人的内力做功的有关问题的研究
湖北省监利县朱河中学黄尚鹏
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关键词：内力做功?质点组动能定理?质点组动量定理?内力做功与参照系无关
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一、与人的内力做功有关的实际问题错解剖析
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例题1：人在水平地面上加速跑步时，人受到的向前的静摩擦力是否对人做功？是什么形式的能转化为人的动能？
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错解：人在运动过程中，受竖直方向的重力和支持力作用，互相抵消，同时受到向前的静摩擦力，人在静摩擦力方向上发生了位移，并且力与位移方向相同，故静摩擦力对人做正功，根据动能定理可知：静摩擦力所做的功等于物体动能的增量，故从功和能的关系角度看，地面给人提供能量，使人的动能增加。
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分析：人在跑步过程中虽然受到竖直方向的重力和支持力、水平方向向前的静摩擦力，并且静摩擦力方向与人的位移方向一致，但从做功的角度来看，静摩擦力并不做功。因为脚与地面之间存在静摩擦力时，脚掌相对地面并没有运动，作用在脚底的静摩擦力并没有使脚发生位移，而脚腾空向前运动时，脚底与地面之间静摩擦力消失。到底是什么力做功使人的动能增加？要弄清这一问题，首先必须明确高中物理教材中叙述的动能定理只适用于一个可视为质点的物体，而人在运动过程中人的手、脚、躯干等部分通过肌肉收缩相互作用，人不能当作一个质点看待。从质点组的动能定理来看：人在运动过程中内力和外力做功之和等于人的动能的增量，而外力不做功，因此人在跑步时，内力做功等于人的动能的增量。从功和能的关系角度看，如果地面的静摩擦力做功，则地面必然给人提供能量，事实上地面不可能给人提供能量，因此地面不可能对人做功。事实上是肌肉收缩做功，也就是人的内力做功，从而把人体内的化学能转化为机械能，即人的动能是通过消耗人体的化学能转化而来的。
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例题2：人由一楼匀速走到五楼，地面对人的支持力是否做功？是什么形式的能转化为人的重力势能？
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错解：人在登楼时受到竖直向上的支持力和竖直向下的重力，人的位移方向与支持力方向相同，故支持力做正功，重力做负功，地面提供能量转化为人的重力势能。
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分析：从做功的角度来看，人在登楼时，地面对脚底有支持力时，脚没有发生位移，脚腾空向上运动时，支持力消失，故支持力不做功。人在登楼时，不能把人看作一个质点处理，从质点组的动能定理来看，人所受外力和身体各部分之间内力做功之和等于人的动能增量，即内力做功与重力做功之和为零，这说明人的身体各部分之间的内力做正功。因此人的内力做功，从而把人体内的化学能转化机械能，即人的重力势能是通过消耗人体的化学能转化而来的。值得注意的是若人站在匀速上升的电梯中由一楼到五楼，则电梯对人的支持力做功，但人的内力不做功，这与上述例子有本质的区别。
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小结：（1）用功的公式求功时，必须明确功的公式中的、的含义，表示作用在物体上的力，表示力作用在物体上的那个点即力的作用点的位移，而不是物体所发生的位移。
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（2）用动能定理求功时，必须明确高中物理课本上的动能定理只适用于可视为质点的物体，人在跑步、上楼时，不能把人看作质点，必须用质点组动能定理求解，即质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，这与质点组动量定理（质点组合外力的冲量等于质点组动量的增量）不同。
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二、人的内力做功的计算举例
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值得注意的是，尽管功与参照系有关，但内力的总功却与参照系无关。这是因为作用力与反作用力这一对内力的总功只与两质点的相对距离变化有关，而两质点相对距离的变化与参照系无关。如大家比较熟悉的例子：一对滑动摩擦力做的总功，其中相对位移与参照系无关。这样一来，计算人的内力做功可以任意选择参照系。
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例题3：如图所示，一人手持质量为的小球坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总质量为。气球以速度匀速上升，人突然将小球向上抛出，经过时间后小球又返回人手，求抛球过程中人所做的功。
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解：人所做的功即人的内力所做的功。下面笔者将在两个不同的惯性系中运用质点组动能定理（动能定理只在惯性系中成立）求解。
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方法一：选地面为参照系
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抛球以前气球以速度匀速上升，故由平衡条件知，即系统的合外力为零。
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对抛球的瞬间过程：设球抛出的瞬间，小球的速度变为，气球、吊篮和人（看作一个整体）的共同速度变为，由动量守恒定律：
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?????????（1）
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对球抛出以后的过程：小球以速度为初速度只在重力作用下运动，
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，方向竖直向下。
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对M：，故，方向竖直向上。
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考虑小球相对的运动，选竖直向上为正方向，小球相对的初速度，方向
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竖直向上，小球相对的加速度，负号表示方向竖直向下。
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故小球相对先向上做匀减速直线运动，速度减为零后再向下做匀加速直线运动，最后小球又返回人手，该过程经历的时间为。
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显然有：?????????????（2）
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联立（1）、（2）解得???，?
