-412-
第二十二章模糊数学模型
§1模糊数学的基本概念
1.1模糊数学简介
1965年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并
在国际期刊《InformationandControl》发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文
“FuzzySets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子
与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有
这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间
没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。
模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它
是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之
后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、
农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然
现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即
从精确现象到模糊现象。
实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即
模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模
型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。
1.2基本概念
1.2.1模糊集和隶属函数
定义1论域X到]1,0[闭区间上的任意映射
A
μ：]1,0[→X
)(xx
A
μ→
都确定X上的一个模糊集合A，
A
μ叫做A的隶属函数，)(x
A
μ叫做x对模糊集A的
隶属度，记为：
}|))(,{(XxxxA
A
∈=μ
使5.0)(=x
A
μ的点
0
x称为模糊集A的过渡点，此点最具模糊性。
显然，模糊集合A完全由隶属函数
A
μ来刻画，当}1,0{)(=x
A
μ时，A退化为一
个普通集。
1.2.2模糊集合的表示方法
当论域X为有限集时，记},,,{
21n
xxxXL=，则X上的模糊集A有下列三种常
见的表示形式。
i)zadeh表示法
当论域X为有限集时，记},,,{
21n
xxxXL=，则X上的模糊集A可以写成
n
nAAA
n
ii
iA
x
x
x
x
x
x
x
x
A
)()()()(
2
2
1
1
1
μμμμ
+++==
∑
=
L
注：“
∑
”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“
i
iA
x
x)(μ
”不是
-413-
分数，它表示点
i
x对模糊集A的隶属度是)(
iA
xμ。
ii)序偶表示法
))}(,(,)),(,()),(,{(
2211nAnAA
xxxxxxAμμμL=
iii)向量表示法
))(,),(),((
21nAAA
xxxAμμμL=
当论域X为无限集时，X上的模糊集A可以写成
∫
∈
=
Xx
A
x
x
A
)(μ
注：“
∫
”也不是表示积分的意思，“
x
x
A
)(μ
”也不是分数。
例1设论域)}190(),180(),170(),160(),150(),140({
654321
xxxxxxX=(单位:
cm)表示人的身高，X上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数)(x
A
μ可定义为
140190
140
)(
?
?
=
x
x
A
μ
用zadeh表示法，
654321
18.06.04.02.00
xxxxxx
A+++++=
用向量表示法，
)1,8.0,6.0,4.0,2.0,0(=A
例2设论域]1,0[=X，Fuzzy集A表示“年老”，B表示“年轻”，Zadeh给出A、
B的隶属度函数分别为
?
?
?
?
?
≤<
?
+
≤≤
=
??
10050])
5
50
(1[
5000
)(
12
x
x
x
xA
?
?
?
?
?
≤≤
?
+
≤≤
=
?
10025])
5
25
(1[
2501
)(
12
x
x
x
xB
94.0)70(≈A，即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。又易知8.0)60(≈A，
02.0)60(≈B，可认为“60岁”是“较老的”。
A＝“年老”＝
∫
??
?
+
100
50
12
])
5
50
(1[
x
x
B＝“年轻”＝
∫∫
?
?
+
+
100
25
12
25
0
])
5
25
(1[
1
x
x
x
1.2.3模糊集的运算
常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy集之间的运算。
定义2对于论域X上的模糊集A，B，其隶属函数分别为)(x
A
μ，)(x
B
μ。
-414-
i)若对任意Xx∈，有)()(xx
AB
μμ≤，则称A包含B，记为AB?；
ii)若BA?且AB?，则称A与B相等，记为BA=。
定义3对于论域X上的模糊集A，B，
i)称Fuzzy集BACU=，BADI=为A与B的并（union）和交（intersection），
即
)()()}(),(max{))((xBxAxBxAxBAC∨===U
)()()}(),(min{))((xBxAxBxAxBAD∧===I
他们相应的隶属度)(),(xx
DC
μμ被定义为
)}(),(max{)(xxx
BAC
μμμ=
)}(),(min{)(xxx
BAD
μμμ=
ii)Fuzzy集
C
A为A的补集或余集(complement)，其隶属度
)(1)(xx
A
A
C
μμ?=
例3已知
}8,7,6,5,4,3,2,1{=X，
5
1.0
4
4.0
3
8.0
2
5.0
1
3.0
++++=A，
6
5.0
5
9.0
4
3.0
3
2.0
+++=B，
则有
BAU＝
6
5.0
5
9.0
4
4.0
3
8.0
2
5.0
1
3.0
+++++，
BAI＝
5
1.0
4
3.0
3
2.0
++，
=
C
A
8
1
7
1
6
1
5
9.0
4
6.0
3
2.0
2
5.0
1
7.0
+++++++。
1.2.4隶属函数的确定方法
模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建
立符合实际的隶属函数。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
（1）模糊统计方法
模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客
观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素：
i)论域X；
ii)X中的一个固定元素
0
x；
iii)X中一个随机变动的集合
A(普通集)；
iv)X中一个以
A作为弹性边界的模糊集A，对
A的变动起着制约作用。其中
0
Ax∈，或者
0
Ax?，致使
0
x对A的关系是不确定的。
假设做n次模糊统计试验，则可计算出
0
x对A的隶属频率＝
n
Ax的次数
0
∈
-415-
实际上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为
0
x对A的隶属度，
即
)(
0
x
A
μ＝
n
Ax
n
的次数
0
lim
∈
∞→
（2）指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函
数的一种方法。
如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方
法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再根据实际测量数据确定其中
所包含的参数，常用的模糊分布如表1所示。
实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：
①偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小
的程度的模糊现象。
②偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大
的程度的模糊现象。
③中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不
太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。
但是，表1给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修
改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。
（3）其它方法
在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要根据问题的
实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作
为模糊集的隶属度。下面举例说明。
如果设论域X表示机器设备，在X上定义模糊集A＝“设备完好”，则可以用“设
备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品，在X上定义模糊集A＝“质量稳定”，
则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭，在X上定义模糊集A
＝“家庭贫困”，则可以用“Engel系数＝食品消费/总消费”作为A的隶属度。
另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓
的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小，
然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。
表1常用的模糊分布
类
型
偏小型中间型偏大型
矩
阵
型?
?
?
>
≤
=
ax
ax
A
,0
,1
μ
?
?
?
><
≤≤
=
bxax
bxa
A
或,0
,1
μ
?
?
?
<
≥
=
ax
ax
A
,0
,1
μ
-416-
梯
形
型
?
?
?
?
?
?
?
>
≤≤
?
?
≤
=
bx
bxa
ab
xb
ax
A
,0
,
,1
μ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≥<
≤≤
?
?
≤≤
≤≤
?
?
=
dxax
dxc
cd
xd
cxb
bxa
ab
ax
A
,,0
,
,1
,
μ
?
?
?
?
?
?
?
>
≤≤
?
?
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
A
,1
,
,0
μ
k
次
抛
物
型?
?
?
?
?
?
?
>
≤≤
?
?
≤
=
bx
bxa
ab
xb
ax
k
A
,0
,)(
,1
μ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≥<
≤≤
?
?
≤≤
≤≤
?
?
=
dxax
dxc
cd
xd
cxb
bxa
ab
ax
k
k
A
,,0
,)(
,1
,)(
μ
?
?
?
?
?
?
?
>
≤≤
?
?
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
k
A
,1
,)(
,0
μ
Γ
型
?
?
?
>
≤
=
??
axe
ax
axk
A
,
,1
)(
μ
?
?
?
?
?
>
≤≤
<
=
??
?
bxe
bxa
axe
axk
axk
A
,
,1
,
)(
)(
μ
?
?
?
≥?
<
=
??
axe
ax
axk
A
,1
,0
)(
μ
正
态
型?
?
?
?
?
>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
≤
=
ax
ax
ax
A
,exp
,1
2
σ
μ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?=
2
exp
σ
μ
ax
A
?
?
?
?
?
>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
≤
=
ax
ax
ax
A
,exp1
,0
2
σ
μ
柯
西
型
?
?
?
?
?
>
?+
≤
=
ax
ax
ax
A
,
)(1
1
,1
β
α
μ
)0,0(>>βα
β
α
μ
)(1
1
ax
A
?+
=
(βα,0>为正偶数)
?
?
?
?
?
