弹性碰撞后速度公式
一、两个弹性碰撞后速度公式的推导
1、“一动碰一静”的弹性碰撞公式
问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？
图1
设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：
m1v1=m1v1＇+m2v2＇??①
?②
由①????③
由②???④
由④/③???⑤
联立①⑤解得
???⑥
???⑦
2、“一动碰一动”的弹性碰撞公式
问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？
图2
设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：
m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇???????????①
???②
由①???????????③????????
由②?????????④???????
由④/③??????????????⑤
由③⑤式可以解出
????????????????⑥
????????????????⑦
注意：如果，则有，，即质量相等的两个小球弹性碰撞后相互交换速度；如果，即第二个小球原来处于静止状态，则得到“一动碰一静”的弹性碰撞公式，，，。
静止，弹性碰撞后速度公式的推导及应用弹性碰撞后速度公式的推导及应用
二、两个弹性碰撞后速度公式的应用
例题：如图3所示，有大小两个钢球，下面一个的质量为m2，上面一个的质量为m1，m2=3m1。它们由地平面上高h处下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反弹再与正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是弹性的，这两个球的球心始终在一条竖直线上，则碰后上面m1球将上升的最大高度是多少？
图3
解法1：
设两球下落h后的速度大小为v1，则
v12=2gh???????????????????????????????①
选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，设m1和m2两球碰撞后瞬间的速度分别变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：????
m1（－v1）+m2v1=m1v1＇+m2v2＇?????????②
????????③
将m2=3m1代入，得
2v1=v1＇+3v2＇???????????????????????④
????????????????????????⑤
由④⑤式消去v2＇得:
即
故解出v1＇=v1（舍去，因为该解就是m1球碰前瞬间的速度）
v1＇=2v1????????????????????????????????????????????⑥
设碰后上面球m1上升的最大高度为h＇，则
0－v1＇2=－2gh＇????????????????????⑦
联立①⑥⑦式解出h＇=4h。
解法2：
在解法1中，列出②③式后，可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬间的速度v1＇。
选向上为正方向，m1、m2两球分别以速度－v1和v1发生对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此m1球碰撞后的速度+
将m2=3m1代入得v1＇=2v1。
以下同解法1。
解法3：
在解法1中，列出②③式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬间的速度v2＇。
选向上为正方向，m1、m2两球以速度－v1和v1发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此碰撞后m2球的速度
+
将m2=3m1代入解得v2＇=0。
从m1球开始下落到m1球上升的最大高度，对m1、m2两球组成的系统，由能量守恒得：
（m1+m2）gh=m1gh＇
故解出h＇=4h。
解法4：
设两球下落h后的速度大小为v1，则
v12=2gh???????????????????????????????①
选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，若以m2球为参考系，则m1球以相对m2球为－2v1的速度去碰静止的m2球，由“一动碰一静”的弹性碰撞公式得：
由于碰前m2球对地的具有向上的速度v1，
故碰后m1球对地的速度为：+v1=2v1。
以下同解法1。
上面的解法1属于常规的数学解法，求解比较麻烦，用时间也比较长而且容易出错。而解法2、3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解，简单而不易出错，是比较好的选择。
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