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对抛球的瞬间过程：由质点组动能定理
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人所做的功
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方法二：选以匀速上升的惯性系
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对抛球的瞬间过程：系统的合外力为零，系统的总动量守恒，且总动量为零。设球抛出的瞬间，小球的速度大小变为（方向竖直向上），的速度大小变为（方向竖直向下）。
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由动量守恒定律：???????????（1）
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对球抛出以后的过程：采用方法一中的处理办法，选竖直向上为正方向，小球相对的初速度，方向竖直向上，小球相对的加速度
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，负号表示方向竖直向下。
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显然有：?????????（2）
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联立（1）、（2）解得???，?
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对抛球的瞬间过程：由质点组动能定理
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人所做的功
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由此可见，两种惯性系中人的内力所做的功的计算结果相同，说明内力做功与参照系无关，显然在方法二选择的惯性系中计算人的内力做功要简单得多。
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例题4：一人逆水划船，恰使船相对岸保持不动，划船者是否做功？
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分析：选河岸为参照系。假定水流速度恒定，水对船的阻力恒定，船桨的质量忽略不计，船桨由于向后推水，水对船桨有一个向前的反作用力。选船、人及船桨构成的质点组为研究对象，因船相对岸保持不动，故由质心运动定理：质点组所受外力的矢量和等于质点组的总质量与质心加速度的乘积，知（方向相反）恒定。该质点组所受外力中，水对船的阻力不做功，水对船桨的作用力做负功，考虑船桨向后划水一次的过程，假设该过程船桨相对船，当然也是相对岸向后划水一次的位移为，则水对船桨的作用力做的功，根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，，说明人的内力做正功，且。
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因为内力做功与参照系无关，也可以选水流为参照系。显然船相对水向前做匀速运动，考虑船桨向后划水一次的过程，假设该过程船桨相对船向后划水一次的位移为，船相对水向前运动的位移为（假定），则船桨相对水向前运动的位移为，说明水对船桨的作用力做正功，且，而水对船的阻力做负功，且，根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，，即，同样可得。
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三、两道试题分析
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1．一位质量为的运动员从下蹲状态向上起跳，经时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为，在此过程中（）
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A．地面对他的冲量为，地面对他做的功为
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B．地面对他的冲量为，地面对他做的功为零
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C．地面对他的冲量为，地面对他做的功为
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D．地面对他的冲量为，地面对他做的功为零
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分析：将人看为质点组，根据质点组动量定理：质点组合外力的冲量等于质点组动量的增量，人所受外力只有重力和地面的支持力，选竖直向上为正方向，则
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，即，解得
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地面对人不做功，因为地面对人的支持力的作用点在脚上，且脚在这段时间内没有发生任何位移，所以支持力不做功。但人的重心在上升，人的动能和重力势能都增加了，即人的机械能增加了，这是为什么呢？根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，人所受外力中只有重力做了负功，说明人的内力做了正功，即人的内力做正功一方面是为了克服重力做功，使人的重力势能增加，另一方面又使人的动能增加，即人的内力做正功，把人体内的化学能转化为机械能。因此本题答案应选B。
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类似的，若质量为的人从离地面一定的高度由静止开始自由下落，当重心下降高度时，人的双脚触地，人继续下蹲，当重心再下降高度时，人的速度减为零，人的内力做多少功呢？
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分析：人所受外力中重力做正功，且，人着地的过程，地面对人的支持力不做功，因为地面对人的支持力的作用点在这段时间内没有发生任何位移。根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，，说明人的内力做负功，且，人的内力做负功将人体的机械能转化为人体能，即人体能增加。
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小结：内力的作用不改变质点组的总动量，但内力的作用却可以改变质点组的总动能。造成这一差别的原因是作用力和反作用力的时间相等，它们的冲量的矢量和恒为零，因此成对的内力不改变质点组的总动量；而在作用力和反作用力的作用下，两质点的位移一般并不相等，它们的功并不一定抵消，因此成对的内力却可以改变质点组的总动能。
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2．在自动扶梯以恒定速度运转时，第一次有一个人站在扶梯上相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为，电机带动扶梯做功功率为。第二次这人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度同时匀速向上走，则这次扶梯对他做功为，电机带动扶梯做功功率为，以下说法中正确的是（）
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A．?????????B．??
