黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试
数学试卷(理科)2013年1月17日
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直
接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合，，则．
2．若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为3.若数列的通项公式为，则．
4．已知直线和，则∥的充要条件是=5．的展开式中的系数是（用数字作答）．
6．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，
黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球
颜色不同的概率等于．
7．已知，，则．
8．执行右边的程序框图，若，则输出的S=
9．已知函数，且函数
有且仅有两个零点，则实数的取值范围是10．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为11．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，抛物线．
12．已知函数(且)满足，若是的反函数，
则关于x的不等式的解集是．
13．已知F是双曲线：的焦点，O是双曲线的中心，
是双曲线的一条渐近线线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线上，
则的值为．
14．已知命题，，则集合是假命题，则实数的取值范围是．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是（）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
16．若（，是虚数单位），则的最小值是（）
A．B．C． D．
17．若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4
18．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；
②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）
A．48B．72 C．168D．312
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列．
（1）若且，求的值；
（2）若，求的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点，且矩形的面积小于150．
（1）设长为米，矩形的面积平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径的圆为椭圆C的准圆．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆C和其准圆方程；
（2）若点是椭圆C的准圆与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆C的准圆上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个P数对；若恒成立，则称为函数的一个类P数对．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个P数对，求；
（2）若是的一个P数对，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个类P数对，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与；②与
上海市黄浦区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题相应编号的空格内直接写结果，每填对得4分，否则一律得零分．
；2．2；3．；4．3；5．36；6．；7．；8．；
9．；10．；11．；12．；13．；14．．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
，由、分别为线段、的中点，
可得∥，故即为异面直线与所成的角．中，∵平面，
平面，∴，
在△中，，，
∴，∴．
所以异面直线EF与BC所成的角为．………6分
（2）在正方体中，由平面，平面，
可知，∵，是中点，
∴，又与相交，∴平面，…………………………9分
又，
故，
所以三棱锥的体积．A、B、C成等差数列，∴
又,∴，…………………………2分
由得，，∴①………………………4分
又由余弦定理得
∴，∴②………………………6分
由①、②得，……………………………………8分
（2）由（1）得，∴，即，
故=……………………………10分
=，…………………………12分
由且，可得，∴，
即，∴的取值范围为．…………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，
∴，即，……………………3分
故，………………………5分
由且，可得，解得，
故所求函数的解析式为，定义域为．…………………………………8分
（2）令，则由，可得，
故…………………………10分
，…………………………12分
当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．
故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米．…………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．………………4分
（2）由题意，可设，则有，
又A点坐标为，故，
故
,…………………………8分
又，故，
所以的取值范围是．…………………………10分
（3）设，则．
当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，代入椭圆方程可得
，即，
由，…………………………13分
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即．
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．………………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴是公差为1的等差数列，
故，又，故．………………………………3分
（2）当时，，令，可得，
解得，即时，，………………………4分
故在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…，…………………6分
故为奇数时，在上的取值范围是；
当为偶数时，在上的取值范围是．…………………8分
所以当时，在上的最大值为，最小值为3；
当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；
当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分
（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即对一切恒成立，
所以…，
故．…………………………………14分
若，则必存在，使得，
由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分
黄浦区2013数学一模（理科）试卷与答案
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（第8题图）
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