轨迹方程在解题中的妙用
江西省萍乡市上栗中学彭俊昌
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1．利用匀变速直线运动的轨迹方程解题
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匀变速直线运动的轨迹的参数方程为：，利用这个方程可以快速解决有反向的匀变速直线运动问题。
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例1．一跳水运动员从10m高的平台上跃起，举直双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0．45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（此过程中运动员水平方向的运动可忽略不计）。求从离开跳台到手触水面，他可用于空中动作的时间。（计算时，可把运动员看作全部集中在重心的质点，取g=10m/s2，结果保留三位有效数字）
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解析：设运动员起跳的初速度为v0，由机械能守恒定律得：，代入数据解得：v0=3m/s。运动员在竖直方向作竖直上抛运动，其轨迹方程为：，将y=－10m，v0=3m/s，a=－10m/s2代入轨迹方程得：，解得t=1．75s。
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2．利用波动方程解题
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简谐波的波形为正弦或余弦函数图形，所以其波动方程：y=Asinωx，其中ω=2π/λ，利用波动方程，对于解决一些质点间距离不是半波长整数倍的问题，可以取得意想不到的效果。
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例2．一列简谐横波沿x轴的正向传播，振幅为2cm，已知在t=0时刻相距30cm的两质点a、b的位移都是1cm，但运动方向相反，其中质点a沿y轴负向，如图所示，则（）
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A．两质点a、b的加速度始终相同
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B．两质点a、b的平衡位置间的距离为半波长的奇数倍
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C．质点a的速度最大时，质点b的速度为零
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D．当质点b的位移为＋2cm时，质点a的位移为负
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解析：设波的波长为λ，则此波的波动方程为：，A．b两点的纵坐标为1cm，则有：，所以：，解得：，（n=0，1，2……），波从a点传到b点的距离：。综合以上分析可知正确答案为D。
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3．利用平抛运动轨迹方程解题
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平抛物体的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动，则有：x=v0t，，消去参数t得平抛运动的轨迹方程为：。
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例3．排球场长18m，球网高2m，运动员在3m线处水平击球，求：
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（1）当他击球的高度低于某值时，不是触网就是越界，求此高度？?
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（2）若击球高度H=2．5m，求既不触网也不越界的初速度范围。
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解析：以抛出点为坐标原点，建立如图所示坐标系，则排球作平抛运动的轨迹方程为：
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（1）设击球的高度为h时，就不是触网就是越界，所以轨迹曲线应该从球网上端飞过后落在球的边界上。将球网上端A（6，h－2）和球场边界B（12，h）代入轨迹方程得：和，解得：h=2．38m。
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（2）当H=2．5m，速度最小时，球恰好从球网上端越过，将球网上端A（6，2．5－2）代入轨迹方程得：，解得：v0=18．97m/s。
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当H=2．5m，速度最大时，球恰好从球场边界越过，将球场边界B（15，2．5）代入轨迹方程得：，解得：v0=47．43m/s。
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所以球既不触网也不越界的初速度的范围为：18．97m/s
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例4．某学生在做“研究平抛物体的运动”的试验中，忘记记下小球做平抛运动的起点位置O，若A为小球运动一段时间后的位置，试根据图中的B（20cm，15cm）、C（40cm，40cm）点，求出小球做平抛运动的起点位置O的坐标。
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解析：小球做平抛运动的轨迹为抛物线，设其方程为：
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y=ax2+bx+c；因A（0，0）、B（20，15）、C（40，40）为抛物线上的点，故代入???
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方程得：
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解方程组得：；；。
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抛物线的顶点（即抛出点）坐标：
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cm；cm。
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4．利用圆的方程解决带电粒子的运动问题
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例5．如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正点的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量和质量的比值q/m。
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解析：粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示，设圆的半径为R，由几何关系可得圆心C的坐标为（－Rsinθ，－Rcosθ），圆的方程为：
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令y=0，代入方程解得：x1=0；x2=－2Rsinθ。
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故O、A（出射点）之间的距离l=x1－x2=2Rsinθ……①。
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又根据洛仑兹力公式和牛顿第二定律得：……②；
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解①②得：。
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从上面的几例可以看出，应用轨迹方程解决有些物理问题时可以化难为易，取到意想不到的效果，也体现了高考“应用数学知识解决物理问题的能力”在要求，希望同学们在学习时认真体会。
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