等式.
2.若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立求a的取值范围．
解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3所以只需a≤3即可．故a的取值范围为(－∞]．
考点
(2016·贵阳监测考试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空求实数a的取值范围．
[解(1)不等式f(x)≤6即|2x＋1|＋|2x－3|≤6所以①或②或③解①得－1≤x<－解②得－，解③得2，
即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)因为f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4即f(x)的最小值等于4所以|a－1|>4解此不等式得a<－3或a>5.故实数a的取值范围为(－∞－3)∪(5＋∞)．
(1)研究含有绝对值的函数问题时根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号转化为分段函数然后数形结合解决是常用的思维方法．
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝－a|＋|x－b|的函数只有最小值形如y＝|x－a|－－b|的函数既有最大值又有最小值.
3.设函数f(x)＝x＋|x－a|.
(1)当a＝2016时求函数f(x)的值域；
(2)若g(x)＝|x＋1|求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．
解：(1)由题意得当a＝2016时(x)＝因为f(x)在[2016＋∞)上单调递增所以(x)的值域为[2016＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|不等式g(x)－2>x－(x)恒成立知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立即(|x＋1|＋|x－a|)而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝＋a|所以|1＋a|>2解得a>1或a<－3.
|
|
