嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)
本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.考试前,考生须将学校、姓名、考试号码等信息填写在答题纸的规定位置,并将考试号码下面相应编号的小方格涂黑.解答本试卷时请将答案写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上的答案一律不予评分.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.设是虚数单位,是实数,若是实数,则________.
2.函数的定义域是______________.
3.等差数列中,公差,是与的等比中项,则____________.
4.若,则____________.
5.设函数的反函数为,则方程的解是_____________.
6.已知正三棱柱的底边长,高,则异面直线与所成角的大小为_____________________(结果用反三角函数值表示).
7.设是定义在上的奇函数,且满足,则___________.
8.若展开式的第项为,则__________.
9.设、,把三阶行列式中元素的余子式记为,若关于的不等式的解集为,则________.
10.如图所示的程序框图,输出的结果是_________.
11.有三个学习小组,组有学生人,组有学生人,组有学生人,从中任意选出人参加知识竞赛,则、、三组每组都至少有人的概率是_________.
12.如果关于的不等式和的解集分别为和,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式,且,那么______________.
13.设是平面向量的集合,是定向量,对,定义.现给出如下四个向量:
①,②,③,④.
那么对于任意、,使恒成立的向量的序号是____________(写出满足条件的所有向量的序号).
14.已知数列()满足且,其中.若(),则的最小值为________________.
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.设直角三角形的三边长分别为,,(),则“”是“,,成等差数列”的………………………………………………………………………()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
16.有下列四个命题:
①三个点可以确定一个平面;②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面;
③底面是等边三角形,三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个.
其中正确命题的个数是……………………………………………………………………()
A.B.C.D.
17.方程的实数解的个数是………………………………………………………()
A.B.C.D.
18.对于函数,,若存在常数,对任意,存在唯一的,使得,则称函数在上的几何平均数为.已知,,则函数在上的几何平均数为………………………………………()
A.B.C.D.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,△中,,,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与、分别相切于点、,与交于点),求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知向量,,其中为常数,且.
(1)若,且∥,求的值;
(2)设函数,若的最小正周期为,求在时的值域.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗,可在建筑物的外墙加装不超过厘米厚的隔热层.某幢建筑物要加装可使用年的隔热层.每厘米厚的隔热层的加装成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:厘米)满足关系:.若不加装隔热层,每年能源消耗费用为万元.设为隔热层加装费用与年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式,并写出的定义域;
(2)隔热层加装厚度为多少厘米时,总费用最小?并求出最小总费用.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.
已知函数,其中,定义数列如下:,,.
(1)当时,求,,的值;
(2)是否存在实数,使,,成等比数列?若存在,请求出实数的值,并求出等比数列的公比;若不存在,请说明理由.
(3)设,为在的反函数,数列满足:,(),记,求使成立的最小正整数的值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
设,函数的图像与函数的图像关于点对称.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的方程有两个不同的正数解,求实数的取值范围;
(3)设函数,,满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与无关.试求的取值范围.
嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研
数学试卷(理)参考答案与评分标准
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.答案:.
因是实数,所以.
2.答案:.
由,得,所以.
3.答案:.
,,由已知得,即,解得.
4.答案:.
由,得,所以.
5.答案:.
解法一:函数的反函数为(),由得,因为,故.
解法二:由,得.
6.答案:.
因为∥,故就是异面直线与所成的角,连结,在中,,,所以.
7.答案:.
因是定义在上的奇函数,所以,在等式中令,得.
8.答案:.
展开式的第项为,解得,
所以.
9.答案:.
三阶行列式中元素的余子式为,由得,由题意得,所以.
10.答案:.
,满足,于是;,满足,;,满足,则;,不满足,则输出,.
11.答案:.
满足条件的选法可分为三类:组人,、组各人,有种选法;组人,、组各人,有种选法;组人,、组各人,有种选法.所以、、三组的学生都有的概率.
12.答案:.
由题意,且,,,
所以,,因,故,.
13.答案:①③④.
由,得,化简得
,当时,等式成立;当时,有,即,所以①、③、④都能使等式成立.
14.答案:.
,则,,
,.所以是以为周期的周期数列.
(第14题也可取满足条件的和的特殊值求解)
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.C.16.A.17.D.16.B.
15.由可得,,成等差数列;若,,成等差数列,则,由勾股定理,,得,,解得,令(),则,得.所以.
16.①错.不在同一直线上的三点才能确定一个平面;②错.若圆锥的侧面展开图是一个圆面,则可得圆锥底面半径的长等于圆锥母线的长;③错.如果三棱锥的底面是等边三角形,一条侧棱垂直于底面且长度等于底面边长,则三个侧面都是等腰三角形;④错.若这两点是球的直径的两个端点,过这两点可作无数个大圆.
17.作出函数与,可发现两函数图像在第二象限有一个交点,在第一象限有两个交点(第一象限的两个交点是和).
18.若取、为区间的两个`端点,则.若,取,,对任意,,于是;
若,取,,对任意,,于是
.所以.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
解:设半圆的半径为,在△中,
,,,
连结,则,……(2分)
设,则,…………(4分)
因为,所以,
即.………………(6分)
.
阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体为底面半径,高的圆锥中间挖掉一个半径的球.………………(8分)
所以,.…………(12分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:(1)若,则,,由∥的充要条件知,存在非零实数,使得,即,
所以,,…………(3分)
(以下有两种解法:)
解法一:,,,,
.…(6分)
解法二:.
所以.…………(6分)
(2)
,…………(8分)
因为的最小正周期为,所以,,
所以,…………(10分)
当时,,…………(12分)
所以函数的值域为.…………(14分)
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:(1)由已知,当时,,即,所以,……(1分)
所以,…………(2分)
又加装隔热层的费用为.
所以,…………(5分)
定义域为.…………(6分)
(2)
,…………(10分)
当且仅当,
,,即时取等号.…………(13分)
所以当隔热层加装厚度为厘米时,总费用最小.最小总费用为万元.…(14分)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.
解:(1)时,,因为,所以,,.…………(3分,每求对一项得1分)
(2),则,,
,…………(5分)
如果,,成等比数列,则
,,2
,…………(6分)
因为,所以,或.……(8分)
当时,数列的公比.……(9分)
当,.…………(10分)
(3),,所以(),……(11分)
,,所以,而,所以是以为首项,为公比的等比数列,,…………(13分)
所以,…………(14分)
由,即,解得,所以所求的最小正整数的值是.
…………(16分)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
23.解:(1)设点是函数图像上任意一点,关于点对称的点为,则,,于是,,…………(2分)
因为在函数的图像上,所以,……(3分)
即,,所以(或).………………(5分)
(2)令,因为,,所以,所以方程可化为,
即关于的方程有大于的相异两实数解.…………(8分)
作,则,…………(11分)
解得.所以的取值范围是.…………(12分)
(3),.
当时,因为,所以,,所以函数不存在最大值.…………(13分)
当时,,令,则,,
当,即时,在上是增函数,存在最小值,与有关,不符合题意.…………(15分)
当,即时,在上是减函数,在上是增函数,当即时,取最小值,与无关.…………(17分)
综上所述,的取值范围是.…………(18分)
O
A
C
N
M
B
O
A
C
N
M
B
否
结束
输出
开始
是
第10题图
|
|