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太極之逆擴張陽變、逆擴張陰變之
共軛點及界限
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：筆者曾經談擴張變，此變包括擴張陽變及擴張陰變，即在一卦之上方
加上一陽爻或一陰爻﹝以01表示法則在右方加1或0﹞，假如把一
卦最上一爻減去﹝以01表示法則加減去右方之位﹞，則採用“逆擴
張變”之步驟，顯然逆擴張變可以區分成“逆擴張陽變”和“逆擴
張陰變”兩種。若果從太極開始減爻，則成負2進制小數，若從太
極開始不斷減陽爻，又若所減之陽爻數目無限，則此類負2進制小
數趨向一極限，本文詳述此界限。另外本文提及一擴張點與其逆擴
張點形成互為共軛點，一擴張點與其逆擴張點所在之卦線形成一對
互為共軛卦線，一對互為共軛卦線上之點則形成共軛積。
關鍵詞：逆擴張陽變、逆擴張陰變、共軛點、共軛卦線、共軛積。
第1節擴張點、擴張卦和其逆變之公式
本文乃筆者相關文章之延續，與《易》關係薄弱。
擴張點是原點與某一卦複數相連之線向右上方延長後與各後卦線相交之
點。所有卦複數皆有擴張點，擴張點本身皆為卦複數，皆為整數點，數目無限制。
一卦複數之擴張點在後卦線上是“一一對應”﹝OneToOne
Correspondence﹞，即是說一卦複數在其後卦線上必有一點與之對應。
若擴張陰變之符號為↑(–)，又設一卦之卦複數為a+(2n–a)i，其中a為卦
序，n為爻數，則擴張陰變可以列成下式：
[a+(2n–a)i]↑(–)=2[a+(2n–a)i]
=2a+(2n+1–2a)i。
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如果擴張陽變之符號為↑(+)，一卦之標準式依舊為a+(2n–a)i，則
[a+(2n–a)i]↑(+)=2a–1+[2n+1–(2a–1)]i。
即求擴張陽變之卦複數時先求其擴張陰變再減1–i，即
[a+(2n–a)i]↑(+)=[a+(2n–a)i]↑(–)–(1–i)
=2a+(2n+1–2a)i–(1–i)
=2a–1+[2n+1–(2a–1)]i。
以卦複數符號表示：設一卦複數為ψ，則
ψ↑(–)=2ψ。及
ψ↑(+)=2ψ–(1–i)；亦可寫成
=2ψ–1+i。
擴張變包括擴張陽變及擴張陰變，即在一卦之上方加上一陽爻或一陰爻﹝以
01表示法則在右方加1或0﹞。
若01表示法含小數點，則擴張陽變須實行以下步驟：小數點向右移一位，
再加1。擴張陰變只須將小數點向右移一位。
假如把一卦最上一爻減去﹝以01表示法則減去右方之位﹞，則採用“逆擴
張變”之步驟，顯然逆擴張變亦可以區分成“逆擴張陽變”和“逆擴張陰變”兩
種。
上文說擴張陰變乃是將一卦複數乘以2，則逆擴張陰變就是把一卦複數除
以2，如果逆擴張陰變之符號是↓(–)，算式可寫成﹝用慣用符號﹞：
Ψ↓(–)=21Ψ。設一卦複數為a+(2n–a)i，則該卦之上減去一陰爻後可寫
成：
(2+0i)–1[a+(2n–a)i]=[a+(2n–a)i]↓(–)
=21[a+(2n–a)i]
=21a+(2n–1–21a)i。
即逆擴張陰變為：
[a+(2n–a)i]↓(–)=21a+(2n–1–21a)i。
如果逆擴張陽變之符號為↓(+)，則一卦之上減去一陽爻可寫成：
(1+i)–1[a+(2n–a)i]=[a+(2n–a)i]↓(+)
=21{(a+1)+[2n–(a+1)]i}
=21(a+1)+[2n–1–21(a+1)]i。
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即逆擴張陽變為：
[a+(2n–a)i]↓(+)=21(a+1)+[2n–1–21(a+1)]i。
如果細心地觀察所謂逆擴張陽變，其實是原卦複數之卦序a以21(a+1)
代替，虛部之2冪減1。
以卦複數符號表示：設一卦複數為ψ，則
ψ↓(–)=21ψ。即作逆擴張陰變時原卦複數除以2。
