1
论非惯性系坐标变换张建勋(武汉市钢都中学,武汉430080)摘要:本文在假设“非线性变换下坐标仍然有直接度规意义”的前提下,根据爱因斯坦相对性原理和等效原理,配以作者独特的尺数不变公式,意外得到包容洛伦兹变换的非惯性系坐标变换式.接着对它进行全方位的检验.代入四维时空间隔公式检验它的协变性,用它定量分析爱因斯坦转盘实验检验欧氏几何学在非惯性系中是否依然成立,结果都是肯定的.用它的速度合成公式证明了“引力只是一种几何效应”.用它推导的多普勒效应能克服广义相对论解释类星体红移的困难.用它推导质能方程与爱因斯坦在惯性系推得的一模一样且更有说服力.用它构造四
维物理量全面检验非惯性系中的物理规律也大获成功.诸多事实均表明该变换式经得起严格检验,那么作为推导前提的假设也就必然为真.即弯曲时空与以平直时空为前提的笛卡儿坐标解析式可以相容共处!据此断定时空具有双重属性:其几何属性是弯曲的而解析属性是平直的.而解析时空平直的背后隐藏着的竟是自然界的一条基本法则——解析时空度规守恒.关键词:弯曲几何平直解析;解析时空度规守恒;柔性坐标刚性度规;无需黎曼几何的广义相对论;非惯性系坐标变换；时空具有双重属性提起狭义相对论,虽然它的时空观并非一目了然,但一套洛伦兹变换能幻化出“动钟变慢”“动尺变短”“动质变大”“相对同时”“质能方程”“速度合成不超光速”等等半理性半感
性的花样,就足以勾起人们的好奇心,焕发出必明白之而后快的追求和热情.眼下这些脍炙人口的相对论效应连高中生都能如数家珍.可惜它只能局限在惯性系的范畴内!遇上加速运动或引力场,这些神奇的道具连同洛伦兹变换这根“魔棒”一起通通失去灵力光彩不再.人类要长大必须面对非惯性系.爱因斯坦为什么不一如既往弄出一个类似洛伦兹变换的非惯性系坐标变换呢,那该有多好啊!岂止你我这般愿望,爱因斯坦本人又何尝不是如此希冀呢?看看爱因斯坦在回答“提出广义相对性原理后为什么还需要7年时间来建立广义相对论”时说的一句话就可以明白:“其主要原因在于:要从坐标必须有直接的度规意义这一观念中解放出来很不容易”
[1].很不容易四个字透露出观念转变过程的艰难,起初一直坚持“坐标必须有直接的度规意义”的理念苦
论非惯性系坐标变换
2
苦寻找那个魂牵梦绕心向往之的变换式,却始终未能如愿,不得已才另觅他途.撇下爱因斯坦接下来做了些什么暂且不表,我们试着强行坚持“坐标必须有直接的度规意义”,刻意无视“一旦容许坐标的非线性变换,那么坐标也就失去了直接的度规意义”[2]的告诫,只是换个角度去做爱因斯坦观念转变之前所做的事情,看看会发生什么.§1.非惯性系坐标变换式的推导在一个无引力场的空间,引入一个伽利略参考系K(,,,)xyzt和相对K沿X轴正向做匀加速直线运动的坐标系K＇(,,,)xyzt????,设两系的X轴永久重合,Y轴和Z轴永久平行.当二系原
点重合时开始计时:0???tt,此刻K＇相对于K的速度为0v,加速度为a.同时一束光线由原点向X轴正向射出,经时间t(或t＇)光线前端到达P(或P＇)点.二系中观察者在X轴上看到光线的最前端总是相同的.如图1.
如果0a?,有伽利略变换:t???xxv?y=y??zztt??(1)当0a?,仿照伽利略变换,有tt)(0avxx????(2)(2)中只是用0()t?va代替了(1)中的v,用变化的速度代替了不变的速度.同理可得0()tt??????xxva(3)我们知道,在伽利略变换式t???xxv或t????xxv中,隐含着一种默认:同一根量杆（标准尺）不论在静系中还是在动系中使用,其长度是一样的.这种默认在伽利略的时代是不会被意识到的,不然就伽利略的过人智慧是不难把它做得万无一失尽量避免留下这么明显的瑕
论非惯性系坐标变换
3
疵的.其实,静尺动尺是否相等并不会给我们添加多大的麻烦:相对静尺而言不管动尺变长、变短抑或不变,与动尺一起运动的“动系”中被动尺测量的距离也会跟动尺一样以同样的倍率变长、变短抑或不变.于是,同一段被测距离在“静系”中用“静尺”测得的尺数与在“动系”中用“动尺”所测得的尺数总是相等的,即被测距离在静系中长度被测距离在动系中长度=静尺的尺长动尺的尺长(4）(4)可以简称为“尺数不变”公式,它反映了观察时空的一种基本哲学视角,是我们能否找到非惯性系坐标变换式的关键环节,也是我们不同于爱因斯坦以及其他人的地方.
