汽车和火车的安全行驶问题分析
湖北省监利县朱河中学黄尚鹏
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关键词：安全行驶?倾覆?侧滑?最大加速度?最大速度?非惯性系?惯性力?力矩平衡
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一、汽车在水平地面上做直线运动时安全行驶的最大加速度
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如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做加速直线运动，其重心离开前轮和后轮的水平距离分别为和，重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑。
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图1
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分析：选汽车为参照系，汽车处于静止状态，但由于其为非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一个向右的惯性力。假设汽车的前轮为从动轮，则前轮受到向后的静摩擦力（阻碍汽车的运动，是阻力），汽车的后轮为主动轮，后轮受到向前的静摩擦力（是汽车运动的动力，也是我们常说的汽车的牵引力），对汽车受力分析如图所示。
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竖直方向由平衡条件：????????????????????????（1）
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取后轮上与地接触的那一点为转轴，由力矩平衡条件得
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????????????????????（2）
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联立（1）（2）解得，
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当，即时，汽车前轮恰好脱离地面，此即汽车向后倾覆的临界状态，故为使汽车不至于向后倾覆，汽车允许行驶的最大加速度。同理，若汽车向左做减速直线运动或刹车时，则加速度的方向水平向右，根据对称性，当加速度过大时,汽车会向前倾覆，为使汽车不至于向前倾覆，汽车允许行驶的最大加速度。
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综上所述，当汽车加速行驶时，汽车重心离后轮的水平距离越大，车身重心越低，汽车行驶越稳定；当汽车减速行驶或刹车时，汽车重心离前轮的水平距离越大，车身重心越低，汽车行驶越稳定。因此，为使汽车在加速和减速过程中都能安全行驶，在设计和制造汽车时，重心离开前轮和后轮的水平距离要适当，且重心越低越稳定。
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二、汽车在水平地面上匀速转弯时安全行驶的最大速度
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如图2所示，质量为的汽车在水平地面上以恒定速率做半径为的匀速圆周运动，其重心离地面的高度为，汽车内轮和外轮即左、右轮间距为，车轮与地面间的静摩擦系数为。
图2
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1．为使汽车不至于向轨道外侧滑动汽车允许行驶的最大速度
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分析：选汽车为参照系，汽车处于静止状态，但由于其为匀速转动参照系，为一非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一沿半径方向向外的惯性离心力，显然使汽车有向轨道外侧滑动的趋势，故地面给汽车内、外轮有指向内侧的静摩擦力、，对汽车受力分析如图所示。
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沿半径方向由平衡条件：?????????????????????（1）
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沿竖直方向由平衡条件：?????????????????????????（2）
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汽车恰好向轨道外侧滑动时：，???????????????（3）
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联立（1）（2）（3）解得，此即为使汽车不至于向轨道外侧滑动汽车允许行驶的最大速度。
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2．为使汽车不至于向轨道外侧倾覆汽车允许行驶的最大速度
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选取过质心的水平轴，由力矩平衡条件：（4）
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联立（1）（2）（4）解得，
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当，即时，汽车内轮恰好脱离地面，此即汽车向轨道外侧倾覆的临界状态，故为使汽车不至于向轨道外侧倾覆汽车允许行驶的最大速度。
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讨论：（1）当，即时，汽车首先发生侧滑，而不是侧翻；
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????（2）当，即时，汽车首先发生侧翻，而不是侧滑。
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综上所述，为使汽车安全转弯，即汽车既不打滑又不倾覆，安全行驶的最大速度为，由此可知，汽车轮胎与地面的静摩擦系数越大，内外轮间距越大，车身重心越低，汽车行驶越稳定。
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三、火车在铁轨上匀速转弯时安全行驶的最大速度
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如图3所示，火车转弯处，外轨略高于内轨，轨道的倾角为，质量为的火车以恒定速率转弯，转弯半径为。已知火车的重心离铁轨的高度为，内、外轨间距为。
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分析：选火车为参照系，火车处于静止状态，但由于其为匀速转动参照系，为一非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一沿半径方向向外的惯性离心力，注意的方向是水平的。当火车转弯速度过大时，外轨受到挤压，外轨对外轮有沿轨道向下的弹力，对火车受力分析如图所示。
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图3
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以质心为坐标原点，沿轨道方向为轴，垂直于轨道方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将重力和惯性离心力沿两坐标轴的方向正交分解，由平衡条件得
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方向：????????????????????（1）
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方向：?????（2）
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以质心为转轴，由力矩平衡条件：???????????（3）
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由（1）解得??????????????????????????（4）
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当，即时，火车轮子与铁轨无侧向挤压力，是火车转弯的最佳速度，也称之为设计速度。当实际速度高于设计速度时，，表示外轨受到挤压，外轨对外轮有沿轨道向下的弹力，而当实际速度低于设计速度时，，表示内轨受到挤压，内轨对内轮有沿轨道向上的弹力。
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联立（2）（3）（4）解得
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注意：实际情况中，因外轨略高于内轨，轨道的倾角很小，，
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因此，，
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讨论：（1）当，即时，火车内轮恰好脱离内轨，此即火车向外轨倾覆的临界状态，故为使火车不至于向外轨倾覆火车允许行驶的最大速度，特别地，当时，，此即汽车在水平地面上匀速转弯时为使汽车不至于向轨道外侧倾覆汽车允许行驶的最大速度。
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可以验证：
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（2）当，即火车在转弯处静止不动时，支撑力，，显然有，因此火车不可能向内轨倾覆，这是符合实际情况的。
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（3）当火车以规定的设计速度运行时，火车内、外轮受到的侧向挤压力，支撑力，即此时内、外轨受到的压力相等，这是我们希望得到的结果。
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综上所述，火车在铁轨上转弯时，当速度过大时，不仅外轨受到很大的挤压力，使外轨和外轮之间的磨损很大，铁轨容易受到损坏，甚至火车有向外轨倾覆的可能，因此火车在铁轨上转弯时，一般要求以规定的设计速度运行，实际速度不能偏离设计速度太大，这样既保护了铁轨，又保证了安全。
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