“要怀疑一切，才能有所发现！”——古希腊数学家在康德的哲学概念中，二律悖反指
对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象康德在《纯粹理性批判》中提出了理性在宇宙论问题上的四组二
律背反：①正题：世界在时间上有开端，在空间上有限；反题：世界在时间上和空间上无限。②正题：世界上的一切都是由单一
的东西构成的；反题：没有单一的东西，一切都是复合的。③正题：世界上有出于自由的原因；反题：没有自由，一切都是依自然法则。
④正题：在世界原因的系列里有某种必然的存在体；反题：里边没有必然的东西，在这个系列里，一切都是偶然的。第一组二律悖反
，说宇宙在时间上是有限的和无限的可以证明。如他用归谬法（归谬法是通过一个命题导出一个荒谬的结论而否定该命题的一种方法）进行证明：因
为如果承认宇宙在时间上是无限、没有开端的，那么就等于说到了一个时间点上（比如到目前为止），一段无限的时间序列已经结束了，但这是不可
能的，因为“无限”就是没有结束之意，怎能说无限的时间结束了呢？由此看来，时间只能是有限的；另一方面，如果承认时间有限，则等于说，宇
宙在时间上有个开端，在此以前宇宙还不存在，这也就等于在开端之前，时间是空的，而在空的绝对时间中是不可能形成万物和世界的，所以，宇宙
在时间上有个开端是不可能的，因此说时间是无限的。这种证明说明宇宙在时间上是无限的和有限的这两个命题都是正确的。空间是无限的与有限的
这两个命题也同样可以证明都是正确的。双生子佯谬你和你的双胞胎兄弟是同时出生的,假设你现在出发进行空间航行,飞船的速度接近光
速(c),而你的兄弟留在地球上,因为速度接近光速,所以在地球上的兄弟看来,你的时间流逝的比较慢,这样在你返回的时候将会发现他比你衰
老.虽然这似乎和常识相抵触,但一系列实验已经证明在这个场景中旅行的你确实比你的兄弟更年轻些。这个结果似乎与狭义相对论矛盾：
双生兄弟中的每一个人都认为对方相对于自己运动，因此由于时间膨胀的作用，每一个人都认为对方应该比自己年轻。狭义相对论指出所有观测者都
有同等意义，没有任何一个参考系（frameofreference）是会获得优待的。因此旅行者会预期回到地球后会看见比他更年轻的
双生兄弟，但这就与他兄弟的想法恰好相反。但实际上旅行者的期望是错误的：狭义相对论并没有说所有观测者都有同等意义，而是只有在
惯性系中的观测者（即没有进行加速运动的观测者）才有同等的意义。但宇宙飞船在旅途中亳无疑问是至少加速过一次的，所以旅行者并不是惯性系
。反之，留在地球上的兄弟在整个航程中都是在惯性系之中（如果忽略源自地球质量及移动所带来的相对较小的加速度），所以他能够把他跟他兄弟
分辨开来。由谬论可以推出任何一句话这句话的英语原文是“Everythingisimpliedbyafallac
y”，是逻辑学中的一条定理，也称为“由任何一句假话都可以推出任何一句话”，形式化的表述是(非P)→(P→Q)。“由谬论可以
推出任何一句话”的概念是罗素最先提出的。他举了一个荒谬的例子“如果1+1=3，那么罗素是教皇”，并给出了“证明”：根据自然
数3的定义，3=2+1，但已知1+1=3，所以1+1=2+1，利用等量公理得到1+1-1=2+1-1，即1=2；考虑集合{
罗素，教皇}，这个集合的元素个数为2，但是已证1=2，所以也可以说这个集合的元素个数为1，由此可以得出罗素=教皇，证毕。通
过这个例子，可以给出对于“逻辑蕴含”（即“推出”）的形式定义：“P→Q当且仅当Q为真或P为假”。宋刻本《周髀算经》（上海图
书馆藏）下面，和大家说几个有意思的悖论一、一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天中午进行，但
是具体哪一天行刑将在这一天的上午再让你知道。”囚犯分析道：“下周六是最后一天。如果下周五下午我还活着，那么我在下周五下午就知道了下
周六中午我一定会被处死。但是这和法官的判决有矛盾，因此我不可能在下周六被绞刑。”那下周五成了最后一天，同理，他不可能在下周五被绞刑
，以此类推，他认为在下一个星期四、星期三、星期二、星期一、星期日都不可能被绞刑。因此，法官的判决将无法执行。这种连锁悖论
式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何一天被执行，囚犯的预期落空。二、传说古希腊人爱瓦梯尔（Eulath
lus）向普洛太哥拉斯学习辩术（另有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付
，如果败诉，则学费不必再交。但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。普洛太哥拉斯准备告他，说：“
如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜诉，法官也会判我不付
学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》）这个问题反过来看，逻辑上也同样
成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我，我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去不可能有结果罗素构
造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个
集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定
义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。一、罗素悖论：通俗版解释一天，萨维
尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。
从1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。并直到十九世纪末，全部数学几乎都建立在集
合论的基础上了。就在这时，集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通
俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大批新成
果，也带来了数学观念的革命。如1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF
系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG
系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言
有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发
展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展以上
简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。悖论的出现逼迫数学
家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促
成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就