现在把(4)用于(2)和(3),设静动尺长分别为静l和动l且令ll??动静(5)可得0[()]tt?????xxva(6)0[()]tt???????xxva(7)根据爱因斯坦相对性原理,光在静系和动系中应遵循相同的传播规律,即使在引力场中或者说在非均匀时空中亦是如此（这样做的理由将在本文最后一节阐述）.图1给出的是一条光线沿一根坐标轴传播的情形,K系观察者看到光线在时间t内传播的距离为OPt?c,而OP?x,所以有t?xc
(8)同理,K＇系观察者看到光线在t＇时间内传播距离为OPt????c,而OP????x,所以有t???xc(9)将(8)(9)两式代入(6)(7)两式且(6)?(7),整理可得001(1)(1)vvatatcccc???????(10)因为000()()()tt??????????????auuuuuua(11)
论非惯性系坐标变换
4
可以把(10)写成2222220011(1)(1)atvatvcccc????????(12)根据爱因斯坦等效原理:不在引力场中的参考系以加速度a加速运动,可以等效为该参考系不做加速运动而有匀强引力场弥散于整个参考系中.也就是说K看到K＇系以速度0v在一个静止的匀强引力场中做匀速运动.反之K＇看到K以速度(0?v)在一个等大反向的静止的匀强引力场中做匀速运动.前者引力场的强度为???ga,后者引力场的强度为?ga,根据场强g与引力势?的关系xg?????,再利用(8)(9)两式可得ataxcgxcc??????????ataxcgxcc???????
(13)于是(12)变成222222220011(1)(1)vvcccc??????????需要说明的是:上式中不论取前式还是后式,也就是说不论是用??还是用?来表达?,??或?前取+号还是-号,不仅依赖于零势点的选取,还要视具体情况而定(容后述及).不妨取前式并去掉?上的撇号得2
22201(1)vcc?????(14)从(14)看?是?的函数,这表明:加速运动的尺长不仅变了而且是非均匀变化的.从(12)到(14),这一步变化意义非凡,引力势的引入使(14)不仅适用于匀强场或匀加速运动,也适用于非匀强场或非匀变速运动.把(13)(14)两式代入(6)和(9)可得K到K＇的坐标变换关系:0220
22()(1)tvcc????????xvcx??yy??zz0222022()(1)vctxctvcc????????(15)把(13)(14)两式代入(7)和(8)可得K＇到K的坐标变换关系:
论非惯性系坐标变换
5
022022()(1)tvcc?????????xvcx??yy??zz0222022()(1)vctxctvcc?????????(16)天啊!这不正是我们一直念叨的非惯性系坐标变换式吗?是(4)式连同相对性原理和等效原理孕育了它们.爱因斯坦多年求之而不得恐怕缺的就是这个尺数不变公式.(15)和(16)表明:在无引力场的空间,由于参考系加速运动而引起时空属性发生变化,时空不再是均匀的.反之,参考系不做加速运动而在有引力场的空间,时空的不均匀性一样由它们进
行描述.通俗地说:时空弯曲源于它们,怎样弯曲由它们制约.从数学角度看在引力场中并不严格要求0vc?,超光速也是被允许的.让我们暂时忘却推导他时的“强行坚持”和“刻意无视”等“叛逆的假定”吧,把他看作正常诞生的孩子,检验检验他是否够格作为正常的孩子.为了方便叙述就叫他“阿瑞”吧.将(16)代入闵氏时空间隔222222sxyzct????(17)经运算容易得到22222222222xyzctxyzcts?????????????(18)(18)表明我们所做的第一次检验,一次至关重要的检验顺利通过:四维时空间隔在非惯性系中
仍然是不变量.接下来检验他是否向下兼容洛伦兹变换和伽利略变换:当0??或者2c???而00v?,(15)(16)便回到我们十分熟悉的洛伦兹变换式:00221tvc????xvx??yy??zz022201vtxctvc?????(19)若0??或者2c???且0cv??,则(15)和(16)便回到伽利略变换式.包容性检验能通过是显而易见的.§2.新变换关系下的钟率和尺长
如果阿瑞够格作为正常孩子,他有没有洛伦兹变换那般神奇呢?先看看钟率和尺长在他手
论非惯性系坐标变换
6
里如何变幻吧.把(15)第四式写成增量形式,当0??x时即得固有时t?与坐标时t??的关系22022(1)vttcc???????(20)这就是非惯性系钟率公式.式中t??为“无势静钟”所计时间,t?为“有势动钟”(两种效应叠加)所计时间,当然包含“有势静钟”(单一场效应)和“无势动钟”(单一运动效应)的情况.在广义相对论中也可以推得一个钟率公式
[3]202221vttcc???????（21）不难看出,(21)是(20)忽略42c?项的近似.我们把(14)代入(5)或者把(15)第一式写成增量形式令0t??均可得到非惯性系尺长公式22022(1)vxxcc???????（22）其中x??为“无势静尺”的尺长,x?是“有势动尺”的尺长,当然也包含“有势静尺”和“无
势动尺”的情形.很明显,我们不能得出像惯性系中“动钟变慢”“动尺变短”那么简单的结论,在这里两种效应是叠加在一起的.(20)和(22)给出了有势动钟和有势动尺相对于无势静钟和无势静尺变快变慢变长变短的规律.如果只有运动效应而无场效应,就回到了狭义相对论的“动钟变慢”“动尺变短”.如果只有场效应而无运动效应,则钟和尺变快变慢变长变短都有可能,取决于引力势的变化:在引力势越大的地方钟越快尺越长,在引力势越小的地方钟越慢尺越短.或者说,逆着引力场方向走(也就是顺着加速度a的方向走)钟越来越快尺越来越长,顺着引力场方向走(也就是逆着加速
度a的方向走)钟越来越慢尺越来越短.当两种效应同时存在时,钟变快变慢尺变长变短也是不确定的,要看?与0v的关系.
