2013年上海市四区联考高考理科数学二模卷

2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷（理科）2013.04.

（满分150分，答题时间120分钟）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．，集合，则.

2．满足（是虚数单位），则.

3．的倾斜角大小是，则.

4．有唯一一组解，则实数的取值范围

是.

5．

6．，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.

7．的最小正周期.

8．展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数.

9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是

10．

11．门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是(结果用最简分数表示)．

．

13．已知平面向量，()满足||＝，且与－的夹角为120°，则||的是

14．给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．，，则的值等于………………………（）

（A）．B）．（C）．D）．

16．的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的………………………………………………………………………………（）

（A）充分不必要条件．B）必要不充分条件．C）充要条件．D）既不充分又不必要条件．

17．经过点，则…………………………（）

（A）．B）．C）．D）．

，若对于任意，存在，使

得成立，则称集合是“集合”.给出下列4个集合：

①②

③④

其中所有“集合”的序号是……………………………………………………（）

（A）②③．B）③④．C）①②④．D）①③④．



19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

在棱长为的正方体中，分别为的中点．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小．



20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．

（1）若是半径的中点，求线段的大小；

（2）设，求△面积的最大值及此时的值．

21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数．

（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．

（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；

（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；

（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列的前项和为，且满足()，，设，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若≥，，求实数的最小值；

（3）当时，给出一个新数列，设这个新数列的前项和为，若可以写成()的形式，则称为“和”．问中是否存在“”，若存在，求出所有“”；若不存在，说明理由．



















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(理科共4页)









否



是



n=n+1



S=S+2?n



结束



S=0



输出S



n


n=1



输入p



开始



（第9题图）