>
?+
≤
=
?
ax
ax
ax
A
,
)(1
1
,0
β
α
μ
)0,0(>>βα
1.3模糊关系、模糊矩阵
1.3.1基本概念
定义4设论域U，V，乘积空间上},),{(VvUuvuVU∈∈=×上的一个模糊
子集R为从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为
R
μ：VU×]1,0[→，a),(yx),(yx
R
μ
则称隶属度),(yx
R
μ为),(yx关于模糊关系R的相关程度。
这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。
设{}
m
xxxU,,,
21
L=，{}
n
yyyV,,,
21
L=，R为从U到V的模糊关系，其隶
属函数为),(yx
R
μ，对任意的),(
ji
yx∈VU×有]1,0[),(∈=
ijjiR
ryxμ，
njmi,,2,1,,,2,1LL==，记
nmij
rR
×
=)(，则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出一
般的定义。
-417-
定义5设矩阵
nmij
rR
×
=)(，且]1,0[∈
ij
r，njmi,,2,1,,,2,1LL==，则R称
为模糊矩阵。
特别地，如果}1,0{∈
ij
r，njmi,,2,1,,,2,1LL==，则称R为布尔(Bool)矩阵。
当模糊方阵
nnij
rR
×
=)(的对角线上的元素
ij
r都为1时，称R为模糊自反矩阵。
当1=m或者1=n时，相应地模糊矩阵为),,,(
21n
rrrRL=或者
T
m
rrrR),,,(
21
L=，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。
例4设评定科研成果等级的指标集为),,,(
521
xxxUL=，
1
x表示为科研成果发
明或创造、革新的程度，
2
x表示安全性能，
3
x表示经济效益，
4
x表示推广前景，
5
x表
示成熟性；V表示定性评价的评语论域，),,,(
4321
yyyyV=，
4321
,,,yyyy分别表示
很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出VU×上每个有序对),(
ji
yx
指定的隶属度。
表2有序对),(
ji
yx指定的隶属度
V
y
1
很好
y
2
较好y
3
一般y
4
不好
x
1
0.450.350.150.05
x
2
0.300.340.100.26
x
3
0.500.300.100.10
x
4
0.600.300.050.05
U
x
5
0.560.100.200.14
由此确定一个从U到V的模糊关系R，这个模糊关系的隶属度函数是一个5×4阶
的矩阵，记为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
14.02.01.056.0
05.005.03.06.0
1.01.03.05.0
26.01.034.03.0
05.015.035.045.0
R
则R为一个模糊关系矩阵。
1.3.2模糊矩阵的运算及其性质
(1)模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
定义6设
nmij
aA
×
=)(，
nmij
bB
×
=)(，njmi,,2,1,,,2,1LL==都是模糊矩阵，
定义
i)相等：
BA=?
ijij
ba=；
ii)包含：
BA≤?
ijij
ba≤；
iii)并：
-418-
nmijij
baBA
×
∨=)(U；
iv)交：
nmijij
baBA
×
∧=)(I
v)余：
nmij
C
aA
×
?=)1(
例5设
?
?
?
?
?
?
?
?
=
5.03.0
1.01
A，
?
?
?
?
?
?
?
?
=
9.04.0
07.0
B，则
?
?
?
?
?
?
?
?
=
9.04.0
1.01
BAU，
?
?
?
?
?
?
?
?
=
5.03.0
07.0
BAI，=
C
A
?
?
?
?
?
?
?
?
5.07.0
9.00
(2)模糊矩阵的合成
定义7设
smik
aA
×
=)(，
nskj
bB
×
=)(，称模糊矩阵
nmij
cBA
×
=)(o
为A与B的合成，其中
{}skbac
kjikij
≤≤∧=1)(max
例6设
?
?
?
?
?
?
?
?
=
5.08.01
07.04.0
A，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
3.00
6.04.0
7.01
B，则
?
?
?
?
?
?
?
?
=
7.01
6.04.0
BAo，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
3.03.03.0
5.06.06.0
5.07.07.0
ABo
两模糊矩阵合成的MATLAB函数如下：
functionab=synt(a,b);
m=size(a,1);n=size(b,2);
fori=1:m
forj=1:n
ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)'']));
end
end
模糊方阵
mmij
aA
×
=)(的幂定义为
AAAo=
2
，AAA
kk
o
1?
=
(3)模糊矩阵的转置
定义8设
nmij
aA
×
=)(，njmi,,2,1,,,2,1LL==，称
mn
T
ji
T
aA
×
=)(为A的转
置矩阵，其中
ij
T
ji
aa=。
(4)模糊矩阵的?λ截矩阵
定义9设
nmij
aA
×
=)(，对任意的]1,0[∈λ，
i)令
-419-
?
?
?
?
?
<
≥
=
λ
λ
λ
ij
ij
ij
a
a
a
,0
,1
)(
则称
nmij
aA
×
=)(
)(λ
λ
为模糊矩阵A的λ截矩阵。
ii)令
?
?
?
?
?
≤
>
=
λ
λ
λ
ij
ij
ij
a
a
a
,0
,1
)(
则称
nmij
aA
×
=
?
)(
)(λ
λ
为模糊矩阵A的λ强截矩阵。
显然，对于任意的]1,0[∈λ,λ截矩阵是布尔矩阵。
例7设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
18.03.00
8.011.02.0
3.01.015.0
02.05.01
A，则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1100
1100
0011
0011
5.0
A，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1110
1100
1011
0011
3.0
A
下面给出模糊矩阵的一个性质。
性质设
nnij
aA
×
=)(，nji,,2,1,L=是模糊自反矩阵(对角线上的元素
ij
r都为1
的模糊矩阵)，I是n阶单位矩阵，则
2
RRI≤≤
证：因为
nnij
aA
×
=)(是模糊自反矩阵，即有1=
ii
r，所以RI≤，又
{}
ijijiikjik
rrrnkaa=∧≥≤≤∧1)(max
即有
2
RR≤。
§2模糊模式识别
本节我们假定论域为U，U上的模糊集的全体记为)(UF。
2.1模糊集的贴近度
贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。
定义10设)(,,UFCBA∈，若映射
]1,0[)()(:→×UFUFN
满足条件：
（1）),(),(ABNBAN=；
（2）1),(=AAN，0),(=ΦUN，这里Φ为空集；
（3）若CBA??，则),(),(),(CBNBANCAN∧≤；
则称),(BAN为模糊集A与B的贴近度。N称为)(UF上的贴近度函数。
1．海明贴近度
-420-
若},,,{
21n
uuuUL=，则
∑
=
??Δ
n
i
ii
uBuA
n
BAN
1
|)()(|
1
1),(
当U为实数域上的闭区间],[ba时，则有
duuBuA
ab
BAN
b
a
∫
?
?
?Δ|)()(|
1
1),(
2．欧几里得贴近度
若},,,{
21n
uuuUL=，则
2/1
1
2
))()((
1
1),(?
?
?
?
?
?
??Δ
∑
=
n
i
ii
uBuA
n
BAN
当],[baU=时，则有
2/1
2
))()((
1
1),(?
?
?
?
?
?
?
?
?Δ
∫
b
a
duuBuA
ab
BAN
3．黎曼贴近度
若U为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则
∫
∫
∞+
∞?
+∞
∞?
∨
∧
Δ
duuBuA
duuBuA
BAN
))()((
))()((
),(
1
∫∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+∞
∞?
+
∧
Δ
duuBduuA
duuBuA
BAN
)()(
))()((2
),(
2
例8设]100,0[=U，且
?
?
?
?
?
?
?
≤≤
<≤
?
<≤
=
10060,1
6020,
40
20
200,0
)(
x
x
x
x
xA，
?
?
?
?
?
?
?
≤≤
<≤
?
<≤
=
10080,0
8040,
40
80
400,1
)(
x
x
x
x
xB
见图1。求黎曼贴近度),(
1
BAN。
图1隶属函数图
解不难求得)(xA和)(xB的交点坐标50
=x，于是
-421-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
<≤
?
<≤
?
=∧
其它,0
8050,
40
80
5020,
40
20
)()(x
x
x
x
xBxA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤≤
<≤
?
<≤
?
<≤
=∨
10060,1
6050,
40
20
5040,
40
80
400,,1
)()(
x
x
x
x
x
x
xBxA
2308.0
))()((
))()((
),(
100
0
100
0
1
≈
∨
∧
=
∫
∫
duuBuA
duuBuA
BAN
计算的MATLAB程序：
i）编写定义函数)()(xBxA∧的MATLAB函数
functionf1=jixiao(x);
f1=(x>=20&x<50).(x-20)/40+(x>=50&x<80).(80-x)/40;
ii）编写定义函数)()(xBxA∨的MATLAB函数
functionf2=jida(x);
f2=(x>=0&x<40)+(x>=40&x<50).(80-x)/40+(x>=50&
x<60).(x-20)/40+(x>=60&x<=100);
iii）利用MATLAB的积分命令quadl计算),(
1
BAN
N1=quadl(@jixiao,0,100)/quadl(@jida,0,100)
或者利用匿名函数，只需如下一个文件就可以计算黎曼贴近度。程序如下：
clc,clear
A=@(x)(x>=20&x<60).(x-20)/40+(x>=60&x<=100);
B=@(x)(x>=0&x<40)+(x>=40&x<80).(80-x)/40;
C=@(x)min(A(x),B(x));
N1=quadl((@(x)min(A(x),B(x))),0,100)/quadl((@(x)max(A(x),B(x))),0,100)
例9设RU=（实数域），正态型隶属函数
2
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
σ
ax
exA，
2
2
)(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
σ
ax
exB
求当
21
σσ≤时，),(BAN（见图2）
-422-
图2隶属函数图
解当
21
σσ≤，Rx∈?，)()(xBxA≤，根据黎曼贴近度的定义，有
2
1
1
)(
)(
),(
σ
σ
==
∫
∫
∞+
∞?
