浦东新区20学年度第一学期质量抽测
．．的反函数为，则_____.
2．的焦点坐标为____________.
3．，且过点的直线的方程是______.
4．若，则实数的取值范围是.
5．某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_.
6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分
层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为.
7．若的二项展开式中的系数为，则实数____________.
8．已知向量，，若，则______.
9．从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则的概率为_____.
10．已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为.
11．已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为.
12．已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.
13．函数的最小正周期为__________.
14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．“”是“”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是（）
A.， B.，
C.， D.共面
17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是（）
A.B.
C.D.
18．已知共有项的数列，，定义向量、
，若，则满足条件的数列的个数为（）
A.2 B. C. D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，
（1）当时，求的值；
（2）设，求函数的值域.
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.
设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.
23.（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.
（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；
（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：
函数性质 结论 奇偶性 单调性 递增区间 递减区间 零点
（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.
浦东新区20学年度第一学期质量抽测
．．的反函数为，则__2___.
2．的焦点坐标为__，__________.
3．，且过点的直线的方程是.
4．若，则实数的取值范围是.
5．某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_.
6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分
层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为50.
7．若的二项展开式中的系数为，则实数____________.
8．已知向量，，若，则.
9．从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则的概率为_____.
10．已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为.
11．已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为.
12．已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.
13．函数的最小正周期为.
14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为10.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．“”是“”的（A）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是（C）
A.， B.，
C.， D.共面
17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是（D）
A.B.
C.D.
18．已知共有项的数列，，定义向量、
，若，则满足条件的数列的个数为（C）
A.2 B. C. D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.
解：设（），…………………………………………………………1分
∵，∴，……………………………………………………3分
而，………………………………6分
又∵在复平面上对应的点在直线上，
∴，……………………………………………………………………8分
即，∴或；…………………………………………10分
即.…………………………………………………………………………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
解：（1）；…………6分
（2）连结、、，则，
所以或其补角为异面直线与所成的角.……9分
在中，，
，………………………………………………12分
因为，
所以.
所以，异面直线与所成的角的大小为.……14分
21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，
（1）当时，求的值；
（2）设，求函数的值域.
解：（1），……………………………………………………………2分
，；……………………………………6分
（2）由，得，………………………………7分
………………………………9分
，……………………………………11分
,，
∴,……12分
∴的值域为.………………………………14分
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.
设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.
解：（1），
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………2分
，
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………4分
（2），
当时，对恒成立，此时，；…………7分
当时，令，，；
设为不超过的最大整数，令，，
，此时，，.…………………………10分
（3），令，
，即；
当时，，于是，
当时，，于是；………………13分
∵，，
，，，，
∴有和项，共82项.……………………16分
23.（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.
（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；
（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：
函数性质 结论 奇偶性 单调性 递增区间 递减区间 零点
（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.
解：（1），…………2分
；……4分
（2）；……7分
函数性质 结论 奇偶性 偶函数 单调性 递增区间 ， 递减区间 ， 零点 ， …………10分
（3）（i）易知直线恒过原点；
当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相切，当时，恒在曲线之上，
（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相离；
（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，
直线与曲线相交于两个点；
（ⅳ）当直线过点时，，此时点到直线的距离为
，直线与曲线相交于两个点；
点到直线的距离为，直线与曲线
相交于两个点；
（ⅴ）当时，直线与曲线有且只有5个交点；
（ⅵ）当时，直线与曲线有且只有1个交点；
因为函数的图像关于轴对称，………………14分
故综上可知：
（1）当时，方程只有1实数根；
（2）当时，方程有3个实数根；
（3）当时，方程有5个实数根；
（4）当或时，方程有7个实数根；
（5）当时，方程有9个实数根；
（6）当时，方程有11个实数根.……………………18分
—3—
第11题图
第11题图
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