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C．?????????D．??
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分析：在人相对电梯静止和相对电梯匀速时，人的受力一样（重力和支持力平衡），所以电梯受力也一样，那么电机带动扶梯做功功率没有变化，故；但人相对扶梯匀速时的上楼时间短，所以人相对扶梯静止时电梯对人做功多，即。
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也可以这样分析：在人相对电梯静止时，电梯对人的支持力做功，但人的内力不做功，根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，人所受外力中重力做负功，电梯对人的支持力做正功，即电梯对人的支持力做功是为了克服重力做功，使人的重力势能增加（人的动能不变），因此扶梯对人做的功等于人的重力势能的增加；在人相对运动的电梯匀速时，电梯对人的支持力做功，同时人的内力也做功（要消耗体内一部分化学能），同理根据质点组动能定理可得扶梯对人做的功与人的内力做的功的代数和等于人的重力势能的增加，而两种情况下重力势能的增加相同，故。
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还可以这样分析：人相对扶梯匀速时，将人的运动分解为人相对电梯的运动和随电梯相对地面的运动，前一个分运动电梯对人的支持力不做功（但人的内力做正功），后一个分运动电梯对人的支持力做正功（但人的内力不做功），因此电梯对人做的功等于电梯对人的支持力乘以电梯对地的竖直位移，显然人相对扶梯匀速时电梯对地的竖直位移比人相对扶梯静止时电梯对地的竖直位移要小，故。综上所述，本题答案应选B。
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类似的，若自动电梯以恒定速率上升，质量为的人以相同速率相对电梯往下走，恰好使人相对地面的位置保持不变，已知电梯与水平面的夹角为，问在此过程中，电梯对人做功的功率为多少？人的内力是否做功？
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分析：选地面为参照系。人相对地面的位置保持不变，人的重力不做功，由于电梯对人做的功等于电梯对人的支持力乘以电梯对地的竖直分位移，因此电梯对人做功的功率等于电梯对人的支持力乘以电梯对地的竖直分速度，即，根据质点组动能定理：质点组所受外力和内力做功的代数和等于质点组动能的增量，，说明人的内力做负功，人的内力做负功将其他形式的能转化为人体能，即人体能增加，那么人体能来源于什么能呢？事实上，由于电机带动电梯做功消耗了电能，该电能通过电机对电梯做功、电梯再对人做功及人的内力做功转化为人体能。
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通过本文的分析，使我们清楚地知道人的内力做功的例子很多，说明人体内力做功，可以使人的动能或势能增加，也说明质点组内力做功可以改变自身的机械能。当然人体对自身做功也可以将体内的化学能转化为自身的热能，如人提水桶在水平地面上匀速行走，人站着静止不动推一个固定的物体等，限于篇幅，本文不再赘述。
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参考书籍：郑永令贾起民编著普通物理学教程丛书《力学》复旦大学出版社（1989年10月第一版）
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