+∞
∞?
dxxB
dxxA
BAN
21
1
2
2
)()(
)(2
),(
σσ
σ
+
=
+
=
∫∫
∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+∞
∞?
dxxBdxxA
dxxA
BAN
2.2格贴近度
定义10设)(,UFBA∈，称
A⊙))()((uBuAB
Uu
∧∨=
∈
为模糊集BA,的内积。
内积的对偶运算为外积。
定义11设)(,UFBA∈，称
))()((uBuABA
Uu
∨∧=?
∈
为模糊集BA,的外积。
如果在闭区间]1,0[上定义“余”运算：]1,0[∈?α，αα?=1
c
，那么有性质1
性质1
cc
ABA=?)(⊙
c
B，A(⊙
ccc
BAB?=)。
对)(UFA∈，令
)(uAa
Uu∈
∨=，)(uAa
Uu∈
∧=
a和a分别叫做模糊集A的峰值和谷值。对模糊集CBA,,，不难得到如下性质。
性质2A⊙baB∧≤，baBA∨≥?。
性质3A⊙aA=，aAA=?
性质4A
UFB
(
)(∈
∨⊙aB=)，aBA
UFB
=?∧
∈
)(
)(
性质5ABA??⊙aB=，bBA=?
性质6A⊙
2
1
≤
c
A，
2
1
≥?BA
性质7ABA??⊙BB≤⊙C，并且CBCA?≤?
由性质发现，给定模糊集A，让模糊集B靠近A，会使内积A⊙B增大而外积
BA?减少。换句话说，当A⊙B较大且BA?较少时，A与B比较贴近。所以，采
用内积与外积相结合的“格贴近度”来刻画两个模糊集的贴近程度。
引理1设)(,UFBA∈，令ABA(),(=⊙
c
BAB)()?∧，则下列结论成立：
-423-
（1）1),(0≤≤BA；
（2）),(),(ABBA=；
（3）)1(),(aaAA?∧=；
（4）CBA???),(),(),(CBBACA∧≤
特别当1=a，0=a时，1),(=AA。
根据引理1和贴近度的定义，立即得到：
定理1设)(,UFBA∈，则
ABA(),(=⊙
c
BAB)()?∧
是模糊集BA,的贴近度，叫做BA,的格贴近度。记为
ABAN(),(=⊙
c
BAB)()?∧
例10设论域R为实数域，模糊集的隶属函数为
2
1
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
σ
ax
exA，
2
2
2
)(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
σ
ax
exB
求),(BAN。
解法I（格贴近度法）对上述函数，有
若)()(xBxA≤，则A⊙)()())()((
xBxAxBxAB
RxRx
=∨=∧∨=
∈∈
若)()(xAxB≤，则A⊙)()())()((
xAxBxBxAB
RxRx
=∨=∧∨=
∈∈
可见，内积A⊙B是)(xA与)(xB相等时的值，这时
xx=。故可令)()(xBxA=，
求
x，即从
2
2
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
σσ
axax
ee
求得
21
1221
1
σσ
σσ
+
+
=
aa
x，
12
2112
2
σσ
σσ
?
?
=
aa
x
其中
2
x不是最大值点，故选
1
xx=。于是
A⊙
2
12
12
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
==
σσ
aa
exAB
而
C
A⊙1)))(1())(1((=?∧?∨=
∈
xBxAB
Rx
C
由格贴近度公式，得
2
12
12
),(
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
=
σσ
aa
eBAN
解法II（黎曼贴近度法）
-424-
dxedxe
dxedxe
BAN
x
ax
x
ax
x
ax
x
ax
∫∫
∫∫
∞+?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞+?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
+
+
=
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
),(
1
σσ
σσ
dxedxe
dxedxe
BAN
axax
x
ax
x
ax
∫∫
∫∫
∞+
∞?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞+
∞?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞+?
?
?
?
?
?
?
??
?
∞?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
+
+
=
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
),(
2
σσ
σσ
其中，
2
1
axa<<，
21
2112
σσ
σσ
+
+
=
aa
x（见解法I）。
求解式中各积分非常麻烦，这里就不解下去了。
2.3模糊模式识别原则
模糊模式识别大致有两种方法，一是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要应
用于个体的识别；另一是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体模型的识别。
2.3.1最大隶属原则
设)(UFA
i
∈（ni,,2,1L=），对Uu∈
0
，若存在
0
i，使
)}(,),(),(max{)(
002010
0
uAuAuAuA
ni
L=
则认为
0
u相对地隶属于
i
A，这是最大隶属原则。
例11考虑人的年龄问题，分为年轻、中年、老年三类，分别对应三个模糊集
321
,,AAA。设论域]100,0(=U，且对]100,0(∈x，有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤<
≤<
?
?
?
?
?
?
?
≤<
?
?
?
?
?
??
?
≤<
=
10040,0
4030,
20
40
2
3020,
20
20
21
200,1
)(
2
2
1
x
x
x
x
x
x
xA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤<
≤<
?
?
?
?
?
??
?
≤<
?
?
?
?
?
??
≤<
=
10070,1
7060,
20
70
21
6050,
20
50
2
500,0
)(
2
2
3
x
x
x
x
x
x
xA
-425-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤<
≤<
?
?
?
?
?
??
≤<
?
?
?
?
?
??
?
≤<
≤<
?
?
?
?
?
??
?
≤<
?
?
?
?
?
??
≤<
=??=
10070,0
7060,
20
70
2
6050,
20
50
21
5040,1
4030,
20
40
21
3020,
20
20
2
200,0
)()(1)(
2
2
2
312
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xAxAxA
某人40岁，根据上式，0)40(
1
=A，1)40(
2
=A，0)40(
3
=A，则
1)}40(),40(),40(max{)40(
3212
==AAAA
按最大隶属原则，他应该是中年人。
又如当35=x时，125.0)35(
1
=A，875.0)35(
2
=A，0)35(
3
=A。可见35岁
的人应该是中年人。
2.3.2择近原则
设)(,UFBA
i
∈（ni,,2,1L=），若存在
0
i，使
)},(,),,(),,(max{),(
21
0
BANBANBANBAN
ni
L=
则认为B与
0
i
A最贴近，即判定B与
0
i
A为一类。该原则称为择近原则。
例12现有五个等级的茶叶样品
54321
,,,,AAAAA，待识别茶叶B。反映茶叶质
量的因素有六项指标，构成论域U，其中
)}(),(),(),(),(),({
654321
滋味香气汤色净度色泽条索xxxxxxU=
设五个等级的样品对6项指标的数值为：
)4.0,5.0,6.0,3.0,4.0,5.0(
1
=A
)2.0,2.0,1.0,2.0,2.0,3.0(
2
=A
)2.0,1.0,1.0,2.0,2.0,2.0(
3
=A
)1.0,1.0,1.0,2.0,1.0,0(
4
=A
)1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,0(
5
=A
待识别茶叶的各项指标值为
)6.0,5.0,4.0,1.0,2.0,4.0(=B
确定B的属类。
解利用格贴近度公式计算可得
,(BNI5.0)=，,(BNII3.0)=，,(BNIII2.0)=，
,(BNIV2.0)=，,(BNV1.0)=
-426-
按择近原则，可以将B定为一级茶叶（与
1
A同属一类）。
计算的MATLAB程序如下：
a=[0.50.40.30.60.50.4
0.30.20.20.10.20.2
0.20.20.20.10.10.2
00.10.20.10.10.1
00.10.10.10.10.1];
b=[0.40.20.10.40.50.6];
fori=1:5
x=[a(i,:);b];
t(i)=min([max(min(x))1-min(max(x))]);
end
t
§3模糊聚类分析方法
在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲
疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质
对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像
识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观
事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一
种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，
边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模
糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
3.1预备知识
3.1.1模糊等价矩阵
定义12设
nnij