论非惯性系坐标变换
7
只要ccv021???（23）上述各公式都不会失去数学意义,当然也不会失去物理意义.并不像洛伦兹变换中要求的必须0vc?那么严苛.说实话0vc?只不过是一个数学要求,据此断定宇宙中所有物体的速度都小于光速,确实有些牵强.只能说物体速度超过光速就超出了你那个理论的研究界限,你那个理论就失效了,而不能反过来说.由(23)可知0??的解为:0()vcc???0??的解为:0()vcc???可见,不论0??还是0??都可能有0vc?,前述的所有公式都依然成立.注意:这与“真
空中光速不变”并不矛盾!另由(15)第四式可以证明:就算0vc?,也能保证两个事件的因果律在坐标变换过程中不被破坏.我们知道爱因斯坦放弃笛卡儿坐标系(或坐标必须有直接的度规意义)的理论依据源于他的转盘实验[4],现在我们用(22)对其进行定量分析看看会得出什么结论.实验中,用随K＇系一起转动的尺子测圆周是沿圆的切线方向,只有线速度vr??而无加速度即0??,存在洛伦兹收缩,由(22)式可得其尺长为2221LLrc????)21(222crL???,用该尺测得圆周长22212)CCrc????（;当用该尺测圆的半径,爱因斯坦说沿径向无洛伦兹收缩
所以尺长不变①.阿瑞却认为沿径向虽无运动效应但有场效应,其引力场强2gr??是r的线性函数,将其对r求平均就把该场变成了沿每根半径场强的大小不变其值均为22r?方向向外的引力场,与圆心处相比半径为r处的引力势222r????,从圆心向外引力势减小尺长变短,由(22)式可得沿径向的尺长22212)LLrc????（,测得该圆的半径222(12)RRrc????.所以,用K＇中静尺测得的圆周率为22CRCR?????.结论与爱因斯坦的正好相反!阿瑞这孩子真是神奇得有点出格.
①爱因斯坦著易洪波李智谋编译《相对论》第190页说到测半径量杆也会缩短,但没作定量分析却囫囵地说圆周率大于?,等于说尺长不变.另:爱因斯坦在《狭义与广义相对论浅说》附录三?3光谱线的红移中分析转盘实验得到一个与本文(37)相同的钟率公式,可惜没得出类似的尺长公式.
论非惯性系坐标变换
8
于是引出来两个问题:一是阿瑞是由“叛逆的假定”诞下的孩子,其结论可以不予采信.可万一不幸而被他言中,是不是那个“叛逆的假定”就成真了呢?二是如果阿瑞的结论是真的,那么,K＇这个非惯性系中的时空明明是弯曲的,而弯曲时空中的欧几里得几何学依然成立,又该作何理解呢?唯有继续检验阿瑞的正常性才能回答这两个相互关联的问题.§3.新变换关系下的速度合成为了使我们的检验更有说服力,我们退回到爱因斯坦的年代,用他在惯性系中推导速度变换关系的方法在非惯性系中再做一遍.设空间任一质点做任意的运动,某时刻它的速度,对K系
和K＇系来说是不一样的.K看它的速度的三个分量为xyzuuu，，,K＇看它的速度的三个分量为xu?,yu?,zu?.由(15)(16)可得002()()1xxxuvcxuuvctc????????????2222020(1)1()yyxucvcuuvcc?????????2222020(1)1()zzxucvcuuvcc?????????(24)002()()1xxxuvcuuvcc????????2222020(1)1()yyxucvcuuvcc????????2222020(1)1()zzxucvcuuvcc????????(25)设质点在某时刻相对于K＇的速度大小为u?,运动方向为与X＇、Y＇、Z＇轴的夹角分别
是1??、2??、3??,则1cosxuu?????、2cosyuu?????、3coszuu?????,由(24)和222xyzuuuu???可得22222220001232420122[()2()cos](coscos)()()1cosvuvcvcuucccuvcuc????????????????????????????(26)如果上述质点速度方向也沿X轴正向,即10???,232???????,则(26)变为020()1()uvcuuvcc?????????(27)
其逆变换为020()1()uvcuuvcc????????(28)
论非惯性系坐标变换
9
(26)就是K看到的质点运动速度.(27)(28)是质点沿X轴运动的情形.当0??或者是匀强场（或匀加速运动）,(27)(28)变成形式上与惯性系中速度合成公式相同:21uvuuvc?????21uvuuvc????(29)只是该二式中的v（0t??va）是K＇相对K在某时刻的瞬时速度,是个变量.这是与惯性系公式的本质区别.为了检验这些公式,来看一个自由落体的例子:设K系静止于地球的引力场中,取X轴沿引力场强g的方向指向地心,又设K＇系X＇轴与X轴同向且以加速度g向X轴正向运动.现有一
质点P在K中自由下落,释放P一段时间开始计时,则K＇看到P以速度u?沿X＇轴匀速运动,显然P在K＇中运动方程为t????ux.按广义相对性原理,P在K中的运动方程应该是tux?.把(15)和(28)代入t????ux经简单运算确实得到tux?.说明从K看P并没有受到任何力的作用(重力只是使它所在区域的时空发生了“弯曲”),所以P为自由质点沿“弯曲”的时空做自由运动.阿瑞又一次经受住了严峻考验,离够格正常又近了一步.该例还附带着用定量的方法直接验证了爱因斯坦关于“引力只是一种几何效应”
[5]的论断,比用“重球压床单小球沿床单凹曲面自动滚向重球”的比喻所作定性解释来得更清晰更有说服力.§4.新变换关系下的多普勒效应在天文学上,一般认为光谱线红移的机制主要有两种:一是引力红移,一是多普勒红移.不论用哪种机制都不能圆满解释类星体的巨大红移量
[6].解释出现困难肯定是用来解释现象的理论不完善.作为检验的又一个项目,把这烫手的山芋交给阿瑞吧,看看他怎么应对.根据(20)设u表示波源速度,?为固有时,t为坐标时,于是有2222(1)uddtcc?????(30)式中?增大取+号减小取-号.因此可得钟的观测频率与固有频率之间的关系为
论非惯性系坐标变换
10
2222(1)uffcc????观固(31)在不考虑相对论效应的情况下,观察者接收到的频率与波源发射频率的关系为VvffVu???收发(32)式中V为波速,v为观察者的速度（靠近波源取+远离取-）,u为波源的速度（靠近观察者取-远离取+）.再把相对论效应考虑进去,则有22
22(1)VvuffVucc??????固收(33)这就是非惯性系中普适的相对论多普勒效应.对于光波,(33)中的V就是光速c.无论观察者向着光源运动还是背离光源运动光波传播的速度都是c,上式中的Vvc??.所以当类星体以速度u远离我们而去,我们接收到的它以固有频率发出的光波的频率为2222(1)cuffcucc?????固收(34)由相对红移量1cfcffZcff?????????
