黄浦区2011年高考模拟考
数学试卷(理科)
(2011年4月14日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是．
2．已知全集，集合，则=．
3．已知函数是函数的反函数，则(要求写明自变量的取值范围)．
4．双曲线的渐近线方程是．
5．若函数与函数的最小正周期相同，则实数a=．
6．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是数列的前n项和，则=．
7．直线，，则直线与的夹角为=．
8．已知，是方程的根，则=．
9．的二项展开式中的常数项是(用数值作答)．
10．已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m=．
11．已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比=(用数值作答)．
12．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则=．
13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为，现用表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量的数学期望=．
14．已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有成立．
二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是
[答]()
A．．B．．
C．．D．．
16．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是(是正数)，则圆C的极坐标方程是[答]()
A．．B．．
C．．D．．
17．已知直线，点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是．[答]()
A相交B相切C相离D不能确定
18．现给出如下命题：
(1)若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则直线；
(2)空间三点确定一个平面；
(3)先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且=；
(4)样本数据的标准差是1．
则其中正确命题的序号是[答]()
A．(1)、(4)．B．(1)、(3)．C．(2)、(3)、(4)．D．(3)、(4)．
三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且
．
(1)求的取值范围；
(2)就(1)中的取值范围，求函数的最大值、最小值．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知正方体的棱长为a．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知函数，数列满足，．
(1)若数列是常数列，求a的值；
(2)当时，记，证明数列是等比数列，并求出通项公式．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x的集合)．
(1)求实数m的值，并写出区间D；
(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；
(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
黄浦区2011年高考模拟考
数学试卷(理科)(2011年4月14日)
参考答案和评分标准
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、填空题
1、 8、
2、 9、
3、10、
4、 11、
5、 12、
6、 13、
7、 14、
二、选择题：15、B16、A17、A18、D
三、解答题
19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)∵，，
又，
∴，即．……………………………4分
∴所求的的取值范围是.………………………7分
(2)∵，
9分
∴，.11分
∴.14分
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
解(1)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、
、，向量，，．
2分
设是平面的法向量，于是，有
，即．
令得．于是平面的一个法向量是
．5分
因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)8分
(2)由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．10分
设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则
．13分
所以，平面与平面所成的二面角为．14分
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
解(1)∵，数列是常数列，
∴，即，解得，或．…………………………6分
∴所求实数的值是1或2．
(2)∵，
∴，即．……10分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，于是．
12分
由即，解得．16分
∴所求的通项公式．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
解(1)∵是奇函数，
∴对任意，有，即．2分
化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，
必有
，解得．………4分
∴．5分
(2)当时，函数上是单调减函数．
理由：令．
易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，6分
故在上是随增大而减小．8分
于是，当时，函数上是单调减函数．10分
(3)∵，
∴．11分
∴依据(2)的道理，当时，函数上是增函数，12分
即，解得．14分
若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)
∴必有．16分
因此，所求实数的值是．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解(1)设动点为，1分
依据题意，有
，化简得．3分
因此，动点P所在曲线C的方程是：．……………………4分
(2)点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．5分
联立方程组，可化为，
则点的坐标满足．7分
又、，可得点、．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因，，则=．9分
于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．10分
(3)依据(2)可算出，，
则
，
．14分
所以，，即存在实数使得结论成立．15分
对进一步思考问题的判断：正确．18分
【10】
y
x
(O)
B1
A1
D1
C1
D
C
B
A
z
B1
A1
D1
C1
D
C
B
A
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