ψ↓(+)=21(ψ+1–i)。即作逆擴張陽變時原卦複數之實數加1除以2，虛數
減1除以2。
若以01表示法表示，則逆擴張陽變須實行以下步驟：小數點向左移一位﹝如
無小數位，則在最右方之位左方增一小數點﹞再減0.1。逆擴張陰變只須將小數
點向左移一位即可﹝如無小數位，則在最右方之位左方增一小數點﹞。
第2節擴張點、擴張卦和其逆變之公式及共軛點、
共軛積
本節主要談及一卦之擴張點及其共軛點，其共軛點乃由其逆變而得，試看以
下各例：
【例2.1】試求?↓(+)。
解：
原題為太極減一陽爻，?為太極為1，根本無爻可減，但依照公式可
得：
?↓(+)=(1)↓(+)=(1+0i)↓(+)=1–21i=ω，是為逆擴張陽儀﹝簡稱為
逆擴陽﹞，即下圖之A點。
驗算：
ω↑(+)=2(1–21i)–1+i=1=?。故原題之算法正確。
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注意本題之卦複數ω寫法為1–21i﹝用分數﹞，標準式寫法為
1+(2–1–1)i，表明此點在S2–1卦線上。
實部與虛部之和為1–21=21=2–1，即在S2–1之卦線上，易卦
卦線最近原點為20，今可推廣為2–1、2–2、2–3、…2–n，但在此
情況下在此等卦線上之點不能視之為“卦”，為方便起見，仍稱之為
“卦點”。
然虛部之–21有何意義？先看一2進制之小數–0.1，若化此數為
10進制數可得–1×2–1=–21﹝即卦複數之虛部﹞，由此可知太極
Θ減去擴張陽爻﹝作逆擴陽變﹞之卦複數之虛部為2進制小數
–0.1之10進制數。若果視–0.1為“卦”，則此“卦”在2–1之
卦線上，卦序為1。注意實部與虛部之和為2–1。標準式為
1+(2–1–1)i。以下為太極減一擴張陽爻圖：
太極減一擴張陽爻圖
2i
Y
虛
i
陽儀
軸
?i
S21
卦線
–1–?無極0
S2–1
卦線Θ太極陰儀
–?i
?1↓
A↓
2
–i
X
1–?i
實軸
【例2.2】試求?↓(–)。
解：
?為太極為1，根本無爻可減，但依照公式可得：
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?↓(–)=21×1=21=λ，是為逆擴張陰儀﹝簡稱為逆擴陰﹞，即下
圖之B點。
驗算：
λ?(–)=2λ=1=?。故原題之算法正確。
一2進制之小數0.0，化此數為10進制數可得0×2–1=0，由此
可知太極Θ減去擴張陰爻之卦複數之虛部為2進制小數0.0之
10進制數。若果視0.0為一小數卦，則此卦亦在S2–1之卦線上，
卦序為21，即實部為21，因虛部為0，故實部與虛部之和仍為2–1。
注意標準式為21+(2–1–21)i。為表明此點在S2–1卦線上，括號內
之2–1不寫成21。
以下為太極減一陰爻圖：
太極減一擴張陰爻圖
2i
Y
虛
i
軸
?i
–1–?無極0B←←Θ太極
–?i
?1S2–1
卦線
2
–i
X實軸
從上兩題可知S2–1卦線上有兩點，A與B，其情況如S21卦線亦有兩點：
陽儀A’與陰儀點B’。A與A’，B與B’是一對互為共軛點。見以下之〈兩儀
共軛點圖〉。
或稱B與B’為互為共軛點。其相關之卦複數稱為互為共軛卦複數，S21及
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S2–1稱為互為共軛卦線。為方便起見，今稱含分數者為共軛卦複數。
互為共軛卦線上之卦複數各自求其和，此兩和之積則為一常數，若卦複數集
合在S2n卦線上，則此積稱為S2n卦線卦複數和共軛積，簡稱為S2n共軛積，以
下為舉例。
兩儀共軛點與共軛卦線圖
2i
Y
虛
i
A’陽儀
軸
?i
S21
卦線
–1–?無極0B←←Θ太極B’陰儀
–?i
?1S2–1
卦線
2
–i
XA實軸
兩儀擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦序位置兩儀擴張變卦複數/共軛(S21)逆擴張變共軛/卦複數(S2–1)
1A’陽??(+)1+i?↓(+)A22–21i