固固收收固固固收(35)和(34)可得22221(1)fcuZfccuc???????固收(36)当3.5~6.3Z?时,欲使uc??,只需类星体“表面”的引力势220.78~0.86cc??即可.看一下太阳表面的引力势112262~210(/)~210GMRmsc????????,某些类星体“表面”引力势比太阳表面引力势高610倍并非不可能.从(34)可知,当0u?（光源静止）时,有
2(1)ffc???收固(37)如果0f?收,意味着不论f固是多少我们所接收到的频率都是零,这时我们就说光源处于类星体外的“无限红移面”上,在这个面上类星体的引力势2c??.由拉普拉斯给出的暗星条
论非惯性系坐标变换
11
件:22mcGMmR?可得暗星表面的引力势202GMRc???.这就告诉我们,不论类星体内部有没有黑洞,在它的外围引力势222cc???区域内的物质发射的光我们都可以接收到,接收到的频率由(37)可以算出.如果再考虑它的退行速度则可由(34)算出接收到的频率.反之,如果能测出红移量Z和发光处的引力势?,则由(36)可算出类星体的退行速度.顺便说说,由史瓦西解爱因斯坦场方程所得的史瓦西度规可得引力场中时间变慢的公式212GMdtdcr???(38)和引力红移公式
[7]212GMffcr??收固(39)史瓦西解的条件是静止球对称外部真空,结合这些条件,再把GMr???代入阿瑞手中的(30)得2(1)GMdtdcr???(40)代入阿瑞手中的(37)得2(1)GMffcr??收固(41)(38)在数学上不允许22GMrc?,(39)虽然不排斥此值但使0f?收,也就是22c??的等势面是史瓦西度规下的“无限红移面”,这个面其实就是“黑洞”的外表面.而(41)反映的接收频率为零的面是2c??等势面,即使是黑洞,这个面也在它的外表面之外.两者在物理学上的差异在于:(39)说明只有22c??的区域发出的光接收频率才不等于零,但该区域已在该星
体的“外表面”之内,在那里即使发光,这光也逃不出来.而在22c??的区域发出的光被我们接收到的频率是负值.如此看来史瓦西黑洞是真的“黑”.(41)说明只要是在星体附近2c??的范围内发出的光我们接收到的频率都大于零.也就是说即使是黑洞,从它的外表面（22c??）到2c??等势面之间的物质包括那些即将掉进黑洞的物质所发出的光我们都可以接收到.有天文学家认为类星体内核部分存在巨大的黑洞,以上面的分析可知这一点也不影响我们看到它们发出的光.类星体的亮度极高,正是那些以极高的速度撞向黑洞之前本就在剧烈燃烧的物质所发出来的光,就像我们给正在燃烧的木炭吹气一般.类星体发光不稳定也正是黑洞周围的物质不停地掉进黑洞所造成的.
类星体的引力红移是不能不考虑的,退行速度仅用狭义相对论多普勒效应算出来的值肯定
论非惯性系坐标变换
12
偏大得太多.依据过于偏大的退行速度用哈勃定律算出来的类星体到我们之间的距离肯定过于偏远,由此算出的类星体的超高亮度实际上也就没有那么大,许多原来不好解释的现象也就不那么难以解释了.阿瑞又一次证明了自己不仅是正常孩子,而且很健康,能耐超强.有了多普勒效应,阿瑞又可以接受另一项检验了.§5.新变换关系下的质能方程爱因斯坦质能方程带给人类的震撼无需赘言.虽然我们可以用构造四维力学量的方法得到她,但为了继续对阿瑞的检验,我们还是回到爱因斯坦的年代,用他当年在惯性系中推导质能方程的方法对非惯性系重做一遍.
