浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测
高三数学试卷（理科）2011.1
题号 一 二 三 总分 19 20 21 22 23 得分
注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
得分 评卷人 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个
空格填对得4分，否则一律得零分.
1．函数的定义域为__________.
2．函数的反函数是__ （）___.
3．若五个数的平均数为1，则这五个数的方差等于______2_______.
4．方程的解为___________.
5．若“条件：”是“条件：”的充
分条件，则的取值范围是_________.
6．从一个底面半径和高都是的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是________.
7．在等差数列中，，则数列的通项公式为_________.
8．在中，，则的长等于____1或3____.
9．已知，则的取值范围是__________.
10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入，则输出的值为______________.
11．已知方程有实数根，则复数________.
12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有____240______种（用数值表示）.
13．设定义上的函数，，
那么_________.
14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：
时间 油耗（升/100公里） 可继续行驶距离（公里） 10∶00 9.5 300 11∶00 9.6 220 注：油耗=，可继续行驶距离=，
平均油耗.
从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内__②③__(填上所有正确判断的序号).
①行使了80公里；
②行使不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里；
④平均油耗恰为9.6升/100公里；
⑤平均车速超过80公里/小时．
解题过程：实际用油为7.38.行驶距离为，所以①错误，②正确.
设L为已用油量，△L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离
得，
，，.
所以③正确，④错误.⑤由②知错误.
二、选择题(本大题共有4题，满分16分)每小题都给出四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的，选对得4分，否则一律得零分.
15．若函数是偶函数，则可取的一个值为（）
A． B． C． D．
16．关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为（）
A．若且，则是等差数列
B．设数列的前项和为，且，则数列的通项
C．若且，则是等比数列
D．若是等比数列，且，则
17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为、，使复数为实数的概率
是（）
A． B． C． D．
18．点O在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点O依次为的（）
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，其中且，
（1）当为何值时，；
（2）解关于x的不等式.
解：（1）因为,…………………………………………………………2分
得，即.……………………………………………………4分
所以，即，∴当时，.………………………………6分
（2）∵，∴，.
所以，即.…………………………………………………10分
当时，，当时，.
综上，当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为.……………………………………14分
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架（如图3）进行野炊训练.已知，、两点间距离为.
（1）求斜杆与地面所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）将炊事锅看作一个点，用吊绳将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30，试问吊绳长的取值范围.
解：（1）设P点在平面ABC上的射影为点O，连接CO，，……………3分
在Rt△POC中，，所以.…5分
即PC与底面ABC所成角的大小为.……6分
（2）在Rt△POC中，解得，
作交PC于D点，
由，得.……11分
又,………………………………13分
故吊绳长度的取值范围为.……………………14分
21．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）
已知
(1)时，求的值域；
(2)时，的最大值为M，最小值为m，且满足：，求b的取值范围．
解：（1）当b=2时，.
因为在上单调递减，在上单调递增,……………………２分
所以的最小值为.…………………………………………４分
又因为,……………………………………………………………５分
所以的值域为．…………………………………………………6分
（2）（ⅰ）当时，因为在上单调递减，在上单调递增.
所以M=
，得.
即，与矛盾.…………………………………………………11分
（ⅱ）时，在[1，2]上单调递减.
M=b-2，，M-m=，即.………………………16分
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小
题满分7分）
（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；
（2）在数列中，，（，），求通项；
（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中，.试问是否存在正整数使且成立？若存在，求正整数的值；不存在，说明理由.
解：（1）由题设得即恒成立，
所以，.…………………………………4分
（2）由题设（）又得，
，且，
即是首项为1，公比为2的等比数列，………………………………8分
所以.即为所求.………………………………9分
（3）假设存在正整数满足题设，由（2）知
显然，又得，即是以为首项，为公比的等比数列.………………11分
于是，………………………12分
由得，,
所以或，…………………………………………14分
当时，；
当时，；
综上，存在正整数满足题设，或.……………16分
23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分）
已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.
（1）判断函数是否是“S-函数”；
（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.
解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得(a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对x(R恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此不是“S-函数”.……………………………………………………3分
若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，
即存在常数对（a,32a）满足.
因此是“S-函数”………………………………………………………6分
（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a=时，tan(a-x)tan(a+x)=-cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此，,
则有.
即恒成立.……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S-函数”的常数（a,b）=.…12分
(3)函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，
于是
即,
，.……………………14分
.………16分
因此,…………………………………………17分
综上可知当时函数的值域为.……………18分
—1—
图（1）
图（2）
得分 评卷人
得分 评卷人
得分 评卷人
D
O
得分 评卷人
得分 评卷人
得分 评卷人
|
|
