用数学方法探究物理实验系统误差例谈
湖北省监利县朱河中学方轩锋黄尚鹏
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关键词：半偏法?系统误差?相对误差?闭合电路欧姆定律?并联分流?弹簧振子?周期
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一、半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析
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半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示，实验操作步骤如下：
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图1
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第一步：开关、闭合前，将滑动变阻器的阻值调到最大。
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第二步：闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表满偏。
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第三步：保持开关闭合，滑动变阻器不动，闭合开关，调节电阻箱的阻值，使电流表半偏。
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第四步：记下此时电阻箱的阻值，则电流表的内阻。
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本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即，这样就可近似认为开关闭合前后干路中的总电流是不变的。但事实上，当开关闭合后，干路中的总电流是变大的，当电流表半偏时，通过电阻箱的电流比通过电流表的电流要大，根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小。下面笔者从理论上运用严格的数学方法对该实验的系统误差进行分析。
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假定电源的电动势为，内阻为，电流表的满偏电流为。
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闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得
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???????????????????????????（1）
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闭合开关，调节电阻箱的阻值，使电流表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及并联分流公式得??????????????????????????（2）
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联立（1）和（2），消除和得???????????????（3）
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由（1）解得，将其代入（3）得???（4）
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由（3）可知，且当，即时，近似成立。
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由（4）可知与的相对误差???????????????（5）
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由（5）可知，电源的电动势越大，相对误差越小。
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结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即，而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，且为防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配，可见电源的电动势的大小对误差起主导作用。
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二、用弹簧振子测弹簧的劲度系数实验系统误差分析
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图2???????????????????????????????????图3
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如图2所示，以水平弹簧振子为例，假设水平面光滑，对于理想弹簧振子，弹簧的质量忽略不计，振子的振动周期（为振子的质量，为弹簧的劲度系数），由此可知只要测出振子的周期和质量，就可计算出弹簧的劲度系数，且。但是，对于实际弹簧振子，弹簧也有一定的质量，设为，那么考虑弹簧的实际质量后，弹簧振子的振动周期公式该如何修正呢？
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设弹簧质量分布均匀，弹簧处于原长时弹簧上各点到弹簧固定端的距离为（，为弹簧的原长）。选水平向右为正方向，当振子偏离平衡位置的位移为时，设此时振子的速度为，弹簧上各点到弹簧固定端的距离变为（与一一对应），显然与振子固连在一起的弹簧末端到的距离由变为，根据比例关系，可求得,因此弹簧上各点偏离原来位置的位移（）??
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在式两边对时间求导，可求得此时弹簧上各点的速度（）
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下面笔者将采用微元分析法运用定积分的知识求出整根弹簧的动能。设弹簧单位长度的质量即线密度为，则。如图3所示，选取弹簧处于原长时到的距离为止的微小元段分析，此微小元段的动能（）
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因此整根弹簧的动能
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故弹簧振子的动能
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又弹簧的弹性势能，根据机械能守恒定律
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（为常量，且，其中为振子振动的振幅）
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对比理想弹簧振子的机械能守恒定律的方程式可知可将实际弹簧振子看作振子的等效质量为的理想弹簧振子，故实际弹簧振子的振动周期
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，由此求出
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结论：按照理想弹簧振子的模型测得的弹簧的劲度系数比真实值小，主要原因是弹簧的质量对振动周期的影响，因此为了减小实验误差，应使振子的质量远大于弹簧的质量即或测出弹簧的质量，采用修正后的周期公式进行计算。
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参考文献：
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1．全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册人民教育出版社物理室编著（2003年6月第1版）
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2．郑永令贾起民编著普通物理学教程丛书《力学》复旦大学出版社（1989年10月第一版）
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3．张大同编《高中物理竞赛辅导》陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）
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