设在K系中有一个静止的物体,该物体相对于K系的能量是1E,相对于K＇系的能量是1?E.再设该物体沿X轴正反两向同时发射能量皆为2?E的平行光脉冲,发射前后物体相对K始终静止.发光后物体的能量:相对于K为2E,相对于K＇为2?E.由于发射光脉冲时间极短,可认为在同一空间位置完成,所以两个参考系都认为发射光脉冲前后总能量不变.由(33)和光子能量公式hf?光E可得12()22?????EEEE(42)2222122222(1)(1)22cucucucccucc?????????????????????????EEEE
22222222(1)cucucc????????EE(43)(43)-(42),得22211222222()()(1)1cucucc????????????????????EEEEE(44)物体发出光脉冲前后,K看到它的能量减少了?E,物体在发光前后都无动能和势能;而K＇看到它除了发射光脉冲减少的能量之外,物体的动能和引力势能在发光前后都有减少.所以对K＇而言,（??EE）这个差与该物体的动能所不同的只是二者相差一个常数1C,与该物体的引力势能所不同的只是相差一个常数
2C,而常数1C和2C取决于对能量?E和E的任意附加常量的选择.
论非惯性系坐标变换
13
据此设111112kpCC??????EEEE(45)222212kpCC??????EEEE(46)用(45)-(46)结合(44),得22212122222)()(1)1kkppcucucc??????????????????（EEEEE(47)对(47)进行运算且略去第四阶及其以上的小量,可得21212221)()2kkppucc?????????（EEEEEE(48)光脉冲的发射对于K和K＇都是在同一位置同一时刻完成的,所以引力势能的改变应该与引力
势无关,而动能的改变应该与速度无关,两者的改变均指向物体的质量.发光前后物体只对外辐射了光能量?E,却使物体的质量发生了改变.由(48)知其改变量为2mc???E(49)也就是2mc???E,亦即2mc?E(50)(48)左边比爱因斯坦的表达式多了一项引力势能之差右边恰好就多了一项???)(2cE,你相信这是偶然的巧合吗?(50)彻底消除了人们对质能关系在非惯性系中可能会不一样的疑虑.就凭这难道不能给正在受检的阿瑞加点分吗?当然非惯性系中的质量不再只是与运动相关也与引
力势有关.装在阿瑞口袋里的质量公式是这个样子的:02222(1)mmcvc????(51)对(51)展开并略去四阶以上小量,得22202(1)cvcmm????也就是22200012mcmcmvm????(52)在弱场低速近似情况下,广义相对论也能得到总能与静能、动能、势能的关系式(52)
[8],但广义相对论中的质量公式[9]只是(51)的近似.可见,广义相对论能做的,阿瑞也能做,甚至做得更好.
论非惯性系坐标变换
14
到目前为止,把洛伦兹变换在惯性系中所能做的几乎翻了个遍,没有哪一样是阿瑞在非惯性系中做不了的,狭义相对性原理非常自然地发展为广义相对性原理,并且根本不涉及黎曼几何等复杂的数学工具.如果觉得对阿瑞的检验还不是十分彻底,那就只剩下让阿瑞去构造非惯性系中的四维物理量把力学电磁学等规律纳入到自己的体系中.§6.新变换关系下的力学方程(15)(16)式表明四维坐标（,,,xyzt）与（,,,xyzt????）在新变换关系下是协变的,借用复四维时空的概念,令1xx?,2xy?,zx?
3,4xict?,则四维坐标x?是一个四维矢量.其与x??之间的变换关系当然满足xx???????（,???1,2,3,4）(53)此处采用爱因斯坦求和惯例,即重复指标表示求和.例如(18)式可写成xxxx???????(54)将???写成矩阵形式为000100001000ii???????????????????????(55)
其中22221(1)cvc?????vcc????(56)注意:为了简洁和符号表示的方便,我们用v代替了?中的0v.把(15)、(16)第一式写成微分式,则四维位移dx?与dx??在新变换关系下也是协变的.再由(30),固有时是四维不变量,于是可以定义四维速度为dxUd????(57)是一个四维矢量.具体是222222222,(1)(1)icUccvccvc????????????????v(58)
进一步定义四维加速度为dUad????(59)
论非惯性系坐标变换
15
也是一个四维矢量.由(22)式可得固有体积元0Vd与坐标体积元Vd的关系为02222(1)dVdVcvc????(60)其中Vd不是四维标量0Vd才是四维标量,可得四维力的表达式02222(1)ffdVdVcvc???????????????(61)力密度f?是一个四维矢量.对单个质点,设FfdV??????,(61)式变成2222(1)Fcvc???????
