静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测
数学试卷（理科）
（试卷满分150分考试时间120分钟）2013.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知函数的最小正周期为，则正实数=.
2．等比数列（）中，若，，则.
3．两条直线和的夹角大小为.
4．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.
5．某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有种游览选择．
6．求和：=.（）
7．设数列满足当（）成立时，总可以推出成立．下列四个命题：
（1）若，则．
（2）若，则．
（3）若，则．
（4）若，则．
其中正确的命题是.（填写你认为正确的所有命题序号）
8．已知曲线的极坐标方程为．若以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），则此直线被曲线截得的线段长度为.
9．请写出如图的算法流程图输出的S值.
10．已知、为锐角，且，则=.
11．机器人在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，从圆心出发沿北偏西方向行走点处，沿正南方向行走至点处，沿正东方向行走至点处点都在圆上．圆心轴正方向，正北方向为轴正方向的直角坐标系中圆的方程为.
12．过定点作直线交轴于Q点，过Q点作交轴于T点，延长TQ至P点，使，则P点的轨迹方程是.
13．已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图像上，则连线的斜率的取值范围是.
14．在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为、（为虚数单位），则当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．若复数，则是成立的（）
(A)充要条件(B)既不充分又不必要条件(C)充分不必要条件(D)必要不充分条件
16．等差数列中，已知，且，则数列前项和（）中最小的是（）
(A)或(B)(C)(D)
17．函数的值域为（）
(A)(B)(C)(D)
18．已知是△外接圆的圆心，、、为△的内角，若，则的值为（）
(A)1(B)(C)(D)
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN．（1）设MN与AB之间的距离为米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（）EMN的面积S（平方米）最大．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知a，b，c分别为△三个内角、、所对的边长，a，b，c成等比数列．
（1）求B的取值范围；
（2）若x=B，关于x的不等式cos2x(4sin()sin()+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有
．
（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列、、；
（2）试求出数列的任一项与它的前一项间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上一动点，定点，求△面积的最大值；
（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
函数，，其中(．若对任意，，则称在内为对等函数．
（1）指出函数，，在其定义域内哪些为对等函数；
（2）试研究对数函数（且）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使在所给集合内成为对等函数；
（3）若，在内为对等函数，试研究（）的奇偶性．
上海市静安区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
说明
1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
1．；2．64；3．；
4．；5．13；6．；
7．（2）（3）（4）；8．4；9．；
10．1；11．；12．；
13．；14．；.
15．D；16．C；；17．A；18．B
19解：（1）
如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S==；分
如图2所示，当MN在三角形区域滑动，
即1＜x＜时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
E为AB中点，
F为CD中点，GFCD，且FG＝.
又MN∥CD，
△MNG∽△DCG．
，即．4分
故△EMN的面积S＝
＝；分
综合可得：
分
（）当MN在矩形区域滑动时，，所以有；分
当MN在三角形区域滑动时，S=.
因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）.
，
S有最大值，最大值为平方米.12分
20解：（1）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac 1分
cosB== 3分
a2+c2≥2ac∴cosB=≥，等号当且仅当a=c时取得，即≤cosB＜1，得到． 7分
cos2x(4sin()sin()=cos2x(4sin()cos()
=2cosx2(2cosx(1=2(cosx()2( 11分
x=B ∴≤cosx＜1
∴2(cosx()2(≥(
则由题意有：(m＜(即m＞ 14分参照评分）
21解：（1）当时，，由得． 1分
时，，由得或．当时，，若得或；若得； 5分
分
，则（）．
从而． 7分
，得． 8分
时，由（1）知；当时，=，即，所以或． 12分
，，所以无穷数列的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为(2012，公比为(1的等比数列．故
． 14分
1分
和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得： 3分
；所以椭圆方程为 4分
，直线的方程为，，当椭圆上的点到直线距离最大时，△面积取得最大值 6分
平行的直线方程为，将其代入椭圆方程得：，，即，解得，当时，椭圆上的点到直线距离最大为，此时△面积为 9分
代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得 11分、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即， 13分
=，所以
，解得 14分
对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．
，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点． 16分
，是对等函数； 4分
，其定义域为，所以，又，所以当且仅当时成立．所以对数函数在其定义域内不是对等函数． 6分
时，若，则，此时是对等函数；
当时，若，则，此时是对等函数；
总之，当时，在及其任意非空子集内是对等函数；当时，在及其任意非空子集内是对等函数． 10分
，讨论与的关系．
1）若不关于原点对称，如虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； 11分
，则．当时，既是奇函数又是偶函数；当时，是偶函数． 13分
关于原点对称的假设下讨论．
当时，；
当时，，若，则有；此时，当时，，令，则，且，由前面讨论知，，从而；
综上讨论，当时，若，则是偶函数． 15分
时，，则；此时，当时，，令，则，且，由前面讨论知，，从而；
若，则对任意，都有．
综上讨论，若当时，，且，则是奇函数．若，则不是奇函数也不是偶函数． 18分
静安区2013数学一模（理科）试卷与答案
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E
图1
C
B
A
M
D
G
N
E
（理19题）
C
M
D
N
G
B
A
E
理第11题
S
N
A
南
北
C
B
O
理第9题
A
B
G
N
D
M
C
图2
H
F
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