普陀区高三年级质量调研数学试卷（理科）
一、填空题（本大题满分56分）
1.设平面向量，，则.
2.已知函数,,若的反函数的图像经过点，则.
3.已知集合，，则.
4.若数列对任意的都有，且，则=.
5.若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为.
6.已知，其中是第四象限角，则.
7.已知一个球的半径为，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的距离为，则关于的函数解析式为.
8.抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为.
9.若函数，则.
10.某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣.右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数之后，输出的变量表示的实际意义是；若一次采购85台该电子产品，则元.
11.方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为.
12.高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的.即.（填入推导的步骤）
13.已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是.
14.在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；
④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.
二、选择题（本大题满分20分）
15.“”是“”的（）
A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.16.设为非零实数，则关于函数，的以下性质中，错误的是（）
A.函数一定是个偶函数；B.函数一定没有最大值；
C.区间一定是的单调递增区间；D.函数不可能有三个零点.
17.双曲线上到定点的距离是6的点的个数是（）
A.0个；B.2个；C.3个；D.4个.
18.若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是（）
A.；B.；C.； D..
三、解答题（本大题满分74分）
19.（本题满分10分）
已知数列（，），试判定：依据、的不同取值，集合含有三个元素，并用列举法表示集合.
20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅度，比普通冰箱约节省电能，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.
（1）一台节能型冰箱在一个月（按天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到千克）？
（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱.在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？
21.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
已知的三个内角A、B、C、、.
（1）若当时，取到最大值，求的值；
（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.
22.（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.
（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；
（2）当时，求向量与夹角的大小.
.
23.（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）
平面直角坐标系中，已知，…，是直线上的个点（，、均为非零常数）.
（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求的值；
（3）若点满足，我们称是向量，，…，的线性组合,是该线性组合的系数数列.
当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：
①系数数列需满足怎样的条件，点会落在直线上？
②若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？
③能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】
高三调研数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题4分，满分56分）：
1.；2.4；3.；4.（理）40；5.；
6.（或）；7.，；
8.4；9.理：10.表示一次采购共需花费的金额;；
11.；12.；
13.理：14.理：①②③④
二、选择题（每题4分，满分16分）：
15.B16.C17.B18.D
三、解答题：
19.（本题满分10分）
（理科）解：由结论：“当时，”且根据本题条件，故本题需根据变量和常数1的大小比较进行分类讨论：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当或时，有.
故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合
20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能，故一台节能型冰箱一天（小时）消耗的度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电：（度）；
设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，则
（千克）.
故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约千克的二氧化碳.
（2）设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树
在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有
，因为，故可解得.
所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.
21.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
解：（1）因为
故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为.
（2）由（1）结论可得，此时.
又，因此，当且仅当时等号成立.
所以.故面积的最大为.
22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有
于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.
因为，点到平面的距离为，不妨设，.
在Rt△ADM中，.
由,,故.
而当时，，
即
，
所以，点到平面的距离的取值范围是.
（2）解法一：当时，由（1）可知,
故可得,.
设向量与的夹角为，因为
.
所以，
故向量与夹角的大小为.
解法二：如图，以中点O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系.
由（1）可知，当时，.
所以有，，，
,，即，.
设向量与夹角为，则
故向量与夹角的大小为.
解法三：如图，过点作//，交于.
联结.因为是正三棱柱，故可得.
当时，由（1）可知,
故可得.
在等腰三角形中，不难求得
，即异面直线与所成角为，
而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补角，即与夹角的大小为.
23.（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）
解：（1）证：设等差数列的公差为,
因为，
所以为定值，即数列也成等差数列.
（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()
于是，
令，，则有.
（3）（理科）
提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.
证明：设，由条件，
先证充分性：“当时，点在直线上”.
因为，
故
而（），所以
当时，即有，即点在直线上.
再证必要性：“若点在直线上，则.”
因为，
故
而因为（），所以
又因为点在直线上，所以满足，故.
补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足，则都有.
【评分建议】
1.若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对错都给2分；
2.若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）
3.若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；
4.若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.
5.若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.
第10题图
A1
B1
C1
M
A
C
B
第22题图
C1
B1
A1
C
B
A
D
M
C1
B1
A1
C
B
A
D
M
E
O
N
A
B
C
A1
B1
C1
M
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