黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
高三数学试卷(文理合卷)
(2011年1月12日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是．
2．已知函数互为反函数，若函数
的图像过点，则＝．
3．已知命题A：若．命题A的逆否命题是；该逆否命题是．(填“真命题”或“假命题”)
4．已知全集，集合，
，则＝．
5．不等式的解集是．
6．方程的解集是．
7．已知角的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x轴的正半轴重合，点在角的终边上，则＝．
8．(理科)如图1所示，正三棱柱的所有棱的长度都为4，则异面直线所成的角是(结果用反三角函数值表示)．
(文科)如图1所示，正三棱柱的所有棱的长度都为4，点的中点，则异面直线所成的角是(结果用反三角函数值表示)．
9．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是．
10．已知是两个不共线的平面向量，向量，若，则＝．
11．(理科)一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．
(文科)一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌花色各不相同的概率为(用数值作答)．
12．下面是用区间二分法求方程在内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入，才能得到需要的解．
13．(理科)在数列(p为常数)，则称数列为“等差比”数列，p叫数列的“公差比”．现给出如下命题：
等差比数列的公差比p一定不为零；
若数列是等比数列，则数列一定是等差比数列；
若等比数列是等差比数列，则等比数列的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是．
(文科)计算＝．
14．(理科)若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是．
(文科)若，则可得该数列的前2011项的乘积．
二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．函数()的最小正周期T=[答]()
A．．B．．C．．D．．
16．已知关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵是，则该线性方程组有无穷多组解的充要条件是＝[答]()
A．2．B．1或2．C．1．D．0．
17．给出下列命题：
(1)函数
(2)；
(3)在空间中，若角的两边分别与角的两边平行，则；
(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据()，则数值(为样本平均值)可作为总体标准差的点估计值．
则上述命题正确的序号是[答]()
A．(1)、(2)、(4)．B．(4)．C．(2)、(3)．D．(2)、(4)．
18．(理科)若，则该数列的前2011项的乘积[答]()
A．3．B．-6．C．．D．．
(文科)(文科)若函数的图像有三个不同的公共点，则实数的取值范围是[答]()
A．．B．．C．．D．．
三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图3所示，已知三棱锥中，点
的中点．
(1)求证四点共面；
(2)已知，点C在球面上，求球M的体积V．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
定义：如果函数，满足
，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．如上的平均值函数，0就是它的均值点．
(1)判断函数在区间上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；
(2)若函数上的平均值函数，试确定实数的取值范围．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
已知是偶函数．
求b的值；
若在函数定义域内总存在区间(m
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
如图4,某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为.赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定.
(1)求实数的值以及M、P两点之间的距离；
(2)联结MP，设，试求出用的解析式；
(3)(理科)应如何设计，才能使折线段MNP最长？
(文科)求函数y的最大值．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
(理科)已知各项都为正数的数列，其中的前n项的和．
(1)；
(2)已知p(2)是给定的某个正整数，数列
()，求；
(3)化简．
(文科)在数列(p为非零常数)，则称数列为“等差比”数列，p叫数列的“公差比”．
已知数列满足，判断该数列是否为等差比数列？
已知数列是等差比数列，且公差比，求数列的通项公式；
(3)记为(2)中数列的前n项的和，证明数列也是等差比数列，并求出公差比p的值．
黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
数学试卷(文理合卷)
(2011年1月12日)
参考答案和评分标准
一、填空题
1、；2、；3、(每空2分)；
4、；5、；6、；
7、；8、(理科)，(文科)；9、 ；10、；
11、(理科)，(文科)；12、；
13、(理科)(1)、(3)，(文科)；14、(理科)，(文科)3．
二、选择题：15、B16、C17、D18、(理科)A(文科)D
三、解答题
19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)
．
．
于是，．
(2)
．
．
．
．
．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)由定义可知，关于x的方程在内有实数根时，
函数．
解，可得．
又，
所以，上的平均值函数，5是它的均值点．
(2)上的平均值函数，
在内有实数根．
，解得．
又
必为均值点，即．
∴所求实数．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
解(1)由已知可得，，且函数的定义域为D=．
又是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0()．
又对任意
因此所求实数b=0．
(2)由(1)可知，．
考察函数的图像，可知：
．
因在区间上的函数值组成的集合也是，故必有．
①当时，有，即方程，也就是有两个不相等的正实数根，因此，解得．
②当时，有，化简得，解得．
综上所述，所求实数．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
解(1)结合题意和图像，可知，
解此方程组，得，于是．
进一步可得点M的坐标为．
所以，(km)．
(2)在，故．
又，
因此，()．
(3)把进一步化为：
()．
所以，当(km)．
可以这样设计：联结MP，分别过点M、P在MP的同一侧作与MP成角的射线，记两射线的交点为N，再修建线段NM和NP，就可得到满足要求的最长折线段MNP赛道．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
(理科)解(1)，，
．
．
是首项为，公差为2的等差数列；是首项为，公差为2的等差数列．又，可得．
∴．
所以，所求数列的通项公式为．
(2)是给定的正整数()，，
数列是项数为p项的有穷数列．又．
,…
归纳可得．
(3)由(2)可知，进一步可化为：．
所以，
．
(文科)
∴数列是等差比数列，且公差比p=2．
(2)∵数列是等差比数列，且公差比p=2，
，即数列．
．于是，
，
，
…
．
将上述个等式相加，得
.
∴数列的通项公式为．
(3)由(2)可知，
于是，．
所以，数列是等差比数列，且公差比为．
【8】
B1
M
H
G
A1
C1
C
B
D
A1
C1
C
B
A
图1
图1
·
A
·
·
N
B1
B
C
A
D
·
图3
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