松江区2011年高考模拟数学(理科)试卷
2011.4
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.
一、填空题(本大题每满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.函数的定义域为▲.
2.若是虚数单位,则=▲.
3.若,,,则=▲.
4.=▲.
5.已知数列的前项和,若第项满足,则=▲.
6.若函数在上存在反函数,则实数的取值范围为▲.
7.已知直线的方程为,若直线与关于直线对称,则直线的斜率为▲
8.定义一种运算,运算原理如右框图所示,则▲.
9.在的展开式的各项中任取一项,若其系数为奇数时得2分,其系数为偶数时得0分,现从中随机取一项,则其得分的数学期望值是▲.
10.在直线和曲线上各任取一点,若把这两点间距离的最小值定义为直线与曲线间的距离,则直线与椭圆间的距离为▲.
11.已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是▲.
12.已知函数满足对任意都有成立,则a的取值范围是▲.
13.已知函数①;②;③;④.其中对于
定义域内的任意一个都存在唯一个成立的函数是▲.(写出所有序号)
14.已知集,记和中所有不同值的个数为.时,由,,,,,得.集,若实数成等差数列,=▲.
二、选择题(本大题每满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方涂黑,选对答5分,否则一律得零分.
15.将函数的图像向左平移()个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值为
A.B.C.D.
16.如果正数、、、满足,则下列各式恒成立的是
A.B.C.D.
17.有一正方体形状的骰子,六个面分别涂上了红、黄、蓝、绿、白、黑六种不同的颜色,投掷三次,观察到的结果如图所示,则黄色对面的颜色是
A.红色 B.蓝色 C.绿色 D.黑色
18.设函数,下列四个命题:
①“”是“函数在上单调递增”的必要非充分条件;
②“,”是“方程有两个负根”的充分非必要条件;
③“”是“函数为奇函数”的充要条件;
④“”是“不等式对任意恒成立”的既不充分也不必要条件.
则真命题的是
A.①③B.①②C.③D.②④
三.解答题(本大题每满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分10分)
如图,为了测量河对岸的塔高,可以选与塔底在同一水平面内的两个测量点与.现测得,,(米),并在点测得塔顶的仰角为,求塔高(精确到米).
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知梯形中,,,,、分别是、上的点,,沿将梯形翻折,使平面(如图).设,四面体的体积记为.
(1)写出表达式,并求的最大值;
(2)当时,求二面角的余弦值.
21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分
已知是偶函数.
(1)求实常数的值;
(2)写出函数的单调递增区间,并给予证明;
(3)为实常数,解关于的不等式:.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分
我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作.已知向量列满足:,.
(1)证明数列是等比数列;
(2)设表示向量间的夹角,若,,求;
(3)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
已知抛物线方程为.
(1)若点在抛物线上,求抛物线的焦点的坐标和准线的方程;
(2)在(1)的条件下,若过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点,点在抛物线的准线上,直线、、的斜率分别记为、、,求证:、、成等差数列;
(3)对(2)中的结论加以推广,使得(2)中的结论成为推广后命题的特例,请写出推广命题,并给予证明.
说明:第(3)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
松江区20年(分钟,分分)2.-13.4.25.9.
6.7.8.9.10..
11.12.13.③14.
二、选择题
15.D16.B17.C18.C
三、解答题
19.(本题10分)如图,为了测量河对岸的塔高,可以选与塔底在同一水平面内的两个测量点与.现测得,,(米),并在点测得塔顶的仰角为,求塔高(精确到米).
解:在中,,…2分
由正弦定理得,
所以,…6分
在中,
,……9分
所以,塔高为米.……10分
20.(本题14分,其中第(1)小题6分,第(2)小题8分)
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,设AE=。沿EF将梯形ABCD翻折,使AE⊥平面EBCF(如图).
(1)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(2)当x=2时,求二面角D-BF-E的余弦值.
解:(1)∵AE⊥平面EBCF
过D作DH∥AE,则DG=AE,且DH⊥平面EBCF……2分
所以VD-BFC=
…………………………………5分
即时有最大值为。……………………6分
(2)∵AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。…………………………………7分
则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)
设平面DBF的法向量为,
∵AE=2,B(2,0,0),D(0,2,2),F(0,3,0),
∴(-2,2,2),……8分
则,………9分
即,
取x=3,则y=2,z=1,∴………11分
平面BCF的一个法向量为…………12分
记此二面角的平面角为,则…………………13分
所以此二面角的余弦值为……………14分
21.(本题16分,其中第(1)小题3分,第(2)小题5分,第(3)小题8分)
已知是偶函数。
(1)求实常数的值;
(2)写出函数的单调递增区间,并给予证明;
(3)为实常数,解关于的不等式:
解:(1)是偶函数,,……………1分
,……………2分
,.……………3分
(2)∵,的递增区间为……………4分
证明:任取,
……………6分
∵∴,,
∴,……………7分
∴∴的递增区间为。……………8分
(3)由于在上是增函数
∴由可得……………10分
,
即,,……………12分
,
时,不等式解集为;……………14分
时,不等式解集为;……………15分
时,不等式解集为.……………16分
22.(本题16分,其中第(1)小题3分,第(2)小题5分,第(3)小题8分)
我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作。已知向量列满足:,.
(1)证明数列是等比数列;
(2)设表示向量间的夹角,若,,求;
(3)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
解:(1)……………1分
,数列是等比数列……………3分
(2)
……………5分
……………7分
……………8分
(3),……………10分
假设中的第项最小,由,,∴……………11分
当时,有,由
得即,
,或(舍),∴
即有;……………13分
由,得,又,∴;……………15分
故数列中存在最小项,最小项是。……………16分
23.(本题18分,其中第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
已知抛物线方程为
(1)若点在抛物线上,求抛物线的焦点的坐标和准线的方程;
(2)在(1)的条件下,若过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点,点上,直线、、的斜率分别记为、、,求证:、、成等差数列;
(3)对(2)中的结论加以推广,使得(2)中的结论成为推广后命题的特例,请写出推广命题,并结予证明.
说明:第(3)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
解:
(1)∵在抛物线上,由得……………2分
∴抛物线的焦点坐标为,……………3分
准线的方程为……………4分
(2)证明:∵抛物线的方程为,过焦点且倾斜角为的直线
由可得
解得点A、B的坐标为,……………6分
∵抛物线的准线方程为,设点M的坐标为,……………7分
则,,,……………8分
由……………9分
知、、成等差数列。……………10分
(3)本小题可根考生不同的答题情况给予评分
①推广命题:若抛物线的方程为,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,M为抛物线准线上的一点,直线、、的斜率分别记为、、,则、、成等差数列。……………12分
证明:
抛物线的焦点坐标为,当直线平行于轴时,
由(2)知命题成立。……………13分
设M点坐标为
当直线不平行于轴时,设的方程为,其与抛物线的交点坐标为、,则有,
由得,即……………14分
,
,∴,即、、成等差数列………16分
②推广命题:若抛物线的方程为,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,M为抛物线准线上的一点,直线、、的斜率分别记为、、,则、、成等差数列。……………13分
证明:抛物线的焦点F的坐标为,准线方程为,设M点坐标为
设与抛物线的交点坐标为、,则有,
(ⅰ)当直线平行于轴时,直线的方程为
此时有……………14分
(ⅱ)当直线不平行于轴时,直线的方程可设为
由得……………15分
,
,∴,即、、成等差数列…18分
高三第4页共页
20081218
|
|