于是牛顿运动方程在形式上仍然成立,只是要用相应的四维量来书写00dUmamd???????(62)把(62)式写成空间和时间“三维加一维”的形式就是02222(1)dmdtcvc????????????vF(63)202222(1)dmcwdtcvc????????????(64)式中
0m表征物体静止在无引力场中的质量,简称为“无势静质”.相应地处在引力场中运动的物体的质量简称为“有势动质”,由(63)(64)知其表达式就是(51)式.于是(63)就是三维力ddt?FP,其中三维动量m?Pv(65)(64)就是功率wddt?E,其中能量2mc?E(66)我们定义四维动量为四维标量0m和四维速度U?的积:0PmU???(67)由(58)得20022222222,(1)(1)mimciPcccvccvc???????????????????????，vPE(68)显然P
?是一个四维矢量,它的前三个分量是三维动量,第四个分量是能量.由(54)式可得PPPP???????(69)
论非惯性系坐标变换
16
设质点在无引力场的K＇系中静止,有20PPmc??????可得三维动量与能量的关系:222240Pcmc??Ε(70)§7.新变换关系下的电磁规律至此阿瑞从多个侧面证明了自己与力学理论是相容的,那么与在惯性系中专门为电动力学量身打造的洛伦兹变换相比,阿瑞能否让电动力学在非惯性系中的表现同样赢得满堂彩呢?先看麦克斯韦方程组
[10]4?????E1ct??????BE0???B41cct???????EBj(71)对电荷密度?和三维电流密度j）（v??构造四维电流密度矢量(,)jic???j(72)由(53)(55)式,可得j?在新变换关系下具体变换式
2222()(1)xxjvcjcvc?????????yyjj??zzjj??22222()(1)xvcjccvc??????????(73)同理用电势?（标势）和三维磁矢势A构造四维电磁矢势(,)Ai???A(74)由(53)(55)式,可得A?在新变换关系下具体变换式22222()(1)xxvcAcAcvc?????????yyAA??zzAA??2222()(1)xvcAcvc??????????(75)由电场强度E和磁感强度B所满足的方程1ct???????AE???BA
(76)可得41114()AAEixx??????42224()AAEixx??????34334()AAEixx??????(77)
论非惯性系坐标变换
17
32123AABxx??????31231AABxx??????21312AABxx??????(78)显然当A?为四维矢量时Ax????和Ax????必为四维张量,因此可以把(76)二式合写为AAFxx????????????(79)叫做电磁场张量.写成矩阵形式为3213122131230000BBiEBBiEFBBiEiEiEiE?????????????????????(80)
于是(71)第一和第四式可合写为4Fjxc?????????(81)(71)第二和第三式可合写为0FFFxxx??????????????????(82)(81)式方程两边都是四维矢量,(82)式中每一项都是三阶四维张量,说明麦克斯韦方程组在新变换关系下协变.有了(72)式,电荷守恒定律0t???????j可以写成0jx?????,即在新变换关系下电荷守恒定律也是协变的.
有了(72)和(74)式,用场势?和A描述的电磁场规律222214ctc???????AAj222214ct??????????二式可以合写成4Ajc??????式中222t??????（）为达朗贝尔算符的四维形式,可见在新变换关系下用场势描述的电磁场规律也是协变的,并且比(81)(82)用场强所表达的形式来得更简单.再看洛伦兹力公式.其力密度和功率密度公式分别为
论非惯性系坐标变换
18
1c????fEjBw??jE(83)由(72)和(80)式可以把(83)式合写成一个四维矢量1fFjc?????(84)四维力密度矢量的四个值可写为,ifwc????????f(85)可见洛伦兹力在新变换关系下也是协变的.当然由(53)(55)式我们也可以得到
22222()(1)xxvcfwcfcvc????????yyff??zzff??2222()(1)xwvcfwcvc????????这是洛伦兹力在新变换关系下具体的变换式.既然麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式在新变换关系下都是协变的,那么能量动量守恒定律在新变换关系下必然也是协变的.能量动量守恒要求时空是均匀的或者说平直的,而现在是在弯曲时空中,二者矛盾着又共存着.阿瑞前前后后的表现有目共睹,如果说他还不够格是个地地道道正常的孩子,那么恐怕就没有正常的孩子了.阿瑞被证明是正常的,导致阿瑞诞生的前提——坚持坐标必须有直接的度
规意义的观念,无视非线性变换会使坐标失去直接的度规意义的告诫——就被证明是对的.接下来的拷问更尖锐:阿瑞葫芦里的那些公式与洛伦兹变换一样都是在欧氏几何学成立的平直时空中得来的,也只能在平直时空中使用,而(15)(16)表明在0??的地方时空确实是弯曲的,但前述这么多的事实又无可争辩地告诉我们二者貌似对立排斥实则相容共存,作何解释?§8.弯曲时空无碍平直解析的奥秘时间和空间的概念是物理学的根基,物理学每一次重大变革都发轫于时空观念的进化.在牛顿时代,时间和空间是两个彼此独立的概念.直到闵可夫斯基根据洛伦兹变换中x?和t?都是x
、t的二元函数因而宣告两者合为时空一个概念,但仍然深深地打上了“物理客观性”[11]（即
论非惯性系坐标变换
19
