第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例12013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx
图1
．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝．所以A．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
设y＝，可得．图2
所以抛物线的表达式为．
（2）由，
得抛物线的顶点M的坐标为．所以．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A、B(2,0)、M，
得，，．
所以∠ABO＝30°，．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当时，．此时C(4,0)．
②如图4，当时，．此时C(8,0)．
图3图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
图5
例22012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
．
满分解答
（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．
如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．
解得．所以点P的坐标为()．
，得A()，OA＝1．
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
当，即时，△BQA∽△QOA．
所以．解得．所以符合题意的点Q为)．
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA．
当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．
图4图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例32012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）将M(2,2)代入，得．解得m＝4．
（2）当m＝4．所以C(4,0)，E(0,2)．
所以S△BCE＝．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
设对称轴与x轴的交点为P，那么．
因此．解得．所以点H的坐标为．
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为，由，得．
解得x＝m＋2．′(m＋2，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．
解得x＝2m．′．所以BF′＝2m＋2，．
由，得．解得．
综合①、②，符合题意的m为．
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例42010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1图2
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．
（2）梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
当S=36时，解得此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．
图3图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例52009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．
图2图3图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．
因此．
当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n），那么
．
由于，所以．
例62008年苏州市中考第29题
图1
满分解答
（1），，．
（2）由抛物线的解析式，得
点M的坐标为，点N的坐标为．
因此MN的中点D的坐标为（2，0），DN＝3．
因为△AOB是等腰直角三角形，如果△DNE与△AOB相似，那么△DNE也是等腰直角三角形．
①如图2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，－3）．
将E1（2，3）代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
将E2（2，－3）代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
②如果DN为斜边，那么点E的坐标为E3或E4．
将E3代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
将E4代入，求得．
此时抛物线的解析式为．
图2图3
对于点E为E1（2，3）和E3，直线NE是相同的，∠ENP＝45°．
又∠OBP＝45°，∠P＝∠P，所以△POB∽△PGN．
因此．
对于点E为E2（2，－3）和E4，直线NE是相同的．
此时点G在直线的右侧，．
又，所以．
考点伸展
在本题情景下，怎样计算PB的长？
如图3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC＝，PF＝，
PA＝，所以．
因动点产生的等腰三角形问题
例12013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1备用图
满分解答
（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以．所以，．
图2图3图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时．所以．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．
在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝C．
．所以．
②如图6，当QC＝QD时，由，可得．
所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．
此时．所以．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6
图5图6
考点伸展
如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．
例22012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由，BO＝CO，得PH＝BH＝2)、(1,)或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1,1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．
此时点M的坐标为(1,)或(1,)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3图4图5
例32012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．
所以点B的坐标为．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B，．解得．
所以抛物线的解析式为．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．
图2图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
由，得抛物线的顶点为．
因此．所以∠DOA＝30＝0°．
例42011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
y轴于点C，过点B作直线l//y轴．点P以每秒1个单位的速度沿OC—A的路线向点A运动同时线AO于点Q．当点到达点停止运动．以、、为顶点的三角形三角形得所以点A的坐标是(3，4)．
令，得．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2图3图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中，为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．
综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形
图5图6图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．
例52010年南通市中考第27题
如图，形ABCD中，AB＝，＝，线段BC上点连结D，作E⊥DE，E与BA交于点设C＝x，B＝y（）y关于x的函数关系式；（），要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
图，即．整理，得y关于x的函数关系为．
(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．
(3)若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y＝6代入，得m＝2（如图4）．
图2图3图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：
由第（1）题得到，
那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程
总有一个根的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．
例62009年江西省中考第25题
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
图1图2图3
满分解答
（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．
在Rt△BEG中，，∠B＝60°，
所以，．
所以点E到BC的距离为．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．
因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．
①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．
过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．
在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．
在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．
所以BG＝PQ＝1．
因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．
在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．
在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．
因此△PMN的周长为＋＋4．
图4图5
②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．
如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．
在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．
此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．
如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．
如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．
又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．
此时x＝4．
综上所述，当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形．
图6图7图8
考点伸展
第（2）②题求等腰三角形PMN可以这样解：
如图8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0），那么点P的坐标为（m，），MN＝MC＝6－m，点N的坐标为（，）．
由两点间的距离公式，得．
当PM＝PN时，，解得或．此时．
当MP＝MN时，，解得，此时．
当NP＝NM时，，解得，此时．
1.3因动点产生的直角三角形问题
例12013年山西省中考第26题
