2011年上海杨浦区高三二模数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）
1.不等式的解集是___________.
2．若函数与的图像关于直线对称，则.
3．经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是.
4.计算：.
5.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.
6.若数列为等差数列，且，则的值等于.
7.已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①；
②；③；④，其中真命题的序号是.
8.一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数的数学期望是．
9.极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是.
10．在△中，已知最长边，，(=30(，则(=.
11.已知函数，若且，则的取值范围是.
12.在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=，AD=2；线段PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA=2，则异面直线PC与BD所成的角等于（用反三角函数表示）.
13．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3的取值范围是.
14.已知函数满足：①对任意，恒有成立；②当时，.若，则满足条件的最小的正实数是.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．如图给出的是计算的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是……………………（）
（A）；（B）；
（C）；（D）.
16.已知是上的增函数，
那么a的取值范围是……………………………()
(A)(1，+∞) ；(B) (0，3)；(C)（1，3）；(D)[，3）．
的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点所在的曲线的形状为…………()
18．已知有穷数列A：（）.定义如下操作过程T：从A中任取两项,将的值添在A的最后，然后删除,这样得到一系列项的新数列A1(约定:一个数也视作数列)；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列项的新数列A2，如此经过次操作后得到的新数列记作Ak.设A：,则A3的可能结果是……………………………（）
（A）0；（B）；（C）；（D）.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应19．(本题满分12分)
如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮
制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最
多盛水多少？（结果精确到0.1cm3）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知向量,，.
（1）若，求向量、的夹角；
（2）若，函数的最大值为，求实数的值.
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知圆.
（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；
（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设虚数满足为实常数，，为实数）.
（1）求的值；
（2）当，求所有虚数的实部和；
（3）设虚数对应的向量为（为坐标原点），，如，求的取值范围.
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，
并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有
恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由.
杨浦区2010学年度第二学期高三学科测试
参考答案及评分标准2011.4.16
一、填空题
1.【(-1，3)】2.【】3．【】4.【】5.【】6.【】7.（文）【】（理）【①，④】.
8.（理）【】（文）【】9.（文）【】（理）【】10．【(=135(】
11.【】12.【arccos或】13．【】14.（理）【，】（文）【】
二、选择题
15．【A】】
三、解答题
19．(本题满分12分)
解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=，由得
；……………………………………………………………………………………………2分
由得；…………………………………………………………………………………5分
由得；……………………………………………………………………………8分
由
所以该容器最多盛水1047.2cm3……………………………………………………………………12分
（说明：用3.14得1046.7毫升不扣分）
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
解：（1）当时，，………………………………………………………………1分
所以………………………………………………………………4分
因而；…………………………………………………………………………………6分
（2），……………………………………7分
………………………………………………………………………10分
因为，所以……………………………………………………11分
当时，，即，…………………………………………………12分
当时，，即.…………………………………………13分
所以.……………………………………………………………………………14分
21．(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
解：（文）（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，即；……2分
由得，解得，…………………5分
从而所求的切线方程为，.…………………6分
（2）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.……………………………………12分
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴点N的轨迹是方程为…………………………………………………………………14分
（理）（1）∵点在圆C上，∴可设；……………………………2分
，……………………………………………4分
从而.……………………………………………………………………………………6分
（2）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………………………………………8分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.……………………………………10分
且椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴点N的轨迹是方程为…………………………………………………………………12分
所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为.………………………………………………14分
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
解：（1），…………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………4分
（或）
（2）是虚数，则，的实部为；
当2.………………………7分
当2.……………………………………10分
（3）解：
①恒成立，
由得，当时，；当时，.………………………………12分
②如则
当.……………………………………14分
当……………………………16分
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
解：（1）由恒成立等价于恒成立，…………………………1分
从而得：，化简得，从而得，所以，………3分
其值域为.………………………………………………………………………………………………4分
（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，所以对一切，均有；………………………………………………………………………………………………7分
，
从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.………………………10分
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.
另解：若数列在某个区间上是递增数列，则
即…………………………7分
又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，从而；
，即；………12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，……………………………………14分
从而得，即，所以，
所以，所以，………………16分
所以，
.……………………………………………………18分
（3）（理科）由（2）知，从而；
，即；………12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，………………………………………………………14分
从而得，即，所以，
所以，所以，
所以，
.………………………………………………………16分
即，所以，恒成立
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。
所以，对任意，有。又非零整数，…………………………………18分
yxO
P
C
N
MAO
A
O
x
yxO
P
C
N
MAO
A
O
x
(D)
P
A
B
B1
A1
(C)
P
A
B
B1
A1
(B)
P
A
B
B1
A1
(A)
P
A
B
B1
A1
（15题）
是
否
结束
输出S
i=i+2
s=s+
i=1,s=0
开始
（12题）CDCBA
PCDCBA
CDCBA
DCBA
BA
A
（13题）
S1
S2
S3
O
C
B
D
A
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