上海市浦东区2013年高考二模数学试题（文科）
参考答案
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，一律得零分；2．1；3．20；4．4；5．；6．；7．；
8．；9．4；10．（文）；11．4；12．（文）；
13．（文）；14．①④。
二、选择题本大题共有4题，满分20分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
；16．；17．，（文）；18．。
三解答题（本大题共有题满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．，，
直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.
连结,连结，
是直线与平面所成的角.……………………………2分
中，，…………………………………………4分
.
直线与平面所成的角等于.……………………6分
（2）正四棱柱的底面边长是，体积是，
.………………………………………………………………………8分
；
，……………………11分
多面体的体积为.……………………………………12分
（文）（1）连结,，
就是异面直线与所成角.…………………………………2分
在，………………………………4分
，.[
所以异面直线与所成角为.…………………………6分
20．解：（1）设.由，得①………………………2分
又向量与向量的夹角为，得②……………………………4分
由①、②解得或，或.………………5分
（2）向量与共线知；……………………………………………6分
由知.………………………7分
，……………………………8分
…………………………9分
.………11分
，…………12分
得，即，…………………………13分
.…………………………………………………………14分
21．解：（1），………………………………………2分
画图正确.…………………………………………………………………………4分
当时，由，得，此时无实根；
当时，由，得，得.
所以函数的零点为.………………………………………………………6分
（2）由＜0得，.
当时，取任意实数，不等式恒成立.…………………………………8分
当时，.令，则在上单调递增，
∴；……………………………………………………10分
当时，，令，
则在上单调递减，所以在上单调递减.
∴.…………………………………………………12分
综合.……………………………………………………………………14分
（文）（2）当时，取任意实数，不等式恒成立；………………………8分
当时，，令，则在上单调递增，
∴；……………………………………………………10分
当时，，令，
则在上单调递减，单调递增；
∴.……………………………………………12分
综合.……………………………………………………………………14分
22．解（1）是等差数列，，即.………2分
所以，的最小值为（2）设的公差为，则
设三角形的三边长为，面积，
由得，
当时，，
经检验当时，，当时，.………9分
综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4.（3）证：因为成等比数列，
由于为直角三角形的三边长，知，………11分
又，得，
于是
.…………12分
，则有故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
因为
，……………………………………………………15分
由同理可得都有是正整数.（2）设的公差为，则，设三角形的三边长为，面积，为偶数时，
;
当为奇数时，;……9分
综上，.（3）证：因为成等比数列，
由于为直角三角形的三边长，知，………12分
又,得.……13分
于是
.……………14分
,则有故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
23．解：（1）由的周长为得，
椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，
即，，椭圆的方程；…………………4分
（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.………5分
当时，，，
即；…………………………7分
当时，，，
即；…………………………9分
所以为定值；…………………………………………………………10分
（3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）：
当时，，此时，；……………………11分
当时，在椭圆弧上，
由题设知代入得，
，
整理得，
解得或（舍去）.…12分
当时在抛物线弧上，
由方程或定义均可得到，于是，
综上，（）或（）；
相应地，，…………………………………………14分
当时在抛物线弧上，在椭圆弧上，
；……………………15分
当时在椭圆弧上，在抛物线弧上，
；……………………16分
当时、在椭圆弧上，
；…………………………17分
综上的取值范围是.…………………………………………………18分
（文）（3）因为“盾圆”关于轴对称，设于是，
所以面积，………………………………………………………11分
按点位置分2种情况：
①当在抛物线弧（）上时，
设所在的直线方程（），
联立，得，同理，
面积，所以；………………14分
②当在椭圆弧上时，
于是联立，得；
即，由，
当且仅当等号成立，所以，…………………………………17分
综上等腰面积的最大值为.…………………………………………18分
更多资料关注上海高考网www.ujiao.net
x
y
o
|
|
