拓扑学介绍微分几何拓扑学与微分几何学有着血缘关系，它们在不同的层次上研究流形的性质。为了研究黎曼流形上的测地线，H.M.摩
尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论（摩尔斯理论），把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范
围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性定理，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流
形、纤维丛、示性类给E·嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。陈省身在40
年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，对拓扑学也十分重要。纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场理论提
供了现成的数学框架，犹如20世纪初黎曼几何学对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑
学出人意料的进展。抽象代数拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K
理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K
理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦
伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础
，代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。托姆以微分拓扑学中微分映射的
奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学，化学，生物学，语言学等方面已有不少应
用。除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)，化学（如分子的拓扑构形）
，生物学(如DNA的环绕，拓扑异构酶)都有直接的应用。微分拓扑是研究微分流形与可微映射的拓扑学。随着代数拓扑和
微几何的进步，在30年代重新兴起。H·惠特尼（H.Whitney）在1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维
欧氏空间。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调（示性类）和同伦问题联系起来了。
1953年R·托姆（ReneThom）的配边理论开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代
数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。1956年米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的
微分结构。随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形，微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨
大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。J.W.米尔诺等人
发展了处理微分流形的基本方法──剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。拓扑学(tuòpūxué)
(topology)是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学
发展成为数学中一个非常重要的领域。早在欧拉或更早的时代,就已有拓扑学的萌芽，著名的“哥尼斯七桥问题”以及“麦比乌斯丁的
《拓扑学初步》。里斯丁是高斯的学生,1834年以后是哥根大学教授，他本想称这个学科为”位置几何学“,但这个名称陶特用来指射影几何。
于是改用”topology”这个名字，“topology"直译的意思是地志学,也就是和研究地形，地貌相类似的有关学科。
1956年,统一的《数学名词》把它确定成拓扑学。拓扑学虽然是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的“平面几何，”和“立体几
何“不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点，线，面之间的机关位置以及它们的试题性质。拓扑学研究的
内容与研究对象的长短，大海面积，体积及试题性质和数量关系无关。举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个
图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等图形,也就是说,通常的平面几何是研究在运动中大小和形状都不变的学科。但是,在
拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每个图形的大小，形状中以改变。
里斯丁以后,黎曼把拓扑学的概念引入复变函数论中,发展成黎曼曲面论。早期的拓扑学明显地分为两支：一是点集拓扑,以康托
的贡献为起点；另一支是组合拓扑,由上世纪末庞加莱所首创。庞加莱平时行支迟缓，笨拙,视力很差,常常给人心不在焉的印象。可是,庞加莱具
有超凡的心算和数学思维能力，庞国莱对20世纪数学影响十分浣。1895年,他出版了《analysissitus(位置分析）
》,第一次系统地论述了拓朴学的内容，后来被发展成20世纪极富有成果的拓朴学分支,庞加莱的研究领域十分广泛.他在巴黎大学开设的讲座包括毛细管学，弹性力学，热力学，光学，电学，宇宙学等,在数学方面还涉及非欧几何,不变量理论，分析力学,包括概率论。拓扑学是一门新兴的学科,它一出现,很快就渗透到了各个领域里去。 |
|