2B’陰??(–)2+0i?↓(–)B21–20i
卦複數和為3+i，共軛/卦複數和為23–21i，兩數之積為
21(3+i)(3–i)=5，即S2
1共軛積為5。注意i2=–1。
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四象擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦序四象擴張變卦複數/共軛(S22)逆擴張變共軛/卦複數(S2–2)
1老陽??(+)21+3i?↓(+)244–43i
2少陰??(+)?(–)2+2i?↓(–)↓(+)43–42i
3少陽??(–)?(+)3+i?↓(+)↓(–)42–41i
4老陰??(–)24+0i?↓(–)241–40i
卦複數和為10+6i，共軛卦複數和為410–46i，兩數之積為
41(10+6i)(10–6i)=41(100+36)=34，即S2
2共軛積為34。
八卦擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦序八卦擴張變
卦複數/
共軛
(S23)
逆擴張變共軛/卦複數(S2–3)
1乾??(+)31+7i?↓(+)388–87i
2兌??(+)2?(–)2+6i?↓(–)↓(+)287–86i
3離??(+)?(–)?(+)3+5i?↓(+)↓(–)↓(+)86–85i
4震??(+)?(–)24+4i?↓(–)2↓(+)85–84i
5巽??(–)?(+)25+3i?↓(+)2↓(–)84–83i
6坎??(–)?(+)?(–)6+2i?↓(–)↓(+)↓(–)83–82i
7艮??(–)2?(+)7+i?↓(+)↓(–)282–81i
8坤??(–)38+0i?↓(–)381–80i
卦複數和為36+28i，共軛卦複數和為81(36–28i)，兩數之積為
81(36+28i)(36–28i)=81(1296+784)=260，即S2
2共軛積為260。
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以下為兩儀至八卦之互為共軛卦線圖，AB﹝S21﹞與A’B’(S2–1)為兩儀互
為共軛卦線、CD﹝S22﹞與C’D’(S2–2)為四象互為共軛卦線、EF﹝S23﹞與E’F’
(S2–3)為八卦互為共軛卦線。
又A與A’、B與B’、C與C’、D與D’、E與E’、F與F’皆為共軛卦線點，
此等點之連線必穿過(1,0)點，即X軸之1，亦即太極Θ。注意各點之共軛位置，
CD﹝S22﹞與C’D’(S2–2)、EF﹝S23﹞與E’F’(S2–3)尚有其他共軛點，皆以幼線
相連，亦穿過(1,0)太極點。
兩儀至八卦之互為共軛卦線圖
從另一角度而言，太極生整數卦，亦生分數卦。四爻或以上之卦之情況亦相
若。
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四爻十六卦之之擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦序擴張變卦複數/共軛(S24)逆擴張變共軛/卦複數(S2–4)
1??(+)41+15i?↓(+)41616–1615i
2??(+)3?(–)2+14i?↓(–)↓(+)31615–1614i
3??(+)2?(–)?(+)3+13i?↓(+)↓(–)↓(+)21614–1613i
4??(+)2?(–)24+12i?↓(–)2↓(+)21613–1612i
5??(+)?(–)?(+)25+11i?↓(+)2↓(–)↓(+)1612–1611i
6??(+)?(–)?(+)?(–)6+10i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)1611–1610i
7??(+)?(–)2?(+)7+9i?↓(+)↓(–)2↓(+)1610–169i
8??(+)?(–)38+8i?↓(–)3↓(+)169–168i
9??