rR
×
=)(是n阶模糊方阵，nji,,2,1,L=，I是n阶单位方阵，若
R满足
①自反性：
)1(=?≤
ii
rRI；
②对称性：
)(
jiij
T
rrRR=?=；
③传递性：
RR≤
2
；
则称R为模糊等价矩阵。
定理2设
nnij
rR
×
=)(是n阶模糊等价方阵，则]1,0[∈?λ，
λ
R是n阶等价布尔
矩阵。
定理3设
nnij
rR
×
=)(是n阶模糊等价矩阵，则10≤≤≤?μλ，
μ
R所决定的分
类中的每一个类是
λ
R所决定的分类中的某个子集。
这就是说，如果
ji
xx,按
μ
R分在一类，则按
λ
R)10(≤≤≤μλ也必分在一类，即
μ
R所决定的分类中的每一个类是
λ
R所决定的分类中的某个子集。
定理3表明：当μλ<时，
μ
R的分类是
λ
R分类的加细，当λ由1变成0时，
λ
R
的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图，称之为模糊分类。
-427-
例13设},,,,{
54321
xxxxxX=，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
16.05.04.05.0
6.015.04.05.0
5.05.014.08.0
4.04.04.014.0
5.05.08.04.01
R
容易验证，R为模糊等价矩阵。
当1=λ时，=
1
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10000
01000
00100
00010
00001
，得到的分类是}{},{},{},{},{
54321
xxxxx；
当8.0=λ时，=
8.0
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10000
01000
00101
00010
00101
，得到的分类是}{},{},{},,{
54231
xxxxx；
当6.0=λ时，=
6.0
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11000
11000
00101
00010
00101
，得到的分类是},{},{},,{
54231
xxxxx；
当5.0=λ时，=
5.0
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11101
11101
11101
00010
11101
，得到的分类是}{},,,,{
25431
xxxxx；
当4.0=λ时，=
5.0
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11111
11111
11111
11111
11111
，得到的分类是},,,,{
54321
xxxxx。
3.1.2模糊相似矩阵
定义13设
nnij
rR
×
=)(是n阶模糊方阵，nji,,2,1,L=，I是n阶单位方阵，若
-428-
R满足
①自反性：
)1(=?≤
ii
rRI；
②对称性：
)(
jiij
T
rrRR=?=；
则称R为模糊相似矩阵。
定理4设R为模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k)(nk≤，使得
k
R为模
糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有
kl
RR=。
证明从略。
定义14定理4中的
k
R称为R的传递闭包矩阵，记为)(Rt。
由定理4可以得到将n阶模糊相似矩阵R改造成n阶模糊等价矩阵的方法：
从n阶模糊相似矩阵R出发，依次求平方：
L→→→
42
RRR，
直到
iii
RRR
222
=o(nin
i
2
log,2≥≥)
为止，则
i
RRt
2
)(=。
例14设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
13.02.0
3.011.0
2.01.01
R
容易验证，R为模糊相似矩阵，用平方法求其传递闭包)(Rt。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
13.02.0
3.012.0
2.02.01
13.02.0
3.011.0
2.01.01
13.02.0
3.011.0
2.01.01
2
ooRRR
222
13.02.0
3.012.0
2.02.01
13.02.0
3.012.0
2.02.01
13.02.0
3.012.0
2.02.01
RRR=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=oo
故传递闭包
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
13.02.0
3.012.0
2.02.01
)(
2
RRt
容易验证，传递闭包)(
~
Rt是模糊等价矩阵。
3.2模糊聚类分析法的基本步骤
Step1:数据标准化
(1)获取数据
-429-
设论域},,,{
21n
xxxXL=为被分类的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，
i
x的观测值
),,,(
21imiii
xxxeL=),,2,1(niL=
于是可以得到原始数据矩阵
mnij
xA
×
=)(。
(2)数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够
适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵A作标准化处理，即通过适当的数据变换，
将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
①平移—标准差变换
j
jij
ij
s
xx
x
?
=
''
),,2,1,,,2,1(mjniLL==
其中
∑
=
=
n
i
ijj
x
n
x
1
1
，
2
1
1
2
])(
1
1
[
∑
=
?
?
=
n
i
jijj
xx
n
s，),,2,1(mjL=
②平移—极差变换
如果经过平移—标准差变换后还有某些]1,0[
''
?
ij
x，则还需对其进行平移—极差变
换，即
}{min}{max
}{min
''
1
''
1
''
1
''
''''
ij
ni
ij
ni
ij
ni
ij
ij
xx
xx
x
≤≤≤≤
≤≤
?
?
=，),,2,1(mjL=
显然所有的]1,0[
''''
∈
ij
x，且也不存在量纲因素的影响，从而可以得到模糊矩阵
mnij
xR
×
=)(
''''
Step2:建立模糊相似矩阵
设论域},,,{
21n
xxxXL=，
i
x的观测值),,,(
21imiii
xxxeL=),,2,1(niL=，即
数据矩阵
mnij
xA
×
=)(。如果
i
x与
j
x的相似程度为),(
jiij
eeRr=，则称之为相似系数。
确定相似系数
ij
r有下列方法。
(1)数量积法
对于),,,(
21imiii
xxxxL=，令
∑
=
?=
m
k
jkik
ji
xxM
1
,
)(max，则取
?
?
?
?
?
≠?
=
=
∑
=
m
k
jkik
ij
jixx
M
ji
r
1
,
1
,1
显然]1,0[∈
ij
r，若出现某些0<
ij
r，可令
2
1
''
+
=
ij
ij
r
r，则有
''
ij
r]1,0[∈。也可以用
平移—极差变换将其压缩到]1,0[上，可以得到模糊相似矩阵
nnij
rR
×
=)(。
(2)夹角余弦法
-430-
∑∑
∑
==
=
?
?
=
m
k
m
k
jkik
m
k
jkik
ij
xx
xx
r
11
22
1
，),,2,1,(njiL=
(3)相关系数法
∑∑
∑
==
=
???
???
=
m
k
m
k
jjkiik
m
k
jjkiik
ij
xxxx
xxxx
r
11
22
1
)()(
)()(
，),,2,1,(njiL=
(4)指数相似系数法
∑
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?=
m
kk
jkik
ij
s
xx
m
r
1
2
2
,
)(
4
3
exp
1
其中
∑
=
=
n
i
ikk
x
n
x
1
1
，
∑
=
?
?
=
n
k
kikk
xx
n
s
1
22
)(
1
1
，),,2,1(mkL=
(5)最大最小值法
∑
∑
=
=
∨
∧
=
m
k
jkik
m
k
jkik
ij
xx
xx
r
1
1
)(
)(
，),,2,1,(njiL=
(6)算术平均值法
∑
∑
=
=
+
∧
=
m
k
jkik
m
k
jkik
ij
xx
xx
r
1
1
)(
2
1
)(
，),,2,1,(njiL=
(7)几何平均值法
∑
∑
=
=
?
∧
=
m
k
jkik
m
k
jkik
ij
xx
xx
r
1
1
)(
，),,2,1,(njiL=
(8)绝对值倒数法
?
?
?
?
?
≠?
=
=
∑
=
?
m
k
jkik
ij
jixxM
ji
r
1
1
,)(
,1
其中M为使得所有]1,0[∈
ij
r),,2,1,(njiL=的确定常数。
(9)绝对值指数法
-431-
∑
=
??=
m
k
jkikij
xxr
1
}exp{),,2,1,(njiL=
(10)海明距离法
?
?
?
?
?
?=
??=
∑
=
m
k
jkikji
jiij
xxxxd
xxdHr
1
),(
),(1
，),,2,1,(njiL=
其中H为使得所有]1,0[∈
ij
r),,2,1,(njiL=的确定常数。
(11)欧氏距离法
?
?
?
?
?
?=
??=
∑
=
m
k
jkikji
jiij
xxxxd
xxdEr
1
2
)(),(
),(1
，),,2,1,(njiL=
其中E为使得所有]1,0[∈
ij
r),,2,1,(njiL=的确定常数。
(12)切比雪夫距离法
?
?
?
?
?
?∨=
??=
=
jkik
m
k
ji
jiij
xxxxd
xxdQr
1
),(
),(1
其中Q为使得所有]1,0[∈
ij
r),,2,1,(njiL=的确定常数。
(13)主观评分法
设有N个专家组成专家组},,,{
21N
pppL，让每一个专家对所研究的对象
i
x与
j
x相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第k位专家
k
p关于对象
i
x与
j
x的相似程度评价为)(kr
ij
，对自己的自信度评估为)(ka
ij
，),,2,1,(njiL=，则相
关系数定义为
∑
∑
=
=
?