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．
（2）直线DB的解析式为．
由点P的坐标为(m,0)，可得，．
所以MQ＝．
当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．
解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．
此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．
所以四边形CQBM是平行四边形．
图2图3
（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．
考点伸展
第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为．
①如图3，当∠DBQ＝90°时，．所以．
解得x＝6．此时Q(6,－4)．
②如图4，当∠BDQ＝90°时，．所以．
解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
图3图4
例12012年广州市中考第24题
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
图1
满分解答
（1）由，
得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．
（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．
所以，点D的坐标为．
因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．
图2图3
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．
联结GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．
所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为．
根据对称性，直线l还可以是．
考点伸展
第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．
因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．
例32012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．
当k＝－2时，反比例函数的解析式是．
（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．
当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．图1
所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．
（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、BOQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．
由OQ2＝OA2，得．
解得（如图2），（如图3）．
图2图3
考点伸展
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1
答案
（1）直线①和③是点C的直角线．
（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．
如图2，当OP＝6时，l1：，l2：y＝－2x＋6．
如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1，l2：．
图2图3
例52010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1
满分解答
(1)因为抛物线经过原点，所以．解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．
(2)①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t,2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．
②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．
如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．
如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．
图1图2图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．
如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．
如图6，当两圆外切时，．
图4图5图6
例62009年嘉兴市中考第24题
如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
图1
满分解答
（1）在△ABC中，，，解得．（2）若AC为斜边，则，即，无．
若AB为斜边，则，解得，满足．
若BC为斜边，则，解得，满足．
或．
（3）在△ABC中，作于D设，△ABC的面积为S，则．
若点D在线段AB上，则．．．，．．，
所以（）．
当时（满足），取最大值，从而S取最大值．
图2图3
②如图3，若点D在线段MA上，则．
同理可得，（）．
易知此时．
综合得，△ABC的最大面积为．，
例如在图2中，由列方程．．．．和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
满分解答
（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
．
定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
．
定义域为2＜t≤5．
图2图3
②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM，，所以．解得．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当或者时，△MON为直角三角形．
图4图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6图7
例82008年河南省中考第23题
如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
满分解答
（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．
Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．
点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．
因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．
在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
．定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
．定义域为2＜t≤5．
图2图3
②把S＝4代入，得．
解得，（舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM，，
所以．解得．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．
不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当或者时，△MON为直角三角形．
图4图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6图7
1.4因动点产生的平行四边形问题
例12013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋cy＝－x2＋bx＋c解得，c＝1所以抛物线的解析式是．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA＝1，，
所以．图2
所以，．
在Rt△ABH中，．
（3）直线AB的解析式为．
设点M的坐标为，点N的坐标为，
那么．
当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．
解方程（如图3）．
图3图4
考点伸展
第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．
由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5），，，．
图5
例22012年福州市中考第21题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1图2
满分解答
（1）QB＝8－2t，PD＝．
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图，所以．
当PQ//AB时，，即．解得．
所以点Q的运动速度为．
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．
图4图5图6
考点伸展
第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．
设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得解得a＝0，b＝－2，c＝6．．因此．
所以点E的横坐标为．
将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．
所以点G的纵坐标为．于是得到．
因此．
所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1或．
考点伸展
第（3）题的解题思路是这样的：
因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．
再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．
，，，．
如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．
整理，得．解得，（舍去）．
如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．
整理，得．．所以，（舍去）．
图2图3
例42011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1
满分解答
（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．
如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．
（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．
（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．
因此点C的坐标为（2，2）．
图2图3
考点伸展
如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：
如图4，点C的坐标为．
图4
例52011年江西省中考第24题
将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）抛物线c2的表达式为．
（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．
抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：
情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．
图2图3图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．
考点伸展
第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．
同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．
因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
例62010年山西省中考第26题
在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1图2
满分解答
(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2)因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得，．所以直线DE的解析式为．