(–)?(+)39+7i?↓(+)
3↓(–)
168–167i
10??
(–)?(+)2?(–)10+6i?↓(–)↓(+)
2↓(–)
167–166i
11??
(–)?(+)?(–)?(+)11+5i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)166–165i
12??
(–)?(+)?(–)212+4i?↓(–)
2↓(+)↓(–)
165–164i
13??
(–)2?(+)213+3i?↓(+)
2↓(–)2
164–163i
14??
(–)2?(+)?(–)14+2i?↓(–)↓(+)↓(–)
2
163–162i
15??
(–)3?(+)15+i?↓(+)↓(–)
3
162–161i
16??
(–)416+0i?↓(–)
4
161–160i
卦複數和為136+120i，共軛/卦複數和為161(136–120i)，兩數之積為
161(136+120i)(136–120i)=161(18496+14400)=2056，即S2
4共軛積為
2056。
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五爻三十二卦之之擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦序擴張變卦複數/共軛(S25)逆擴張變共軛/卦複數(S2–5)
1??(+)51+31i?↓(+)53232–3231i
2??(+)4?(–)2+30i?↓(–)↓(+)43231–3230i
3??(+)3?(–)?(+)3+29i?↓(+)↓(–)↓(+)33230–3229i
4??(+)3?(–)24+28i?↓(–)2↓(+)33229–3228i
5??(+)2?(–)?(+)25+27i?↓(+)2↓(–)↓(+)23228–3227i
6??(+)2?(–)?(+)?(–)6+26i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)23227–3226i
7??(+)2?(–)2?(+)7+25i?↓(+)↓(–)2↓(+)23226–3225i
8??(+)2?(–)38+24i?↓(–)3↓(+)23225–3224i
9??
(+)?(–)?(+)39+23i?↓(+)
3↓(–)↓(+)
3224–3223i
10??
(+)?(–)?(+)2?(–)10+22i?↓(–)↓(+)
2↓(–)↓(+)
3223–3222i
11??
(+)?(–)?(+)?(–)?(+)11+21i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)3222–3221i
12??
(+)?(–)?(+)?(–)212+20i?↓(–)
2↓(+)↓(–)↓(+)
3221–3220i
13??
(+)?(–)2?(+)213+19i?↓(+)
2↓(–)2↓(+)
3220–3219i
14??
(+)?(–)2?(+)?(–)14+18i?↓(–)↓(+)↓(–)
2↓(+)
3219–3218i
15??
(+)?(–)3?(+)15+17i?↓(+)↓(–)
3↓(+)
3218–3217i
16??
(+)?(–)416+16i?↓(–)
4↓(+)
3217–3216i
17??(–)?(+)417+15i?↓(+)4↓(–)3216–3215i
18??(–)?(+)3?(–)18+14i?↓(–)↓(+)3↓(–)3215–3214i
19??(–)?(+)2?(–)?(+)19+13i?↓(+)↓(–)↓(+)2↓(–)3214–3213i
20??(–)?(+)2?(–)220+12i?↓(–)2↓(+)2↓(–)3213–3212i
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21??(–)?(+)?(–)?(+)221+11i?↓(+)2↓(–)↓(+)↓(–)3212–3211i
22??(–)?(+)?(–)?(+)?(–)22+10i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)3211–3210i
23??(–)?(+)?(–)2?(+)23+9i?↓(+)↓(–)2↓(+)↓(–)3210–329i
24??(–)?(+)?(–)324+8i?↓(–)3↓(+)↓(–)329–328i
25??
(–)2?(+)325+7i?↓(+)
3↓(–)2
328–327i
26??
(–)2?(+)2?(–)26+6i?↓(–)↓(+)
2↓(–)2
327–326i
27??
(–)2?(+)?(–)?(+)27+5i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)
2
326–325i
28??
