闸北区2010学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷2011.4
考生注意：
和都是纯虚数,那么．
2．函数的单调递增区间为．
3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为．
4．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为．（写出一个即可）
5．下列三个命题：①若，则；②若，，则；③若，则．其中真命题有．（写出所有真命题的序号）
6．有一公园的形状为，测得千米，千米，，则该公园的占地面积为平方千米．
7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为的球面上，则该正方体的体积为．
8．设是R上的奇函数，是R上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为．
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为，则随机变量的数学期望_____．
10．若函数无零点，则的取值范围为．
11．设，，则的取值范围为．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．设R，则“”是“”的】
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件】
A．4B．3C．2D．1
14．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的，然后再种植2500棵树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在【】
A．22000颗B．23500颗C．25000颗D．26500颗
15．已知，，为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹是【】
A．的椭圆 B．的椭圆
C．的双曲线 D．的双曲线
三、解答题（本题满分7分），.
（1）求的反函数；
（2）解不等式.
17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的销售价为元（）时，一年的销售量为万件．
（1）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求的最大值．
18．（满分15分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题6分．
如图，平面上定点到定直线的距离，曲线是平面上到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹．
设，且．
（1）若曲线上存在点，使得，
试求直线与平面所成角的大小；
（2）对（1）中，求点到平面的距离．
19．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．
在数列中，，，其中．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，试比较与的大小．
20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．
在中，、为定点，为动点，记、、的对边分别为、、，已知，且存在常数，使得．
（1）求动点的轨迹，并求其标准方程；
（2）设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的曲线交于两点，若，试确定的范围．
高三数学（理科）期中练习卷评分标准与参考答案（2011.4）
一、1.；2．；3．18；
4．或或等；5．①③；6．；
7．8；8．；9．；
10．；11．．
二、12.C；13．B；14．C；15．D．
，．………………………………5分
（2）由，得
，且，
，………………………………………………………………5分
，
综上，得．………………………………………………………………2分
17．解：（1）该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式为：
，．………………………………………………………6分
（2）当时，此时，，
所以，当时，的最大值，………………………………3分
当时，此时，，
所以，当时，的最大值．…………………………………………3分
答：若，则当每件产品售价为元时，该分公司一年的利润最大，最大值；若，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润最大，最大值．………………………………………………………2分
18．解：（1）【解法一】如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．…………………1分
由题意，曲线是平面上以原点为顶点，
由于在平面内，是以为顶点，以轴
为对称轴的抛物线，其方程为，
因此，可设…………………………2分
，，所以，，．………………2分
由，得，……………………2分
所以，直线与平面所成角的大小为（或）．………………2分
【解法二】如图，以点为原点，以线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．……………………………………………………………………………1分
所以，，，，并设，
由题意，……………………………………………………………4分
………………………………………2分
所以，直线与平面所成角的大小为（或）．………………2分
（2）【解法一】由（1），得的面积为，……………………………1分
的面积为，……………………………………………………………1分
所以，，…………………………………………………………3分
解得，．………………………………………………………………1分
【解法二】，，设向量
则
所以，平面的一个法向量，………………………………………3分
．……………………………………………………………………3分
19．解：（1）由得，
又，，得，………………………………3分
所以，数列是首项为3，公比为3的等比数列，………………………………2分
所以，．……………………………………………………………………2分
（2），
，…………………………………………………………………2分
．…………………………1分
设，
由于…………………………………………………………………………………………………2分
当时，
当时，
即，当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列………………2分
又，，
所以，当时，；…………………………………………2分
所以，当时，．…………………………………………2分
20．解：（1）在中，由余弦定理，有，……………1分
，……………………3分
所以，点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．（除去长轴上的顶点）…………………………………………………………………………………………1分
如图，以、所在的直线为x轴，以、的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则，和．
椭圆的标准方程为：．…………………………………………4分
（2）设，，
①当垂直于轴时，的方程为，由题意，有，在椭圆上．
即，由，得………………………………1分
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，………2分
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，所以，
所以，………………………………………4分
所以，，
由得，解得…………………………………………2分
综合①②得：………………………………………………………………1分
F
A
B
P
E
F
A
P
x
O
y
z
B
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