=
N
k
ij
N
k
ijij
ij
ka
krka
r
1
1
)(
))()((
，),,2,1,(njiL=
Step3:聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信
水平]1,0[∈λ，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
(1)传递闭包法
从Step2中求出的模糊相似矩阵R出发，来构造一个模糊等价矩阵
R。其方法就
是用平方法求出R的传递闭包)(Rt，则
)(RRt=；然后，由大到小取一组]1,0[∈λ，
确定相应的λ截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
(2)布尔矩阵法
设论域},,,{
21n
xxxXL=，R是X上的模糊相似矩阵，对于确定的λ水平要求
X中的元素分类。
-432-
首先，由模糊相似矩阵作出其λ截矩阵))((λ
λij
rR=，即
λ
R为布尔矩阵；然后，
依据
λ
R中的1元素可以将其分类。
如果
λ
R为等价矩阵，则R也是等价矩阵，则可以直接分类。
若
λ
R不是等价矩阵，则首先按一定的规则将
λ
R改造成一个等价的布尔矩阵，再
进行分类。
(3)直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
1)取1
1
=λ(最大值)，对于每个
i
x作相似类：}1{][==
ijjRi
rxx，即将满足1=
ij
r
的
i
x与
j
x视为一类，构成相似类。
相似类和等价类有所不同，不同的相似类可能有公共元素，实际中对于这种情况可
以合并为一类。
2)取)(
122
λλλ<为次大值，从R中直接找出相似程度为
2
λ的元素对),(
ji
xx，
即
2
λ≥
ij
r，并相应地将对应于1
1
=λ的等价分类中
i
x与
j
x所在的类合并为一类，即可
得到
2
λ水平上的等价分类。
3)依次取L>>>
321
λλλ，按第2)步的方法依次类推，直到合并到X成为一类
为止，最后可以得到动态聚类图。
3.3模糊聚类分析应用案例
例15某地区内有12个气象观测站，10年来各站测得的年降水量如表3所示。
为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量
信息仍然足够大？
表3年降水量（mm）
站1站2站3站4站5站6站7站8站9站10站11站12
1981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.2
1982251.5287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.1
1983192.7433.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.2
1984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327.0296.5423.0
1985291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.9255.4362.1
1986466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2277.5304.2410.7
1987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.6
1988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.2
1989158.2271.0410.2344.2250.0360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.7
1990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1
解我们把12个气象观测站的观测值看成12个向量组，由于本题只给出了10年
的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则
该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所
含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由最
大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
用10,,2,1L=i分别表示1981年，1982年，…，1990年。
ij
a（10,,2,1L=i，
12,,2,1L=j）表示第j个观测站第i年的观测值，记
1210
)(
×
=
ij
aA。
利用MATLAB可计算出矩阵A的秩10)(=Ar，且任意10个列向量组成的向量组
-433-
都是最大线性无关组，例如，我们选取前10个气象观测站的观测值作为最大线性无关
组，则第11，12这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10个气象观测站的数据
表示。设
i
x（12,,2,1L=i）表示第i个气象观测站的观测值，则有
109876
5432111
9379.2679.18396.01649.00442.1
3075.13191.01639.0756.00124.0
xxxxx
xxxxxx
++???
?++?=
109876
5432112
9397.265581.15868.50196.278061.19
9423.183458.68035.96301.104549.1
xxxxx
xxxxxx
??+?+
++++=
到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数
据不是10年，而是超过12年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的
向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先，
我们利用已有的12个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉
几个观测站。
（1）建立模糊集合
设
j
A（这里我们仍用普通集合表示）表示第j个观测站的降水量信息
（12,,2,1L=j），我们利用模糊数学建立隶属函数：
2
)(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
j
j
j
b
ax
A
exμ
其中
10
10
1
∑
=
=
i
ij
j
a
a，
∑
=
?=
10
1
2
)(
9
1
i
jijj
aab。
利用MATLAB程序可以求得
jj
ba,（12,,2,1L=j）的值分别见表4，表5。
表4均值
j
a（12,,2,1L=j）的值
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
a
291.98311.77320.32342.28292.22315.15343.99303.71312.16299.47310.72391.89
表5标准差
j
b（12,,2,1L=j）的值
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
b
7
b
8
b
9
b
10
b
11
b
12
b
100.2580.93108.2463.9794.194.238.0585.07109.457.2586.5236.83
（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
令
2
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
=
ji
ij
bb
aa
ij
er，（12,,2,1,L=ji）
求模糊相似矩阵
1212
)(
×
=
ij
rR，具体求解结果略。
（3）求R的传递闭包
求得
4
R是传递闭包，也就是所求的等价矩阵。这里传递闭包的结果略。
取998.0=λ，进行聚类，可以把观测站分为4类：
-434-
}{},{},,,,,,{},{
127411109863251
xxxxxxxxxxxxUUU
上述分类具有明显的意义，
51
,xx属于该地区10年中平均降水量偏低的观测站，
74
,xx属于该地区10年平均降水量偏高的观测站，
12
x是平均降水量最大的观测站，而
其余观测站属于中间水平。
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测
站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为4类，且第4
类只含有一个观测站，因此，我们从前3类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
∑
=
?=
10
1
2
3
)(min
i
ii
dderr
其中，
i
d表示该地区第i年的平均降水量，
3i
d表示该地区去掉3个观测站以后第i年
的平均降水量。利用MATLAB软件，我们计算了28组不同的方案（表7），求得满足
上述准则应去掉的观测站为：
765
,,xxx，此时年平均降水量曲线如图3所示，二者很
接近。
198019851990
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
198019851990
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
该地区年平均降水量取消3个站点后年平均降水量
图3年降水量比较示意图
表6前3类各取消一个站点的各方案的误差平方和
取消站点编号err取消站点编号err
1421.71E+035423.36E+03
1431.30E+035432.27E+03
1462.03E+035461.14E+03
1482.94E+035483.26E+03
1492.29E+035492.04E+03
14101.94E+0354104.08E+03
14111.49E+0354112.39E+03
1721.29E+035722.51E+03
1731.82E+035732.36E+03
1761.95E+035766.26E+02
1781.53E+035781.42E+03
1791.65E+035799.72E+02
17101.11E+0357102.81E+03
17111.05E+0357111.51E+03
-435-
（5）求解的MATLAB程序如下：
i）求模糊相似矩阵的MATLAB程序
a=[276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.2
251.5287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.1
192.7433.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.2
246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327.0296.5423.0
291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.9255.4362.1
466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2277.5304.2410.7
258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.6
453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.2
158.2271.0410.2344.2250.0360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.7
324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
fori=1:12
forj=1:12
r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
end
end
r
savedata1ra
ii）矩阵合成的MATLAB函数
functionrhat=hecheng(r);
n=length(r);
fori=1:n
forj=1:n
rhat(i,j)=max(min([r(i,:);r(:,j)'']));
end
end
iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
loaddata1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
bh(find(r2>=0.998))=1
iv)计算表6的程序
functiontable6
loaddata1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
fori=1:length(ind1)
forj=1:length(ind3)
fork=1:length(ind2)
t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
err=wucha(a,t);
so=[so;[t,err]];
end
end
end
so
-436-
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)
%以下是计算误差平方和的函数
functionerr=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);
§4模糊决策分析方法
模糊数学中有一个研究的热点问题就是“模糊决策”，它就是研究在模糊环境下或者
模糊系统中进行决策的数学理论和方法。模糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊
环境下进行排序，或按某些模糊限制条件从决策域中选择出最优对象。
4.1模糊综合评价法
模糊综合评价方法，是应用模糊关系合成的原理，从多个因素(指标)对被评价事物
隶属等级状况进行综合性评判的一种方法，其具体的步骤为:
(1)确定被评判对象的因素论域U，},,,{
21n
uuuUL=；
(2)确定评语等级论域V，},,,{
21m
vvvVL=。通常评语有=V{很高，高，较
高，…，较低，低，很低}；
(3)进行单因素评判，建立模糊关系矩阵R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
nmnn
m
m
rrr
rrr
rrr
R
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
，10≤≤
ij
r
其中
ij
r为U中因素
i
u对于V中等级
j
v的隶属关系；
(4)确定评判因素权向量),,,(
21n
aaaAL=，A是U中各因素对被评事物的隶属
关系，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要性分配
权重；
(5)选择评价的合成算子，将A与R合成得到),,,(
21m
bbbBL=。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
nmnn
m
m
n
rrr
rrr
rrr
aaaRAB
L
LLLL
L
L
oLo
21
22221
11211
21
),,,(
)()()(
2211njnjjj
rararab
????
?++?+?=L，mj,,2,1L=
常用的模糊算子有:
①),(∨∧M，即用∧代替
?
?，用∨代替
?
+，式中∧为取小运算，∨代表取大运
算；
②),(∨?M，即用实数乘法?代替
?
?，用∨代替
?
+；
③),(⊕∧M，即用∧代替
?
?，用⊕代替
?
+，其中),1min(baba+=⊕；
-437-
④),(⊕?M，即用实数乘法?代替
?
?，用⊕代替
?