(–)2?(+)?(–)228+4i?↓(–)
2↓(+)↓(–)2
325–324i
29??
(–)3?(+)229+3i?↓(+)
2↓(–)3
324–323i
30??
(–)3?(+)?(–)30+2i?↓(–)↓(+)↓(–)
3
323–322i
31??
(–)4?(+)31+i?↓(+)↓(–)
4
322–321i
32??
(–)532+0i?↓(–)
5
321–320i
卦複數和為528+496i，共軛卦複數和為321(528–496i)，兩數之積為
321(528+496i)(528–496i)=321(278784+246016)=16400，即S2
5共軛積
為16400。
六爻六十四卦之擴張變及逆擴張變卦複數及共軛卦複數表
卦
序擴張變
卦複數/
共軛
(S26)
逆擴張變共軛/卦複數(S2–6)
1??(+)61+63i?↓(+)56464–6463i
2??(+)5?(–)2+62i?↓(–)↓(+)46463–6462i
3??(+)4?(–)?(+)3+61i?↓(+)↓(–)↓(+)36462–6461i
4??(+)4?(–)24+60i?↓(–)2↓(+)36461–6460i
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5??(+)3?(–)?(+)25+59i?↓(+)2↓(–)↓(+)26460–6459i
6??(+)3?(–)?(+)?(–)6+58i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)26459–6458i
7??(+)3?(–)2?(+)7+57i?↓(+)↓(–)2↓(+)26458–6457i
8??(+)3?(–)38+56i?↓(–)3↓(+)26457–6456i
9??(+)2?(–)?(+)39+55i?↓(+)3↓(–)↓(+)6456–6455i
10??(+)2?(–)?(+)2?(–)10+54i?↓(–)↓(+)2↓(–)↓(+)6455–6454i
11??(+)2?(–)?(+)?(–)?(+)11+53i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)6454–6453i
12??(+)2?(–)?(+)?(–)212+52i?↓(–)2↓(+)↓(–)↓(+)6453–6452i
13??(+)2?(–)2?(+)213+51i?↓(+)2↓(–)2↓(+)6452–6451i
14??(+)2?(–)2?(+)?(–)14+50i?↓(–)↓(+)↓(–)2↓(+)6451–6450i
15??(+)2?(–)3?(+)15+49i?↓(+)↓(–)3↓(+)6450–6449i
16??(+)2?(–)416+48i?↓(–)4↓(+)6449–6448i
17??(+)?(–)?(+)417+47i?↓(+)4↓(–)6448–6447i
18??(+)?(–)?(+)3?(–)18+46i?↓(–)↓(+)3↓(–)6447–6446i
19??(+)?(–)?(+)2?(–)?(+)19+45i?↓(+)↓(–)↓(+)2↓(–)6446–6445i
20??(+)?(–)?(+)2?(–)220+44i?↓(–)2↓(+)2↓(–)6445–6444i
21??(+)?(–)?(+)?(–)?(+)221+43i?↓(+)2↓(–)↓(+)↓(–)6444–6443i
22??(+)?(–)?(+)?(–)?(+)?(–)22+42i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)6443–6442i
23??(+)?(–)?(+)?(–)2?(+)23+41i?↓(+)↓(–)2↓(+)↓(–)6442–6441i
24??(+)?(–)?(+)?(–)324+40i?↓(–)3↓(+)↓(–)6441–6440i
25??(+)?(–)2?(+)325+39i?↓(+)3↓(–)26440–6439i
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26??(+)?(–)2?(+)2?(–)26+38i?↓(–)↓(+)2↓(–)26439–6438i
27??(+)?(–)2?(+)?(–)?(+)27+37i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)26438–6437i
28??(+)?(–)2?(+)?(–)228+36i?↓(–)2↓(+)↓(–)26437–6436i