离开物体时空仍然独立存在）的烙印.在参考系加速或有引力场的情况下爱因斯坦发现时空是弯曲的,唯有引入“软体动物”参考系和高斯坐标系才能实现广义协变（即满足广义相对性原理）的要求[12].然而,爱因斯坦提出的消除时空的物理客观性和广义协变两项任务,阿瑞在并未用到高斯坐标系和黎曼几何的情况下也都完成了:(15)(16)中的?就是物质的体现,离开物质时空就不存在;而检验广义协变性正是我们一直在做并做得很好的事情.历来用笛卡儿坐标系表达时空必须配上度规,坐标才有意义,也就是爱因斯坦说的坐标有直接的度规意义.一提到非惯性系马上想到弯曲时空,一想到弯曲时空立即联想到每根坐标轴
的度规不再是定值,坐标便失去了直接的度规意义.但阿瑞的所做所为事实证明:弯曲时空并没有使坐标失去直接的度规意义.即不论时空弯曲不弯曲、怎样弯曲,各坐标轴的度规都与时空平直时的一样,即度规始终不变.如此之多既矛盾又共存的事例一而再再而三地启示我们:时空除了我们看到的弯曲的一面,还存在我们看不到的平直的一面,即时空具有双重属性.一是几何属性,这是时空外在的表观的属性,它给出的是弯曲的时空;一是解析属性,这是时空内在的本质的属性,它给出的是平直时空.从自然界的一些基本规律比如能量动量守恒来看,要求解析时空永远都是平直的.解析时空永远平直的背后应该还隐藏着更深层的原因,那就是我们将要证明
和诠释的自然界一条基本法则——解析时空度规守恒原理.我们只是歪打正着用到了它（例如尺数不变的(4)式、光速不变的(8)(9)式）才侥幸得到了阿瑞.阿瑞又一步步引领我们来到这里,获此至宝.我们岂能暴殄天物,务必诚品恭鉴参悟个中精要.先从数学上来看.坐标轴上的点与实数一一对应,X轴上点的集合],(ba叫做X轴上的一个向量,记作xba],(.度量X轴所用的单位长度和方向就是X轴的度规
[13]记作Dx,显然xDx]1,0(?.对X轴的度量可表为aDxax?],0(,于是DxabaDxbDxbax)(],(????（86）或者)(],(abbaDxx??（87）
论非惯性系坐标变换
20
对任意小的0??,可得a点处度规为??xaaDx],(??（88）现对阿瑞的钟率公式(20),令K＇系时间轴度规ttD????,则在K系中T轴上tDcvctbat??????22022)1(],?（而22022)1()cvcab?????（由(87)得K系时间轴度规为tDDt??.同理对(22)可得两系中空间轴度规也都相等.即二系中时空度规不变.可见,度规是不变量.对同一参考系:设X轴上a、b两处的?值分别为a?和b?,则对(22)可得
22022)1(cvcaa?????0],(Dxaaaax????22022)1(cvcbb?????0],(Dxbbbbx????分别代入(88)可得0DxDxDxba??（89）0Dx是0??时的度规,即坐标系在平直时的度规.同理对(20)可得0DtDtDtba??（90）(89)(90)就是时空度规守恒的数学表达式.表明不论各处的?值是多少,各处的度规都与平直时的度规相等.可见,度规又是守恒量.
从物理学的角度怎么理解度规守恒呢?在平直时空中作一个三维笛卡儿坐标系O-XYZ,从原点开始每隔一个单位长度在每根坐标轴上画点并分别写上标号:1,2,3,…….先在XOY面内过X轴上的每个点作平行于Y轴的直线,过Y轴上的每个点作平行于X轴的直线,然后沿着Z轴的正负向每平移一个点复制XOY面所画的所有直线;再在XOZ面内过X轴上的每个点作平行于Z轴的直线,然后沿着Y轴的正负向每平移一个点复制XOZ面所画的所有直线.我们把所有平行于X、Y、Z轴的直线分别叫做X轴坐标线、Y轴坐标线、Z轴坐标线.很自然地可以把这种做法推广到四维的情形,增加一根分别垂直于其余三轴的时间轴T.想像时空就是用这些互相垂
直的坐标线编织而成的四维网,把所有坐标线的交点打成死结,每个结点代表一个时空点,其坐标值就是相应坐标线的“标号”.每相邻的两结点间的距离即网格长度就是时间轴和空间轴的
论非惯性系坐标变换
21
天然度规,在平直时空中它们都是等长的.一旦进入引力场中网格在各处的长度就由代表钟率的(20)和尺长的(22)决定.当钟率和尺长致使各处的网格不再等长时,必然使得附近的坐标线发生弯曲,也就是时空在这里发生了弯曲.如果度规的单位长度取得足够短,就会构成光滑弯曲的时空连续区.随着网格变长变短的只是网格的几何长度,由于坐标轴上的标号是标死了的,每个网格代表的度规长度就是一个单位长度这是无论如何也改变不了的,即度规是刚性的.当然,这里有一个极其重要的先决条件:笛卡儿坐标系必须是柔性的,如同爱因斯坦形容的“软体动物”参考系.坐标系的柔性是与生俱来的,因为坐标轴或者说坐标线上相邻两个结点
间的网格长度是由(20)和(22)自动控制和精准调节的,而(20)和(22)是由?决定的,从牛顿引力的泊松方程24G?????知?又是由物质的质量密度?的分布决定的.这是一串自动化的逻辑程序,想对它进行人为干预都不可能.只要动用阿瑞的公式就自动触发这套程序的开关.网格长度的伸缩必然带动它两端的结点（即时空点）跟随移动,但不论移动到哪里它都不会忘记自己的身份（它是由哪些固定标号的坐标线构成的结点）,就像“软体动物”不论怎样扭曲变形,它的心脏挪到肝脏的位置仍然是心脏一样.我们建立坐标系的目的不就是为了确定时空点的位置坐标吗?现在我们做到了,何必在意坐标线是直还是弯呢?代表时空弯曲的坐标线确实弯
曲了,但为阿瑞的公式提供解析数据的网格结点的坐标值与时空平直情况下提供的坐标值没有差别,如果我们将这些坐标数据放到一个平直的笛卡儿坐标系去描点,这些点连成的轨迹将与质点直接在平直时空中运动所描绘的坐标图线完全一样.这就是弯曲时空无碍平直解析的奥秘.而这一切都源于上天的恩赐——解析时空度规守恒.