+。
经过比较研究，),(⊕?M对各因素按权数大小，统筹兼顾，综合考虑，比较合理。
(6)对模糊综合评价结果B作分析处理。
★模糊综合评价法建模实例
科技成果通常可用技术水平、技术难度、工作量、经济效益、社会效益等5个指
标进行评价，等级分为一等、二等、三等、四等。某项科研成果经过评委会评定，得到
单因素评判矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
022.035.043.0
39.030.022.009.0
26.044.030.00
09.039.035.017.0
04.022.039.035.0
R
若为了评定作者的学术成就，取权数分配
)1.0,1.0,1.0,35.0,35.0(=A，
综合评判为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
022.035.043.0
39.030.022.009.0
26.044.030.00
09.039.035.017.0
04.022.039.035.0
)1.0,1.0,1.0,35.0,35.0(ooRAB
用),(∨∧M算子计算得到)1.0,35.0,35.0,35.0(=B成果仍模糊，成果评一、二、
三等都行，无法分辨。
用),(∨?M算子，得
)04.0,14.0,14.0,12.0(=B
用),(⊕∧M算子，得
)33.0,87.0,1,71.0(=B
用),(⊕?M算子，得
)11.0,31.0,35.0,23.0(=B
由计算结果可见，用),(⊕?M评价模型比较合理，成果应评为二等奖。
4.2多目标模糊综合评价决策法
当被评价的对象有两个以上时，从多个对象中选择出一个最优的方法称为多目标模
糊综合评价决策法。
评价的步骤：
①对每个对象按上面多个因素进行模糊综合评价；
②将模糊评语量化，计算各对象的总评分。假设模糊评价评语量化集（或评价尺
度）为S，则各对象的总评分为：
T
m
m
kkk
T
kk
SSSBBBSBN),,,(),,,(
21
21
LL?==
★多目标模糊综合评价决策法建模实例
假定在上例中有两项科研成果，第一项科研成果为甲项，其模糊评价结果为
-438-
)11.0,31.0,5.0,23.0(
1
=B
现对科研成果乙进行同样的模糊评价，其评价矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
3.03.02.02.0
1.06.02.01.0
1.02.030.04.0
01.06.03.0
01.06.03.0
2
R
同样地，求得综合评价为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
3.03.02.02.0
1.06.02.01.0
1.02.030.04.0
01.06.03.0
01.06.03.0
)1.0,1.0,1.0,35.0,35.0(
22
ooRAB
)003.0,18.0,49.0,28.0(=
下面将评语集量化：即（一等、二等、三等、四等）＝)1.0,2.0,3.0,4.0(＝S
所以==
T
SBN
11
)11.0,31.0,5.0,23.0(315.0)1.0,2.0,3.0,4.0(=
T
==
T
SBN
22
)003.0,18.0,49.0,28.0(=2953.0)1.0,2.0,3.0,4.0(=
T
所以，
21
NN>，即项目甲优于项目乙。
例16某露天煤矿有五个边坡设计方案，其各项参数根据分析计算结果得到边坡
设计方案的参数如表7所示。
表7设计方案数据表
项目方案I方案II方案III方案IV方案V
可采矿量(万吨)47006700590088007600
基建投资(万元)50005500530068006000
采矿成本(元/吨)4.06.15.57.06.8
不稳定费用(万元)305040200160
净现值(万元)1500700100050100
据勘探该矿探明储量8800吨，开采总投资不超过8000万元，试做出各方案的优
劣排序，选出最佳方案。
解首先确定隶属函数：
（1）可采矿量的隶属函数
因为勘探的地质储量为8800吨，故可用资源的利用函数作为隶属函数
8800
)(
x
x
A
=μ
（2）投资约束是8000万元，所以1
8000
)(+?=
x
x
B
μ。
（3）根据专家意见，采矿成本5.5
1
≤a元/吨为低成本，0.8
2
=a元/吨为高成本，
故
-439-
?
?
?
?
?
?
?
<
≤≤
?
?
≤≤
=
xa
axa
aa
xa
ax
x
C
2
21
12
2
1
,0
,
0,1
)(μ
（4）不稳定费用的隶属函数
200
1)(
x
x
D
?=μ。
（5）净现值的隶属函数
取上限15（百万元），下限0.5（百万元），采用线性隶属函数
)5.0(
5.14
1
)(?=xx
E
μ
根据各隶属函数计算出5个方案所对应的不同隶属度，见表8。
表8隶属度表
项目方案I方案II方案III方案IV方案V
可采矿量0.53410.76140.670510.8636
基建投资0.37500.31250.33750.150.25
采矿成本10.7610.40.48
不稳定费用0.850.750.800.2
净现值10.44800.655200.0345
这样就决定了模糊关系矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
0345.006552.04480.01
2.008.075.085.0
48.04.0176.01
25.015.03375.03125.03750.0
8636.016705.07614.05341.0
R
根据专家评价，诸项目在决策中占的权重为)25.0,10.0,20.0,20.0,25.0(=A，
于是得诸方案的综合评价为
)3905.0,3600.0,6789.0,5919.0,7435.0(==ARB
由此可知：方案I最佳，III次之，IV最差。
计算程序如下：
clc,clear
mf=@(x)[x(1,:)/8800%定义匿名函数计算模糊关系矩阵
1-x(2,:)/8000
(x(3,:)<=5.5)+(x(3,:)>5.5&x(3,:)<=8).(8-x(3,:))/2.5
1-x(4,:)/200
(x(5,:)-50)/1450];
%
x=[47006700590088007600
50005500530068006000
4.06.15.57.06.8
305040200160
1500700100050100];
-440-
r=mf(x);
a=[0.25,0.20,0.20,0.10,0.25];
b=ar
4.3多层次模糊综合评价模型的数学方法
4.3.1多层次模糊综合评价模型数学方法的基本步骤
(1)给出被评价的对象集合},,,,{
321k
xxxxXL=
(2)确定因素集(亦称指标体系)},,,{
21n
uuuUL=
若因素众多，往往将},,{
21n
uuuUL=按某些属性分成s个子集，
},,,{
)()(
2
)(
1
i
n
ii
i
i
uuuUL=，siL,2,1=，且满足条件：
①nn
s
i
i
=
∑
=1
；②UU
s
i
i
=
=
U
1
；③jiUU
ji
≠=,φI
(3)确定评语集},,{
21m
vvvVL=.
(4)由因素集
i
U与评语集V，可获得一个评价矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
)()(
2
)(
1
)(
1
)(
12
)(
11
i
mn
i
n
i
n
i
m
ii
i
iii
rrr
rrr
R
L
MMM
L
(5)对每一个
i
U，分别作出综合决策。设
i
U中的各因素权重的分配(称为模糊权向
量)为),,(
)()(
2
)(
1
i
n
ii
i
i
aaaAL=，其中1
1
)(
=
∑
=
i
n
t
i
t
a。
若
i
R为单因素矩阵，则得到一级评价向量为
iimiiii
BbbbRAΔ=),,,(
21
Lo，siL,2,1=
(6)将每个
i
U视为一个因素，记},,{
21s
UUUUL=，于是U又是单因素集，U
的单因素判断矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
smss
m
s
bbb
bbb
B
B
B
R
L
MMM
L
M
21
11211
2
1
每个
i
U作为U的一部分，反映了U的某种属性，可以按他们的重要性给出权重分配
),,,(
21s
aaaAL=
于是得到二级模糊综合评价模型为:
),,,(
21m
bbbRABLo==
若每个子因素
i
U(si,,2,1L=)仍有较多因素，则可将
i
U再划分，于是有三级或
更高级模型。
4.3.2多层次模糊综合评价决策法建模实例
科技成果模糊综合评价模型的建立及其有关参数的确定。
（1）科技成果综合评价的因素集(指标体系)的确定
根据科研成果的特点，并经过专家调研，设计如下一套综合评价指标体系。
-441-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
32
31
3
24
23
22
21
2
13
12
11
1
u
u
U
u
u
u
u
U
u
u
u
U
A
科研效率
科研规模
科研投入
技术创新
技术水平
学术创新
学识水平
科研水平
社会效益
潜在经济效益
直接经济效益
科研效益
科技成果综合评价
目标层)(A准则层)(B指标层)(C
图4科技成果综合评价层次结构
（2）科技成果的评语集的确定
在评价科技成果时，可以将其分为一定的等级.在此，从“专家打分”的角度把评
价的等级分为“10分”、“8分”、“6分”、“4分”、“2分”五个等级，因此评语集表示
为：
=V{10分，8分，6分，4分，2分}.
（3）确定各指标
i
u隶属于V中评语的隶属度
ij
r
采用评委会评分法确定隶属度
ij
r。
若评委会有n个人，那么对某一科技成果，指标层中某一指标隶属于V中某一评
语的隶属度表示为
n
jVuC
r
i
ij
个等级的人数中第全体评委中评其为中的某一因子对,
=
由于C中的9个指标按科研效益
1
U、科研水平
2
U、科研投入
3
U三个准则分成了
三类，把每个类别中的元素作为一个整体来构造评价矩阵，如
1
U(科研效益)中的“直
接经济效益”、“潜在经济效益”、“社会效益”对评语集V中的五个等级而言，按上述
的定义可得到53×矩阵
1
R，同样对
32
,UU可分别得到
32
,RR，即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
3534333231
2524232221
1514131211
1
rrrrr
rrrrr
rrrrr
R
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
''
45
''
44
''
43
''
42
''
41
''
35
''
34
''
33
''
32
''
31
''
25
''
24
''
23
''
22
''
21
''
15
''
14
''
13
''
12
''
11
2
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
R
?
?
?
?
?
?
=
"
25
"
24
"
23
"
22
"
21
"
15
"
14
"
13
"
12
"
11
3
rrrrr
rrrrr
R
（4）权重
k
a的确定
-442-
在（1）给出的综合评价体系中三大准则及9个指标，它们在综合评价中的重要程
度是不一样的。地位重要的，应给予较大的权重；反之，应给出较小的权重。下文给出
两种确定权重的实用方法。
①频数统计法确定权重
设因素集为},,{
21n
uuuUL=，请k)30(≥k位专家对各因素提出自己的权重分
配。组织者根据回收的权重分配调查表，对每个因素
i
u(niL,2,1=)进行单因素的权
重统计试验，步骤如下
i)对因素
i
u(niL,2,1=)在它的权重
ij
a(kjL,2,1=)中找出最大值
i
M和最小值
i
m。
ii)适当选取正整数p，利用公式
p
mM
ii
?