(3)由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．
②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．
由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此时点N的坐标为．
图3图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
图5图6
例72009年江西省中考第24题
如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．
图1
满分解答
（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．
（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．
因此DE=2．
因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．
当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．
②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此
．
m的变化范围是0≤m≤3．
图2图3
考点伸展
在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．
如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．
于是．解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）．
因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．
图4
1.5因动点产生的梯形问题
例12012年上海市松江区中考模拟第24题
已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．
直线y＝3x－3与x轴y轴y＝ax2＋2x＋c解得
所以抛物线的表达式y＝x2＋2x点B关于直线l的对称点Cy＝3x＋C(－2,－3)，可得b＝3．
所以点D的坐标为（0，3）．
②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．
由，得．
而DH＝7，所以PH＝3．
因此点E的坐标为（3，6）．
所以．
图2图3
．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．
例22012年衢州市中考第24题
如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得，，．所以．
（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．
直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．
解方程，得，．
x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．
图2图3
（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．
设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．
在Rt△OFG中，．所以．
在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．
所以．
在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．
因此．所以．
所以．
于是．
因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．
考点伸展
第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．
由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a,－a＋3)．
由直线OC：，可得．
由直线OA：y＝2x及A′(a,－a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，．
由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．
由E、F、G、H4个点的坐标，可得
例42011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1图2
满分解答
（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得解得
所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．
（2）由，知点B的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．
由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．
所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．
图3图4图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PGPMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．
②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．
此时．
考点伸展
第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：
方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
例52010年杭州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上
(1)写出点的坐标；(2)当四边形CMQP是梯形
①求t关于x的函数解析式；
当梯形CMQP的底之比为12时，求
图1
满分解答
(1)因为AB＝OC＝4，代入y＝得①如图2，过点Q作QH(x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x–t．所以．整理，得．
如图3，当P与C重合时，，解方程，得．
如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝(2，且x((2
图2图3图4
②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．
当时，．解方程，得（如图5）．此时．
当时，．解方程，得．
如图6，当时，当时，
图5图6图7
考点伸展
本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？
设点Q的坐标为，那么．
而点Q到x轴的距离为．
因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．
例72009年广州市中考第25题
如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）因为OC＝1，△ABC的面积为，所以AB＝．
设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a＋，0）．
设抛物线的解析式为，代入点C（0，－1），得．解得或．
因为二次函数的解析式中，，所以抛物线的对称轴在y轴右侧．因此点A、B的坐标分别为，．
所以抛物线的解析式为．
（2）如图2，因为，，所以．因此△AOC∽△COB．所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB．
因此m的取值范围是≤m≤．
图2图3图4
（3）设点D的坐标为．
①如图3，过点A作BC的平行线交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．
因为，所以．因此．解得．此时点D的坐标为．
过点B作AC的平行线交抛物线于D，过点D作DF⊥x轴于F．因为，所以．因此．解得．此时点D的坐标为．
综上所述，当D的坐标为或时，以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．
考点伸展
第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图3，先求得直线BC为，再根据AD//BC求得直线AD为，由直线AD和抛物线的解析式组成的方程组，得到点D的坐标．
1.6因动点产生的面积问题
例12013年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
图1
满分解答
（1）b＝，点B的横坐标为－2c．
（2）由，设E．
过点E作EH⊥x轴于H．
由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．
所以．因此．所以．
当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．
整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．
所以抛物线的解析式为．
（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．
直线BC的解析式为．
设，那么，．
所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．
因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．
当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．
例22012年菏泽市中考第21题
如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
图1
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．
因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
代入B′(0,2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．
（2）S△A′B′O＝1．
如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．
如图2，作PD⊥OB，垂足为D．
设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．
．
．
所以．
解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以点P的坐标为(1，2)．
图2图3图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
考点伸展
第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
．
．
所以．
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．
例32012年河南省中考第23题
如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）设直线与y轴交于点E，那么A．所以．
因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．
将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得
解得，．
（2）由，，
得．
所以．
所以PD的最大值为．
（3）；
当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．
图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而，
BM＝4－m．
①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．
②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．
例42011年南通市中考第28题
如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得解得所以直线l的解析式为．
（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
图2图3图4
（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．
当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．