29??(+)?(–)3?(+)229+35i?↓(+)2↓(–)36436–6435i
30??(+)?(–)3?(+)?(–)30+34i?↓(–)↓(+)↓(–)36435–6434i
31??(+)?(–)4?(+)31+33i?↓(+)↓(–)46434–6433i
32??(+)?(–)532+32i?↓(–)56433–6432i
33??(–)?(+)533+31i?↓(+)5↓(–)6432–6431i
34??(–)?(+)4?(–)34+30i?↓(–)↓(+)4↓(–)6431–6430i
35??(–)?(+)3?(–)?(+)35+29i?↓(+)↓(–)↓(+)3↓(–)6430–6429i
36??(–)?(+)3?(–)236+28i?↓(–)2↓(+)3↓(–)6429–6428i
37??(–)?(+)2?(–)?(+)237+27i?↓(+)2↓(–)↓(+)2↓(–)6428–6427i
38??(–)?(+)2?(–)?(+)?(–)38+26i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)2↓(–)6427–6426i
39??(–)?(+)2?(–)2?(+)39+25i?↓(+)↓(–)2↓(+)2↓(–)6426–6425i
40??(–)?(+)2?(–)340+24i?↓(–)3↓(+)2↓(–)6425–6424i
41??(–)?(+)?(–)?(+)341+23i?↓(+)3↓(–)↓(+)↓(–)6424–6423i
42??(–)?(+)?(–)?(+)2?(–)42+22i?↓(–)↓(+)2↓(–)↓(+)↓(–)6423–6422i
43??(–)?(+)?(–)?(+)?(–)?(+)43+21i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)6422–6421i
44??(–)?(+)?(–)?(+)?(–)244+20i?↓(–)2↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)6421–6420i
45??(–)?(+)?(–)2?(+)245+19i?↓(+)2↓(–)2↓(+)↓(–)6420–6419i
46??(–)?(+)?(–)2?(+)?(–)46+18i?↓(–)↓(+)↓(–)2↓(+)↓(–)6419–6418i
47??(–)?(+)?(–)3?(+)47+17i?↓(+)↓(–)3↓(+)↓(–)6418–6417i
-14-
48??(–)?(+)?(–)448+16i?↓(–)4↓(+)↓(–)6417–6416i
49??(–)2?(+)449+15i?↓(+)4↓(–)26416–6415i
50??(–)2?(+)3?(–)50+14i?↓(–)↓(+)3↓(–)26415–6414i
51??(–)2?(+)2?(–)?(+)51+13i?↓(+)↓(–)↓(+)2↓(–)26414–6413i
52??(–)2?(+)2?(–)252+12i?↓(–)2↓(+)2↓(–)26413–6412i
53??(–)2?(+)?(–)?(+)253+11i?↓(+)2↓(–)↓(+)↓(–)26412–6411i
54??(–)2?(+)?(–)?(+)?(–)54+10i?↓(–)↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)26411–6410i
55??(–)2?(+)?(–)2?(+)55+9i?↓(+)↓(–)2↓(+)↓(–)26410–649i
56??(–)2?(+)?(–)356+8i?↓(–)3↓(+)↓(–)2649–648i
57??(–)3?(+)357+7i?↓(+)3↓(–)3648–647i
58??(–)3?(+)2?(–)58+6i?↓(–)↓(+)2↓(–)3647–646i
59??(–)3?(+)?(–)?(+)59+5i?↓(+)↓(–)↓(+)↓(–)3646–645i
60??(–)3?(+)?(–)260+4i?↓(–)2↓(+)↓(–)3645–644i
61??(–)4?(+)261+3i?↓(+)2↓(–)4644–643i
62??(–)4?(+)?(–)62+2i?↓(–)↓(+)↓(–)4643–642i
63??(–)5?(+)63+i?↓(+)↓(–)5642–641i
64??(–)664+0i?↓(–)6641–640i
卦複數和為2080+2016i，共軛卦複數和為641(2080–2016i)，兩數之積為