计算出把权重分成p组的组距，并将权
重从大到小分成p组。
iii)计算落在每组内权重的频数与频率。
iv)根据频数和频率分布情况，一般取最大频率所在分组的组中值为因素
i
u的权重
i
a(niL,2,1=)，从而得到初始权重的向量为),,,(
21n
aaaAL=，再归一化处理，
得权重向量为
),,,(
11
2
1
1
∑∑∑
===
=
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
a
a
a
a
a
a
AL
②模糊层次分析法（AHP）确定权重
该法的基本原理是从（1）中给出的综合评价体系的层次结构出发，针对每个准则
内的指标，运用专家的知识、智慧、信息和价值观，对同一层或同一个域的指标进行两
两比较对比，并按1－9判断标度及含义构造判断矩阵
nnij
dD
×
=)(，再计算比较判断矩
阵D的最大特征根
max
λ，并由
max
λ解特征方程：xDx
max
λ=得到对应
max
λ的特征向
量
T
n
xxxx),,,(
21
L=，最后进行归一化处理，得到最后的评价指标权重向量：
),,,(
11
2
1
1
∑∑∑
===
=
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
x
x
x
x
x
x
AL
在确定最终的权重向量之前需要对判断矩阵D作一致性检验。
设由以上提供的任一方法所确定的权数向量为：
),,(
321
aaaA=),,(
1312111
aaaA=),,,(
242322212
aaaaA=),(
32313
aaA=
其中A表示科研效益
1
U、科研水平
2
U、科研投入
3
U三个准则的权重向量；
i
A表示各
准则
i
U（3,2,1=i）中的各指标的权重向量。
（5）科技成果的综合评价
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
3534333231
2524232221
1514131211
321
33
22
11
321
),,(),,(
bbbbb
bbbbb
bbbbb
aaa
RA
RA
RA
aaaRABo
o
o
o
oo
-443-
),,,,(
54321
bbbbb=
其中“o”取算子),(⊕?M：?定义为abbaba=×=?；⊕定义为1)(∧+=⊕baba。
对B进行归一化处理得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
∑∑∑
===
n
i
i
i
i
i
i
b
b
b
b
b
b
B
1
5
5
1
2
5
1
1
,,,L%),%,%,(
521
CCCLΔ
结果说明：对某科技成果，评委中有%
1
C的人认为可得10分，有%
2
C的人认为
可得8分，有%
3
C的人认为可得6分，有%
4
C的人认为可得4分，有%
5
C的人认为
可得2分。
进一步的，把10分，8分，6分，4分，2分作为5个档次。令
T
Y)2,4,6,8,10(=，
所以该科技成果的综合评价得分为：BYZ=，得到
=Z%2%4%6%8%10
54321
CCCCC++++
4.4模糊多属性决策方法
4.4.1模糊多属性决策理论的描述
模糊多属性决策理论是在经典多属性决策理论基础上发展起来的，它可以描述为：
给定一个方案集},,,{
21m
AAAAL=和相应的每个方案的属性集（也称指标集）
=C},,,{
21n
CCCL，并给定每种属性相对重要程度的权重向量),,,(
21n
wwwwL=。
把已知的属性指标、权重大小和数据结构都相应的表示成决策空间中的模糊子集或模糊
数，得到模糊指标值矩阵，记为
nmij
fF
×
=)(。然后采用广义模糊合成算子对模糊权重
向量w和模糊指标值矩阵F实施变换，得到模糊决策矩阵D：FwDΘ=，对于D中
的元素采用模糊折衷型决策方法对其进行排序，以此来选出
i
A(mi,,2,1L=)中的最优
方案。
4.4.2折衷型模糊多属性决策方法
（1）折衷型模糊决策的基本原理
折衷型模糊决策的基本原理是：从原始的样本数据出发，先虚拟模糊正理想和模糊
负理想，其中模糊正理想是由每一个指标中模糊指标值的极大值构成；模糊负理想是由
每一个指标中模糊指标值的极小值构成。然后采用加权欧氏距离的测度工具来计算各备
选对象与模糊正理想和模糊负理想之间的距离。在此基础上，再计算各备选对象属于模
糊正理想的隶属度，其方案优选的原则是，隶属度越大，该方案越理想。
（2）折衷型模糊决策的基本步骤
Step1：指标数据的三角形模糊数表达
定义15记)(RF为R上的全体模糊集，设)(RFM∈。如果M的隶属度函数
M
μ
表示为
?
?
?
?
?
><
∈??
∈??
=
uxlx
umxumux
mlxlmlx
x
M
或,0
],[),/()(
],[,)/()(
)(μ
其中uml≤≤，则称M为三角模糊数，记为),,(),,(
RL
mmmumlM==。
下面运用以上的定义将定性、定量指标以及权重数据统一量化为三角模糊数。
-444-
1)对于定性指标，利用三角模糊数比例法将定性指标转化为定量指标，其具体的
转化形式见表9。
表9定性指标向定量指标转化的三角模糊数比例法
量化值
属性
(1,1,2)(2,3,4)(4,5,6)(6,7,8)(7,8,9)(9,10,10)
成本型指标很高高一般低很低最低
收益型指标很低低一般高很高最高
2)对于精确的定量指标值，也写成三角模糊数的形式。设a是一个具体的精确数，
由三角模糊数的定义，则a表示成三角模糊数的形式为
),,(aaaa=（1）
当所有的属性指标全部化为三角模糊数后，设此时得到的模糊指标矩阵为
nmij
fF
×
=)(。
3）对于权重向量的三角模糊数表示
①若权重是定量的形式给出的，则由公式（1）可表示为
[]),,(),,,(),,,(),,,(),,,(
555444333222111
wwwwwwwwwwwwwwww=（2）
②若权重是定性描述给出的，此时可以利用表9的转化方法将其转化为三角模糊
数的表达形式.
Step2:模糊指标矩阵F归一化处理
有m个评价对象，对于某个评价指标而言，在F中对应有m个模糊指标值，记为
),,(
iiii
cbax=，),,2,1(miL=。将
i
x进行归一化的具体公式如下：
①若
i
x是成本型指标对应的模糊指标值，则归一化公式为
?
?
?
?
?
?
?
?
∧=1
)min(
,
)min(
,
)min(
i
i
i
i
i
i
i
a
c
b
b
c
a
y（3）
②若
i
x是收益型指标对应的模糊指标值，则归一化公式为
?
?
?
?
?
?
?
?
∧=1
)max(
,
)max(
,
)max(
i
i
i
i
i
i
i
a
c
b
b
c
a
y（3’）
设归一化后的模糊指标矩阵
nmij
yR
×
=)(。
Step3:构造模糊决策矩阵
将归一化后的模糊指标矩阵R进行加权处理可得到模糊决策矩阵
nmij
rD
×
=)(，其
中
ijij
ywrΘ=(mi,,2,1L=，nj,,2,1L=)
这里我们采用普通的加权方式，即若),,(
)3()2()1(
wwww=，),,(
)3()2()1(
ijijijij
yyyy=，则
),,(
)3()3()2()2()1()1(
ijijijijij
ywywywywr=Θ=（4）
Step4:确定模糊正理想
+
M与模糊负理想
?
M
设
),,,(
21
++++
=
n
MMMML，),,,(
21
????
=
n
MMMML（5）
其中分量},,,max{
21mjjjj
rrrML=
+
(nj,,2,1L=)是模糊决策矩阵D中第j列的模
-445-
糊指标值所对应的模糊极大值；},,,min{
21mjjjj
rrrML=
?
（nj,,2,1L=）是模糊决
策矩阵D中第j列的模糊指标值所对应的模糊极小值。
Step5:确定评价对象i与模糊正理想
+
M之间的距离
+
i
d
∑
=
++
?=
n
j
jiji
Mrd
1
2
)(，mi,2,1L=（6）
Step6:确定评价对象i与模糊负理想
?
M之间的距离
?
i
d
∑
=
??
?=
n
j
jiji
Mrd
1
2
)(，mi,2,1L=（7）
Step7:模糊优选决策
设评价对象i以隶属度
i
μ从属于模糊正理想，这里取
?+
?