①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
图5图6
例52010年广州市中考第25题
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图1
满分解答
(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时
S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD
＝
．
(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．
作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．
设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．
图2图3图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．
图5图6图7
例62010年扬州市中考第28题
如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
图1备用图
满分解答
(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2)①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．
如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．
②当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
因此，当时，y的最大值为．
图2图3图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．
例72009年兰州市中考第29题
如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
图1图2
满分解答
（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．
设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．
因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．
（4）当或时,OP与PQ相等．
图3图4
考点伸展
附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．
②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．
③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．
图5图6
1.7因动点产生的相切问题
例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，的半径长为3，点是上一定点，点为上不同于点的动点
（1）当时，求的长；
（2）如果过点、，且点在直线上（如图2），设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且，试求的半径的长，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得．所以．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜x≤6．
图4图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，，，因此．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得
．解得．
图6图7图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．
例22012年河北省中考第25题
如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
答案（1）点C的坐标为(0,3)．
（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，；
如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，．
图2图3
（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；
如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；
如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．
图4图5图6
例32012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一
答案（1）因为，，所以．因此PQ//BC．
（2）如图2，由PQ＝PH＝，得．解得．
如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．
如图4，由PQ＝PC，得．解得．
如图5，当P、C重合时，t＝2．
因此，当或1＜t≤或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．
当＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
图2图3图4图5
1.8因动点产生的线段和差问题
例12013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．
（1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
图1图2
满分解答
（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．
所以．因此．
解得OE＝1．所以E(0,1)．
（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．
在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．
所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．
所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．
此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．
②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为．
图3图4
考点伸展
第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，
所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．
当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．
在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝．
当A′、B、E′′三点共线时，．所以．
解得．此时．
例22012年滨州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2,－4)、O(0,0)、
B(2,0)三点．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
图1
答案（1）。（2）AM＋OM的最小值为．
图2图3
例32012年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，)，Q3()．
（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．
联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．
作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．
在Rt△BAF中，，AB＝4，．
在Rt△BB′E中，，，，．
所以．所以点B′的坐标为．
因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x,3x＋3)．
由，得．所以．
解得．所以点M的坐标为．
图2图3
考点伸展
第（2）题的解题思路是这样的：
①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2,3)．
②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．
解方程－x2＋2x＋3＝－3，得．所以点Q的坐标为()或()．
图4图5
第二部分函数图象中点的存在性问题
2.1由比例线段产生的函数关系问题
例12013年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1
答案
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．
（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，
因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．
图2图3图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：
由△DMB∽△BNF，知．
设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．
因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．
②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
图5图6
例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1图2图3
满分解答
在Rt△ABC中，AC＝6，，
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．
因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．
在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．
③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．
图5图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．
在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．
于是得到．
整理，得．定义域为0＜x＜5．
图7图8
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．
在Rt△OMF中，OF＝，所以．
在Rt△BPQ中，BP＝1，，．
在Rt△OPQ中，OF＝，所以．
①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．
②当PO＝PM＝1时，解方程，可得
③当OM＝OP时，解方程，可得．
例32012年连云港市中考第26题
如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1
答案（1）当M、N都在O右侧时，，，
所以．因此MN与AB不平行．
（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．
②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．
③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．
所以．解得t＝2．
图2图3图4
（3）①如图2，，，．
．
②如图3，，，．
．
③如图4，，，．
．
综合①、②、③，s
．
所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．
例42011年上海市中考第25题
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1图2备用图
满分解答
（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，，．
在Rt△ACP中，．
在Rt△CMP中，因为，所以．
（2）在Rt△AEP中，．
在Rt△EMP中，因为，所以．
因此，．
已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP．
于是．
定义域为0＜x＜32．
（3）①如图3，当E在AC上时，由，得．
解得x＝AP＝22．
②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．
