虹口区2011学年度第一学期高三年级数学学科
期终教学质量监控测试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、已知集合，，集合，则集合的
子集共有个．
2、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是．
3、已知，则的值等于．
4、若三角方程有解，则实数的取值范围是．
5、从，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率等于．
6、已知函数（，）的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度所得图像关于轴对称，则．
7、，是两个不共线的单位向量，若向量与向量垂直，则实数．
8、数列满足，且，则通项公式．
9、过抛物线的焦点作弦，点，，且，
则．
10、已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线上，
且，则点到轴的距离等于．
11、过圆内的点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积等于．
12、等差数列的前项和为，若，，，
则．
13、已知函数，，对于任意的都能找到
，使得，则实数的取值范围是．
14、已知，，成等差数列，则①；②；③中，正确的是．（填入序号）
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、正方体中，为线段上的一个动点，则下列结论中错误的是（）
平面
三棱锥的体积为定值直线直线
16、已知数列的前项和，对于任意的，都满足，且，则等于（）
2
17、定义在上的函数，当时，，且对任意的满足
（常数），则函数在区间上的最小值是（）
18、已知集合，，
若，则实数的取值范围是（）
三、解答题（满分74分）
19、（13分）已知椭圆的焦点坐标为，长轴等于焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）矩形的边在轴上，点、落在椭圆上，求矩形绕轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．
20、（15分）已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，是的内角，，的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小．
21、（15分）（1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；
（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；
（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证：为定值．
22、（15分）已知是数列的前项和，（，），且．
（1）求的值，并写出和的关系式；
（2）求数列的通项公式及的表达式；
（3）我们可以证明：若数列有上界（即存在常数，使得对一切恒成立）且单调递增；或数列有下界（即存在常数，使得对一切恒成立）且单调递减，则存在．利用上述结论，证明：存在．
23、（16分）已知函数（，）．
（1）若时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（2）若对于定义域内一切，恒成立，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，当时，的取值恰为，求实数，的值．
虹口区2011学年度第一学期高三年级数学学科
期终教学质量监控测试卷答案
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、4；2、；3、；4、；5、；
6、；7、；8、；9、14；10、3；
11、40；12、21；13、；14、③；
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、D；16、A；17、D；18、B；
三、解答题（满分74分）
19、(13分)
（1）椭圆的方程为…………………………………………………………4分
（2）记，…………………………………7分
由，得，．…………12分
当，即，时取到．………………………………13分
20、（15分）
（1），
………………………………………………………………………………5分
（2），，的最大值为3．
，为三角形内角，………………9分
又，得，，………………12分
由，得，………15分
21、（15分）
（1）设双曲线方程为将代入，得，
得双曲线A：……………………………………………………………3分
（2）椭圆的顶点为，焦点为，，椭圆B：……6分
（3）设，，由，得，……10分
同理可得，………………15分
22、（15分）
（1）．当时，①；②
②—①得．又，即时也成立．
…………………………………………………………5分
（2）由（1）得，，是首项为1，公差为1的等差数列，
，，
时，，，，
又，也满足上式，……………………10分
（3），单调递增，
又，存在……………………………………………15分
23、（16分）
（1），任取，记，
，单调递减．
当时，在单调递减；
当时，在单调递增．…………………………………………4分
（2）由，得，……………………8分
当时，无意义．
，………………………………………………………10分
（3）的定义域为
．若，与矛盾，不合；………………………………12分
．若，．
取，．
又，，此时为减函数
（或由（1）得为减函数）…………………………………………………14分
值域为，………………………………15分
又，得……………………………………………………16分
高三数学试卷本试卷共4页第2页
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