641(2080+2016i)(2080–2016i)=641(4326400+4064256)=131104，即S2
6
共軛積為131104。
可知n爻卦之擴張變及逆擴張變卦複數如下表所示：
-15-
卦序擴張變卦複數/共軛(S2n)逆擴張變共軛/卦複數(S2–n)
1??(+)n1+(2n–1)i?↓(+)nnn22–nn212?i
2??(+)n–1?(–)2+(2n–2)i?↓(–)↓(+)n–1nn212?–nn222?i
3??(+)n–2?(–)?(+)3+(2n–3)i?↓(+)↓(–)↓(+)n–2nn222?–nn232?i
4??(+)n–2?(–)24+(2n–4)i?↓(–)2↓(+)n–2nn232?–nn242?i
5??(+)n–3?(–)?(+)25+(2n–5)i?↓(+)2↓(–)↓(+)n–3nn242?–nn252?i
……………
……………
2n–4??(–)n–3?(+)?(–)22n–4+4i?↓(–)2↓(+)↓(–)n–3n25–n24i
2n–3??(–)n–2?(+)22n–3+3i?↓(+)2↓(–)n–2n24–n23i
2n–2??(–)n–2?(+)?(–)2n–2+2i?↓(–)↓(+)↓(–)n–2n23–n22i
2n–1??(–)n–1?(+)2n–1+i?↓(+)↓(–)n–1n22–n21i
2n??(–)n2n–0+0i?↓(–)nn21–n20i
上表卦複數和為：
21(2
n+1)2n+
21×2
n(2n–1)i=2n–1(2n+1)+2n–1(2n–1)i。
共軛卦複數和為：
n21
[21(2n+1)2n–21×2n(2n–1)i]=
n21
[2n–1(2n+1)–2n–1(2n–1)i]。
兩和之積為：
n21
[22n–2(2n+1)2–22n–2(2n–1)2i2]=2n–2[(2n+1)2+(2n–1)2]
=2n–2(22n+1+2)
=2n–1(22n+1)。
-16-
即S2n卦線之共軛積為2n–1(22n+1)。
若n=1、2、3、4、5及6，即可得S2n﹝n=1至6之共軛積﹞。
最後之式可作公式用。若n為一極大之數﹝趨向無限大﹞，則2n–1(22n+1)
亦趨向無限大。
例如若n=12，即12爻卦，S212共軛積為：
212–1(22×12+1)=211×(224+1)
=2048×16777217
=34359740416。
以下為一對共軛卦點之特色：
1.若一卦點在S2n卦線上，則其共軛卦點在S2–n卦線上，反之亦然。
2.任一卦點必有其相應之共軛卦點，故一卦點與其共軛卦點“一一對應”
﹝OneToOneCorrespondence﹞，故S2n卦線上之卦點數目與S2–n卦線
上之卦點數目相等。
3.一卦點與其共軛卦點之虛部正負相反。
4.任一卦點與其相應之共軛卦點之實部與分數之分子和必為常數，整數虛
部與分數之分子相等。
5.卦點與其相應之共軛卦點連線必過(1,0)點，見〈兩儀至八卦之互為
共軛卦線圖〉之線束。
6.S2n卦線上之卦點卦複數與S2–n卦線上之卦點卦複數和之積為一常數，
是為共軛積。
第3節太極之逆擴張陽變和逆擴張陰變之界限
最大之負2進制數之小數為0，0之10進制數亦為0。
最小之負2進制數之小數為–0.111111…，此數之10進制數為–1。
証明如下：
0.111111…之10進制數=21+
221
+
321
+
421
…=1。
故–0.111111(ii)=–1。
-17-
換言之，所有無整數之負2進制數之小數化為10進制數後，其值必介於0
與–1之間。
若果以易卦減爻法及卦複數去討論此問題，則更具邏輯性。一卦複數包括兩
部分：卦序及易卦化成2進制數之10進制數，卦序為實部，易卦化成2進制數
之10進制數為虛部，以虛數i表示。
【例3.1】試求太極Θ減兩擴張陰爻之卦複數。
解：
?↓(–)2=?↓(–)↓(–)=21×21=41﹝見下圖D點﹞。
上式實部為41，虛部仍為0。
標準式為41+(2–2–41)i。而D點在S2–2卦線上。
太極減二陰爻圖
Y
i
虛
3/4i
軸
?i
S21
卦線
1/4i
0D1/4??1?2
-1/4i
1X實軸
–?i
S2–2
卦線
S2–1
卦線
-3/4i
H
–i
-18-
【例3.2】試求太極Θ減去k擴張陰爻之卦複數。
解：
即求?↓(–)k，顯然?↓(–)k=
k21
，即
k21
+(2–k–
k21
)i。
此卦點在S2–k卦線上，其卦序為
k21
，10進制數為0。
若k=M，M為一非常大之數，則2–k→0，即向座標(0,0)接
近，即原點O﹝見下圖﹞，在易學中是為無極。
太極減多陽爻圖
Y
i
虛
3/4i
軸
?i
S21
卦線
1/4i
0O1/4??1?