在Rt△BEP中，．
在Rt△EMP中，，．
所以，．
这时由，得．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．
图3图4图5
考点伸展
如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．
2.2由面积产生的函数关系问题
例12013年菏泽市中考第21题
如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
图1
满分解答
（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．
由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．
因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．
将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得
解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．
（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．
当PQ⊥AC时，．所以．解得．
图2图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S△APQ＝，
S△ACD＝，
所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．
所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．
这时，所以．解得（如图4所示）．
图4
例22012年广东省中考第22题
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
满分解答
（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．
所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
所以．
而，AE＝m，
所以．
m的取值范围是0＜m＜9．
图2图3
（3）如图2，因为DE//CB，所以．
因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．
所以．
当时，△CDE的面积最大，最大值为．
此时E是AB的中点．．
在Rt△BEH中，．
当⊙E与BC相切时，．所以．
考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．
例32012年河北省中考第26题
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．
探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
图1图2
图3图4
答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．
拓展（1）S△ABD＝，S△CBD＝．
（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．
由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．
所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．
（3）x的取值范围是x＝或13＜x14．．
例42011年淮安市中考第28题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
图1
满分解答
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．
图2图3图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．
图5图6图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，，，由，得．
如图9，当G落在AC上时，，，由，得．
图8图9
例52011年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？
图1
满分解答
（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．
（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．
在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．
在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．
于是．因此．
②当M在OC上，Q在BC上时，．
因为，所以．
因此．
③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．
因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．
所以．
图2图3图4
（3）①当时，．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，
所以当时，S最大，最大值为．
②当时，．
因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．
③当时，．
因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．
综上所述，当时，S最大，最大值为．
考点伸展
第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？
此时，．因此．
图5
例62011年重庆市中考第26题
如图，矩形ABCD中，AB6，BC，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t使△AOH是等腰三角形？若存，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．（1）在RtABC中，，所以∠BAC＝30°
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，在RtBCF中，∠＝0°，BC=，运动时间重叠部分．
②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分．
③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分．
④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分．
图3图4图5
（3）等腰△AOH＝＝＝△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．
△AEH的形状保持不变，AH＝AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．＝，得（如图7）；
解，得（如图8）．＝．＝AH＝3AE．
解，得t＝2（如图10）；解，得t＝4（如图11）．．，
得抛物线的顶点坐标为．
因为AB＝1，S△ABC＝，所以a＝±8．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等．
第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．
图1
第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．
图2图3
考点伸展
第（1）题也可以这样说理：
由于由，抛物线的顶点坐标为．
当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；
当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点．
因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：
由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，
得＞0．
因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．
中考第25题
已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推
（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；
（3）探究下列结论：
①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
备用图（仅供草稿使用）
满分解答
（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．
所以符合题意的a1＝1．
此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．
将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．
所以符合题意的a2＝4．
此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．
（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；
第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．
（3）①如图1，A0A1＝2．
由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)．
所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．
所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．
所以An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．
②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．
图1
考点伸展
我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．
第一步，由yn＝－(x－an)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an,an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．
第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．
第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y＝－x2＋bx＋cy＝－x2＋bx＋c解得
所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋－x2＋－x2＋＝．
所以点A的横坐标为．
因此正方形ABCD的面积等于．
②设OP与AB交于点F，那么．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．
又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．
图1图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：
如图2，设点A的坐标为(x,－x2＋－x2＋x2．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．
例22013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．
①AF＝AG＝；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．
图1
满分解答
（1）填写序号①②③④．
（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
所以，，MF//AC，MG//AB．
所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
所以，．
所以MF＝EG，DF＝NG．
所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．
（3）△MDE是等腰直角三角形．
图4图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．
如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
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