+
=
ii
i
i
dd
d
μ，mi,,2,1L=（8）
显然10≤≤
i
μ，若
i
A与
+
M越接近，则
i
μ越接近于1。按隶属度
i
μ从大到小进行排
序。
i
μ越大，表示评价对象i越优。最后按隶属度的排序结果确定评价对象的优劣。
4.4.3折衷型模糊决策方法建模实例
某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序
如下：
（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可
报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部
分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序选出16人进入第二阶段的面试考核。
（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变
能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面
都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表10所示。
现要求根据表10中的数据信息对16名应聘人员作出综合评价，选出8名作为录用
的公务员。
表10招聘公务员笔试成绩，专家面试评分
专家组对应聘者特长的等级评分
应聘
人员
笔试
成绩
知识面理解能力应变能力表达能力
人员1290AABB
人员2288ABAC
人员3288BADC
人员4285ABBB
人员5283BABC
人员6283BDAB
人员7280ABCB
人员8280BAAC
人员9280BBAB
-446-
人员10280DBAC
人员11278DCBA
人员12277ABCA
人员13275BCDA
人员14275DBAB
人员15274ABCB
人员16273BABC
（此题来源于2004年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题——公务员招聘）
建模过程：
①借鉴表9的思想，对于定性指标值A，B，C，D，可以定义表11的量化标准将
这些定性指标进行量化，其具体的量化形式见表11。
表11定性指标量化标准
专家评分等级ABCD
量化模糊数(85，90，100)(75，80，85)（60，70，75）(50，55，60)
②由表11和公式（1）把表10中的指标信息、权重信息化成三角模糊数，得到
?
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?
?
=
)75,70,65()85,80,75()100,90,85()85,80,75()273,273,273(
)85,80,75()75,70,65()85,80,75()100,90,85()274,274,274(
)85,80,75()100,90,85()85,80,75()65,60,50()275,275,275(
)100,90,85()65,60,50()75,70,65()85,80,75()275,275,275(
)100,90,85()75,70,65()85,80,75()100,90,85()277,277,277(
)100,90,85()85,80,75()75,70,65()65,60,50()278,278,278(
)75,70,65()100,90,85()85,80,75()65,60,50()280,280,280(
)85,80,75()100,90,85()85,80,75()85,80,75()280,280,280(
)75,70,65()100,90,85()100,90,85()85,80,75()280,280,280(
)85,80,75()75,70,65()85,80,75()100,90,85()280,280,280(
)85,80,75()100,90,85()65,60,50()85,80,75()283,283,283(
)75,70,65()85,80,75()100,90,85()85,80,75()283,283,283(
)85,80,75()85,80,75()85,80,75()100,90,85()285,285,285(
)75,70,65()65,60,50()100,90,85()85,80,75()288,288,288(
)75,70,65()100,90,85()85,80,75()100,90,85()288,288,288(
)85,80,75()85,80,75()100,90,85()100,90,85()290,290,290(
F
[])125.0,125.0,125.0(),125.0,125.0,125.0(),125.0,125.0,125.0)(125.0,125.0,125.0(),5.0,5.0,5.0(=W
③由公式（3’）和（4）将F中的数据进行归一化并加权，得到模糊决策矩阵D。
④由公式（5）确定出模糊正理想与模糊负理想
)]125.0,125.0,1063.0(),125.0,125.0,1063.0(
),125.0,125.0,1063.0(),125.0,125.0,1063.0(),5.0,5.0,5.0[(=
+
M
)]125.0,0972.0,075.0(),0882.0,0764.0,0625.0(
),0882.0,0764.0,0625.0(),0882.0,0764.0,0625.0(),4707.0,4707.0,4707.0[(=
?
M
-447-
⑤模糊优选决策
由公式（6）～（8），可求出相应的
+
i
d，
?
i
d，
i
μ(16,,2,1L=i)，结果如表12。
表12计算结果数据表
人员编号
模糊正理想
+
i
d模糊负理想
?
i
d
隶属度
i
μ
10.02640.13380.8351
20.04620.12960.7373
30.08810.10570.5454
40.03560.12050.7718
50.05370.11660.6846
60.08220.1030.5559
70.05780.10990.6555
80.05470.12340.693
90.0440.1170.7265
100.09280.0980.5135
110.09490.08630.4762
120.060.1140.655
130.09870.08520.4634
140.09130.09870.5195
150.06880.1080.6109
160.07090.11270.6139
由以上结果可知，16个人的综合水平的高低排序为
131110143615
16127589241
μμμμμμμ
μμμμμμμμμ
>>>>>>>
>>>>>>>>
因此被选种的8个人员是1、4、2、9、8、5、7、12。
计算的MATLAB程序如下：
%把表10中的数据复制到纯文本文件mohu.txt中，然后把A替换成8590100，
%B替换成758085，C替换成607075，D替换成505560
clc,clear
loadmohu.txt
sj=[repmat(mohu(:,1),1,3),mohu(:,2:end)];%把第一列数据重复写3遍
%首先进行归一化处理
n=size(sj,2)/3;%指标的个数
m=size(sj,1);%评价对象的个数
w=[0.5ones(1,3),0.125ones(1,12)];%权重向量三角模糊数
w=repmat(w,m,1);%把权重向量变成和数据同维数的矩阵
y=[];%归一化数据矩阵的初始化
fori=1:n
tm=sj(:,3i-2:3i);%提出第i个指标的数据
max_t=max(tm);%求第i个指标的最大值
max_t=repmat(max_t,m,1);%把第i个指标的最大值向量变成与数据同维数的矩阵
max_t=max_t(:,3:-1:1);%为了下面计算需要，把最大值矩阵的列变成逆序
yt=tm./max_t;%数据归一化处理
yt(:,3)=min([yt(:,3)ones(m,1)],[],2);%归一化数据的第3列进行特殊处理
-448-
y=[y,yt];%构造归一化矩阵的各个列
end
r=y.w;%求模糊决策矩阵
mplus=max(r);%求M＋
mminus=min(r);%求M－
dplus=dist(mplus,r'');%求到M＋距离
dminus=dist(mminus,r'');%求到M－距离
mu=dminus./(dplus+dminus);%求隶属度
[mu_sort,ind]=sort(mu,''descend'')%对评分按递减顺序排序
习题二十二
1.（工程评标问题）某建设单位组织一项工程项目的招标，组建评标专家组对4
个投标单位的标书进行评标。4个标书的指标信息见表13，其中前三个指标信息是各投
标单位给定的精确数据，后三个指标信息是评标专家组经考察后的定性结论。请你帮
评标专家组设计一个工程评标模型，以确定最后中标单位。
表13各投标单位基本信息表
指标
单位
投标报价
(万元)
工期
(月)
主材用料
(万元)
施工方案质量业绩
企业
信誉度
A
1
48015192很好好高
A
2
49014196好一般一般
A
3
50114204好好很高
A
4
47518190一般很好一般
权重0.30.10.10.20.10.2
2．某投资银行拟对某市4家企业(记为
4321
,,,XXXX)进行投资,抽取6项主要指
标进行评估:
1
C：年产值(单位:千万元)；
2
C：社会效益(单位:千万元)；
3
C：生产能力；
4
C：
管理能力；
5
C：技术能力；
6
C：对环境的污染程度。
评估专家组考察了3家企业2003年—2005年三个年度在6个指标下的具体情况，考察
的指标值见表14,其中前2个指标信息是统计得到的精确数据,后4个指标信息是评估专
家组经考察后的定性结论。
(1)在已知评价指标权重为)1.0,1.0,1.0,2.0,2.0,3.0(=W的情况下，试建立数学模
型确定投资银行的最佳投资企业。
(2)在评价指标权重未知的情况下，又如何确定投资银行的最佳投资企业？
表14各企业三个年度指标信息情况表
200320042005
指标
X
1
X
2
X
3
X
4
X
1
X
2
X
3
X
4
X
1
X
2
X
3
X
4
C
1
5.66.15.86.55.85.76.26.35.75.96.56.9
C
2
2.73.02.82.93.02.83.33.12.93.53.23.4
C
3
高很高一般一般很高高高一般高很高高很高
-449-
C
4
一般一般高很高高很高高很高高很高一般很高
C
5
高低很高一般很高一般高高一般高很高一般
C
6
很低低一般高低很低高一般一般低很高低
3．近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日趋严重，如何对湖泊水质的富营养化
进行综合评价与治理是摆在我们面前的一项重要任务。表15和表16分别为我国5个湖
泊的实测数据和湖泊水质评价标准。
表15全国5个主要湖泊评价参数的实测数据
总磷（mg/L）耗氧量（mg/L）透明度（L）总氮（mg/L）
杭州西湖13010.30.352.76
武汉东胡10510.70.42.0
青海湖201.44.50.22
巢湖306.260.251.67
滇池2010.130.50.23
表16湖泊水质评价标准
评价参数极贫营养贫营养中营养富营养极富营养
总磷<1423110>660
耗氧量<0.090.361.87.1>27.1
透明度>37122.40.55<0.17
总氮<0.020.060.311.2>4.6
（1）试利用以上数据，分析总磷、耗氧量、透明度和总氮这4种指标对湖泊水质
富营养化所起作用。
（2）对上述5个湖泊的水质进行综合评估，确定水质等级。
表17年降水量（mm）
站1站2站3站4站5站6站7站8站9站10站11站12
1981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.2
1982251.5287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.1
1983192.7433.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.2
1984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327.0296.5423.0
1985291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.9255.4362.1
1986466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2277.5304.2410.7
1987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.6
1988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.2
1989158.2271.0410.2344.2250.0360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.7
1990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1
-450-
4．某地区内有12个气象观测站，10年来各站测得的年降水量如表17所示。为了
节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息
仍然足够大？
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