闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷
考生注意：
分10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．
1．已知，其中是虚数单位，那么实数．
2．已知的展开式中，的系数为，则．
3．设是公比为的等比数列，且，则．
4．设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为．
5．函数则的值为．
6．一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为米．（结果化简）
7．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为．
8．甲、乙、丙人安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有种．
9．设不等式的解集为，若，则．
10．设函数则方程的实数解的个数为．
二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
11．曲线与直线有公共点的充要条件是【】
A．B．C．D．
12．已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为【】
A．B．C．D．
13．以下四个命题中，真命题的个数为【】
①集合的真子集的个数为；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设，若，则且；
④设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列．
A．B．C．D．
三、解答题（本题满分7分），．
（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；
（2）当时，求的取值范围．
15．（本题满分14分）
如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内
种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个
形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区
域之间设有米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为
平方米，问：应怎样设计试验田的长与宽，
才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？
16．（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）
假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数在实数集上是单调函数，可知指数函数存在反函数，．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：
（1）对于任意的正实数，都有；
（2）函数是单调函数．
17．（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）
设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，满足，求的取值范围．
18．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若则是公差为的准等差数列．
（1）求上述准等差数列的前项的和；
（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
上海市闸北区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案
一、1．；2．2；3．3；4．；5．；6．；
7．；8．20；9．；10．（理）；（文）2．
二、11．C．12．B．13．B．
三、（3分）
（1），是非奇非偶函数．（3分）
注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如，不是奇函数．
（2）由，得，．（4分）
所以．即．（2分）
15．解：设的长与宽分别为和，则
（3分）
（2分）
试验田的面积（2分）
令，，则，（4分）
当且仅当时，，即，此时，．（2分）
答:试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2.（1分）
16．（理）证明：（1）设，，由题意，有，，（2分）
所以，（3分）
所以，，即．（2分）
（2）当时，是增函数．
证明：设，即，又由指数函数是增函数，得
，即．（4分）
所以，当时，是增函数．（2分）
同理，当时，是减函数．（2分）
16．（文）解（1）任取，，则由（2分）
由在区间上是单调递减函数，有，（3分）
又由是奇函数，有，即．（3分）
所以，函数在区间上是单调递减函数．（1分）
（2）如或等（6分）
17．（理）解：（1）设，则有，（1分）
（3分）
由题意，，（2分）
所以，椭圆的方程为．（1分）
（2）由(1)得，设的方程为，（1分）
代入，得（2分）
设，则，
设的中点为，则，（2分）
，，即
（2分）
因为直线不与坐标轴垂直的，所以
．（2分）
17．（文）解：（1）由题意，可求得，．（1分）
设，则有，（3分）
（2分）
所以，．（1分）
（2）设直线的方程为，（1分）
代入，整理得，（）（2分）
因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根．
设，，中点为，则
，，．（2分）
线段的垂直平分线的方程为．（1分）
令，则．（2分）
因为，所以．即点横坐标的取值范围为．（1分）
18．（理）解：（1）（4分）
（2）（）①
②
②-①得（）．（2分）
所以，为公差为2的准等差数列．（1分）
当为偶数时，，（2分）
当为奇数时，解法一：；（2分）
解法二：；
解法三：先求为奇数时的，再用①求为偶数时的同样给分．
（1分）
（3）解一：
当为偶数时，；（1分）
当为奇数时，
．（1分）
当为偶数时，，得．（1分）
由题意，有；（1分）
或．（1分）
所以，．（1分）
解二：当为偶数时，,（1分）
当为奇数时，．（1分）
以下与解法一相同．
18．（文）解：（1），（2分）
（4分）
（2）①
②
②-①得．
所以，为公差为2的准等差数列．（2分）
当为奇数时，；（2分）
当为偶数时，，（2分）
（3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，
所以，（4分）
，．（2分）
解二：当为偶数时，，，……
将上面各式相加，得．
（4分）
，．（2分）
闸北区2013数学一模（理科）试卷与答案
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