-1/4i
12
–?i
S2–1
卦線
X實軸
-3/4i
–i
K
【例3.3】試求?↓(+)2。
解：
-19-
原題指太極減二陽爻。
?↓(+)2=(1–21i)↓(+)=1–21(21+1)i=1–(21+41)i=1–43i。
因1+(–43)=41=2–2，即此點在S2–2卦線上。
從以上說明可知，–43乃2進制數–0.11之10進制數。
見〈太極減二陰爻圖〉之H點。在S2–2卦線上有4點，其情況如
S22卦線上有4點。
【例3.4】試求?↓(+)3。
解：
從上題可知
?↓(+)3=[1–(21+41)i]↓(+)
=1–21(21+41+1)i
=1–(21+41+81)i
=1–87i。
因1+(–87)=81=2–3，即此點在S2–3卦線上。在S2–3卦線上
有8點，其情況如S23卦線上有8點。
從以上說明可知，–87乃2進制數–0.111之10進制數。
顯然?↓(+)n=1–(21+41+81+…+
n21
)i
=1–i?
?
n
r
r
12
1
=1–
n
n
212?
i。
此點在2–n卦線上。
-20-
【例3.5】設?↓(+)n=1–i?
?
n
r
r
12
1試求?↓(+)n+1。
解：
從上題可知
?↓(+)n+1=?↓(+)n↓(+)
=[1–i?
?
n
r
r
12
1]↓(+)
=21(1+1)–21i(?
?
n
r
r
12
1+1)
=1–i(?
?
?
n
r
r
1
12
1+21)
=1–i??
?
1
12
1n
r
r
=1–
1
1
212?
??
n
ni。
以上為數學歸納法。
或以以下之法証明：
因為?↓(+)n=1–
n
n
212?
i，於是
?↓(+)n+1=?↓(+)n↓(+)
=[1–
n
n
212?
i]↓(+)
=21(1+1)–21(
n
n
212?
+1)i
=1–21(
n
nn
2212??
)i
=1–
1
1
212?
??
n
ni。
-21-
此點在2–(n+1)卦線上。若n非常大，顯然
1
1
212?
??
n
n=1。
即1–
1
1
212?
??
n
ni=1–i，即〈太極減多陽爻圖〉之K點。
以下為太極減爻之範圍圖：
太極減爻範圍圖
上圖之AB為S2–1卦線，OK為S2–n之漸趨卦線，而n為一非常大之數。
注意所有卦線皆在BOKA梯形之範圍內。
而OK之長等於S21卦線之長，見18頁〈太極減多陽爻圖〉，其長為S2–1
卦線之2倍。
下圖為BOKA梯形之擴大圖，是為〈S2–1至S2–n卦線圖〉。此圖包括
S2–1、S2–2、S2–3、S2–4、S2–5及S2–6卦線，同上圖，OK為S2–n之漸趨卦
線，而n為一非常大之數。
故n越大，則所形成之卦線則越接近OK，卦線上之點密集，但以OK為極
限。
-22-
S2–1至S2–n卦線圖
上圖各點座標可參閱第2節各表，亦可與〈兩儀至八卦之互為共軛卦線圖〉
作比較。
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