论非惯性系坐标变换
22
参考文献:[1]A.Einstein.Relativity(inChinese).YiHB,LiZMcompilation.Chongqing:ChongqingPublishing.2006.11.Editor＇sintroduction.31-32,Text.190.[爱因斯坦.相对论.易洪波,李智谋编译.重庆:重庆出版社.2006.11][2]LiuL,ZhaoZ.Generalrelativity(inChinese).Beijing:HigherEducationPress.2004.30,74[刘辽,赵峥.广义相对论（第二版）.北京:高等教育出版社.2004.30,74][3]A.Einstein.Generalrelativitybased.ChenSMcompilation.Shijiazhuang:HebeiScienceandTechnologyPress.2001.5.15-23
[4]A.Einstein.Specialandgeneralrelativityelementaryintroduction.YangRYTranslate.Beijing:BeijingUniversityPress.2006.46[5]LiangCB,ZhouB.Introductiontodifferentialgeometryandgeneralrelativity.2nded(inChinese).Beijing:SciencePress.2006.190[梁灿彬,周彬.微分几何入门与广义相对论（上册?第二版）.北京:科学出版社2006.190][6]ZhaoZ.blackholewithcurvedspacetime(inChinese).Taiyuan:ShanxiScienceandTechnologyPress.2000.106-109.[赵峥.黑洞与弯曲的时空.太原:山西科技出版社.2000.106-109][7]ZhaoZ.blackholewithcurvedspacetime(inChinese).Taiyuan:ShanxiScienceandTechnology
Press.2000.85[赵峥.黑洞与弯曲的时空.太原:山西科技出版社.2000.85][8]LiuL,ZhaoZ.Generalrelativity(InChinese).Beijing:HigherEducationPress.2004.76[刘辽,赵峥.广义相对论（第二版）.北京:高等教育出版社.2004.76][9]LiuL,ZhaoZ.Generalrelativity(InChinese).Beijing:HigherEducationPress.2004.74[刘辽,赵峥.广义相对论（第二版）.北京:高等教育出版社.2004.74][10]ChaoCQ.ClassicalElectrodynamics(inChinese).Beijing:SciencePress.2009.15，250-293[曹昌祺.经典电动力学.北京：科学出版社.2009.15，250-293]
论非惯性系坐标变换
23
[11]A.Einstein.Generalrelativitybased.ChenSMcompilation.Shijiazhuang:HebeiScienceandTechnologyPress.2001.21[12]A.Einstein.Specialandgeneralrelativityelementaryintroduction.YangRYTranslate.Beijing:BeijingUniversityPress.2006.46[13]WangXZ.ThemeaningofDuGui(inChinese).[王小舟.度规的意义[J].中国科技论文在线(http://www.paper.edu.cn),2006-9-4:论文编号200609－27]DISCUSSTHECOORDINATETRANSFORMATIONOFNON-INERTIALSYSTEM
ZhangJian-xun(GangDuHighSchool.Wuhan430080,China)Abstract:Basedontheassumptionof＂inthenonlineartransformationthecoordinatesstillhaveadirectmetricmeaning＂,accordingtoEinstein＇sprincipleofrelativityandtheequivalenceprinciple,combinedwiththeauthor＇suniqueFeetNumberInvariantFormula,unexpectedgaintheformulasofnon-inertialcoordinatestransform,andbeabletocontainLorenztransform.Thencarriesontheomni-directionaltestandverifytoit.Intothefour-dimensionalspace-timeintervaltestformulacovariabilityofit,useittoquantitativeanalysisofEinsteinturntableexperimentverify
theEuclideangeometryinnon-inertialsystemwhetherstillwasestablished,theresultsarepositive.Withitsvelocitytransformationformulaprovedthat＂thegravitationalforceisjustageometriceffect＂.TheDopplereffectderivedfromitcanovercomethedifficultyofgeneralrelativityexplainsquasarredshifts.ItisdeducedthattheequationofmassenergyisexactlythesameasthatofEinsteinintheinertialsystem.Useittoconstructfourdimensionalphysicalquantitycomprehensiveinspectioninnon-inertialsystemphysicallawsisalsoagreatsuccess.Manyfactsshowthatthetransformationformulacanwithstandthestricttest,thenasthepremiseofthehypothesisisboundtobetrue.Namelycurvedspacetimeandbeestablishedinflatspace-timecartesiancoordinateanalyticexpressioncanbecompatibleandcoexistence.Thehiddenbehinditisabasiclawofnature:ConservationofSpacetimeMetric.Thecoordinatelineof
naturalflexiblecartesiancoordinatessystemundertheconditionofflatgeneratedgridisnaturalmetric.Matterdensitydecidedtogravitationalpotential,gravitationalpotentialdecidedtotheclockspeedandthelengthofruler,theclock
论非惯性系坐标变换
24
speedandthelengthoftherulerdecidedtogridelongation,gridelongationandshortenleadtospace-timebends,thislogicalprogramautomaticallyopenswhenthetransformationformulaisenabled.Nomatterhowmuchthegridelongationorshorteningitsspacetimemetricalwaysremainsthesame,gridnoderecordedthespacetimedataisthesamewiththeflatcoordinateline.Space-timehasdoubleattributes:itsgeometricattributeiscurvedandanalyticattributeisflat.Thisisthemysteryofthecurvedgeometrywithflatmethodresolution.Keywords:curvedgeometrystraightparsing;conservationofspacetimemetric;flexiblecoordinaterigidmetric;withouttheRiemanngeometry＇stheoryofgeneralrelativity
|
|
