虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科
教学质量监控测试卷（理科）
（时间120分钟，满分150分）
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、已知集合，，则．
2、数列的前项和，则通项公式．
3、直线被圆所截得的弦长等于．
4、各项都为正数的等比数列中，，，则通项公式．
5、以为起点作向量，，终点分别为、．已知：，，，则的面积等于．
6、过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于．
7、若，是等腰直角三角形斜边的三等分点，则．
8、不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．
9、执行右边程序框图，输出的．
10、在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积等于．
11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则．
12、关于的方程（）有唯一的实数根，则．
13、公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，，则的最小值等于．
14、定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于．
二、选择题（每小题4分，满分16分）
15、给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面垂直”是“直线与平面内无数条直线垂直”的（）
充要条件充分非必要条件必要非充分条件既非充分又非必要条件
16、如果是关于的实系数方程的一个根，则圆锥曲线的焦点坐标是（）
17、已知：函数，若，，均不相等，且，则的取值范围是（）
18、已知：数列满足，，则的最小值为（）
8765
三、解答题（满分78分）
19、（本题满分14分）
已知：四棱锥，底面是边长为2的菱形，平面，且，，，分别是，的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的大小．
20、（本题满分14分）
已知：函数的最大值为，最小正周期为．
（1）求：，的值，的解析式；
（2）若的三条边为，，，满足，边所对的角为．求：角的取值范围及函数的值域．
21、（本题满分16分）数列中，，，且（）．
（1）证明：；
（2）若，计算，，的值，并求出数列的通项公式；
（3）若，求实数（），使得数列成等比数列．
22、（本题满分16分）已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；
（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23、（本题满分18分）
对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）
虹口区2010学年度第二学期高三年级数学学科
教学质量监控测试卷答案（理科）
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、；2、；3、2；4、；
5、；46、；47、；8、；9、；30
10、；11、；12、3；13、16；14、1
二、选择题（每小题4分，满分16分）
15、B；16、D；17、C；18、B；
三、解答题（满分78分）
19、(14分)（1）…………4分
（2）取AC的中点O，连接FO，F为中点，且，又平面，平面．……………………6分
过O作于G，则就是二面角的平面角．…………………………8分
由，，得二面角的大小为………………14分
20、（14分）（1），
由，得………………2分
由及，得………………4分
…………6分
（2）．………………8分
为三角形内角，所以………………10分
，，…………14分
21、（16分）（1）若，即，得或与题设矛盾，
……4分
（2），，…………6分（错一个扣1分，错2个全扣）
解法一：用数学归纳法，先猜想，再用数学归纳法证明．…………10分
解法二：，由，得，
数列是首项为，公比为的等比数列，，得…………10分
（3）设数列成等比数列，公比为，则，
即………………14分
由，不是常数列，，，
此时，是公比为的等比数列………………16分
22、（16分）（1）由，，得，，
所以椭圆方程是：……………………4分
（2）设EF：（）代入，得，
设，，由，得．
由，……………………8分
得，，（舍去），（没舍去扣1分）
直线的方程为：即……………………10分
（3）将代入，得（）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………14分
解得，此时（）方程，存在，满足题设条件．…………16分
23、（18分）（1）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则……………4分
故、是方程的同号的相异实数根．
无实数根，函数不存在“和谐区间”．………………6分
（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则……………10分
故、是方程，即的同号的相异实数根．
，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，
当时，取最大值………………14分
（3）如：和谐区间为、，当的区间；
和谐区间为；
和谐区间为；…………
……………………………………18分
阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．
高三数学试卷（理）本试卷共4页第5页
第9题
结束
输出T
T=T+n
n=n+2
S=S+5
T>S
S=0
T=0
n=0
开始
是
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