是数学悖论重要意义之所在吧。什么是悖论？悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的
命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于
数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
——百科名片
二律背反antinomy（两个显然令人信服的原理之间的，或者从它们
正确地导出的推论之间的矛盾）
一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（
似是而非的理论）我们的悖论(严
格意义上的)paradox（悖论一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬））
看起来与常识矛盾或者对立的，然而可能是正确的命题谬论f
allacy（从错误的开始或错误的推理中得到的错误的骇人听闻的
结论）一系列推理看起来好像无法打破，可是
却导致逻辑上自相矛盾backback我们再来看一个有趣的悖论----亚里士多
德的轮子悖论如图，轮子上有两个同心圆，轮子滚动一周，从A点移动到B点。这时，|AB|相当于大圆的周长，此时，小圆也正好转动一周
，并走过了长为|AB|的距离。这表明，小圆的周长也是|AB|！由此我们甚至可以推论，所有的圆都是没有半径的点！轮子滚动
一周＝＞大圆周长＝|AB|小圆走过的长为|AB|的距离正好转动一周＝＞小圆周长也是|AB|大家觉得问题
在哪里呢？事实上，最后一个推导是错误的。这说明，小圆是怎样被带着走了长为|AB|的距离。所以|AB|不能代表它的周长。以上
是一个谬论由上面的小悖论可以看出悖论对人思维的挑战，但是大家不要以为悖论是错误的，认为它的存在会让数学往相反的方向走去。其实恰
恰相反，它的存在会让数学的基础越来越坚固。一些悖论之所以会出现，并非恶意，是由于实际上它确实存在，也就是说数学上尚存在这个漏洞，下
面，我将为讲解一下由悖论而引起的数学史上的三次数学危机一、希帕索斯悖论与第一次数学危机二、贝克莱悖论与第二次数学危机三
、罗素悖论与第三次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机首先从勾股定理说起，大家知道，勾股定理是作为人类精神文明的象征之一，
在飞向太空的旅行者号飞船中，便携带了由黄金制作的勾股定理的金属板。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理
的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。《周髀算经》卷上
记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。而第
一次数学危机的产生，就是因为勾股定理的一个特例，当然，这首先要讲述一个古希腊的著名数学家与哲学家——毕达哥拉斯毕达哥拉斯何许
人也？毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派
。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。在欧洲，由
于毕达哥拉斯最先证明了勾股定理，因此，国外将之称为毕达哥拉斯定理，据说，由于毕达哥拉斯证明此定理后欣喜若狂，便宰了100头牛以示庆
贺，这个定理又被称为“百牛定理”而我们的故事，便是由此开始。。。每一个时代，都不缺乏像东大的学生一样勤于思考的人。。。。毕达
哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不
能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了
一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致
命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以
表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我
们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根
本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称
“第一次数学危机”。直到二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的
成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，
从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但是欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和
量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附
在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来
。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位
的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。back贝克莱悖论与第二次数
学危机第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数
学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛
顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混
乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。贝克莱数学史上把贝克莱
的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是
0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。
一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？于是，数
学家们展开了长达一个世纪的漫漫征程。。。。。。牛顿莱布尼兹18世纪：朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉19世纪：柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔。。。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。back十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。这一发现使数学家们为之陶醉。甚至在1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。康托尔罗素罗素悖论与第三次数学危机 |
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