1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）
解：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且解得
所以所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=?7–5=2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB
即
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO即所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为则由此得
所以直线AQ的解析式为联立
由此得所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点A点在的左侧，B点的坐标为（3，0OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐．图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P抛物线上，APG的面积最大APG的最大面积……………………2分
解得：……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：……………………3分
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四在点F，坐标为（2，－3）．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
……………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的，．……………………10分
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为………1分
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。…………………………5分
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分
解得，，应舍去。∴。……………………7分
∴，即点P坐标为。……………………8分
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……………………9分
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,………………………………………………10分
∴,
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,………………12分
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分
4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；（）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（）在（）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋，得
解得所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8AB＝8，OC＝8
∴S△ABC＝×8×8（）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC
∴＝即＝∴EF＝
过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEG＝sin∠CAB＝
∴＝∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（5）存在．理由：
∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）BCE为等腰三角形．5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)．……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝………………………………3分
当时，
∴………………………………4分
∴…………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．
∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为．……………………………12分
说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．
2014中考数学压轴题及答案40例（2）
5.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点；
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．
（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．
，，
． （1分）
，即为的中点． （2分）
法二：，，． （1分）
又轴，． （2分）
（2）①由（1）可知，，
，，
． （3分）
，
又，四边形为平行四边形． （4分）
②设，轴，则，则．
过作轴，垂足为，在中，
．
平行四边形为菱形． （6分）
（3）设直线为，由，得，代入得：
直线为． （7分）
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）
如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×(-2)-1=3.………………………………（2分）
∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为(4,0).
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).……………………（3分）
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（6分）
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵CE=5，
∴CB=CE=5.……………………（9分）
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE.
即D是BE的中点.………………………………（11分）
（3）存在.………………………………（12分）
由于PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.
∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵动点P的坐标为(x，)，
∴x-1=.………………………………（13分）
解得，.∴，.
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三点，且-=5．
（1）求、的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（解析）解：（1）解法一：
∵抛物线=－++经过点A（0，－4），
∴=－41分
又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，
∴+=，=－=6 2分
由已知得（-）=25
又（-）=（+）－4=－24
∴－24=25
解得=± 3分
当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴=－． 4分
解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，
即方程2－3+12=0的两个根．
∴=， 2分
∴－==5，
解得=± 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵=－－－4=－（+）+ 6分
∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线=-3与
抛物线=－--4的交点， 8分
∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分
已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在中，令
，
， 1分
又点在上
的解析式为 2分
（2）由，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点作于点
7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分
10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分
2014中考数学压轴题及答案40例（5）
16.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知点的坐标为．
设的函数关系式为．
又点在抛物线上，
，解得．
抛物线的函数关系式为（或）．
（2）与始终关于轴对称，
与轴平行．
设点的横坐标为，则其纵坐标为，
，，即．
当时，解得．
当时，解得．
当点运动到或或或时，
，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则
，（或），
．
过点作于点，可得．
，，．
点的坐标为．
但是，当时，．
不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．
17.如图，抛物线与x轴交A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；
（2设（1）中的抛物线交y轴C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值若不存在，请说明理由．
解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋c得
2分
解得 3分
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3． 4分
（2）存在该抛物线的对称轴为＝－1
∵抛物线交x轴A、B两点∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称直线BC与的交点即为Q点，此时△QAC周长最小．．∴点C的坐标为．直线BC解析式为B(－3，0)，C(0，3)代入，得
解得
∴直线BC解析式为3．解得
∴点Q的坐标．存在．设P点．×3×3＝S四边形PBOC－
当S四边形PBOC有最大值，就最大．
＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE
＝(x＋3)(－x2－2x＋3)＋(－x2－2x＋3＋3)(－x)
＝－(x＋)2＋＋
当时，S四边形PBOC最大值＋．
∴S△PBC最大值＝＋－＝． 10分
当x＝－时，－x2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．
∴点P坐标为，)．18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－ 1分
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋
即y＝－x2＋x＋． 3分
（2）＝1，yD＝－×12＋×1＋＝．
∴点D的坐标为(1，)．N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．
∴∠DAO＝60° 4分
∵OM∥AD
①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s） 5分
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s） 6分
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
7分
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t． 8分
∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ
＝×6×－×(6－2t)×t
＝(t－)2＋ 9分
∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 10分
此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．
∴PQ＝＝＝ 11分
19.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，解得 4分
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1； 5分
（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时
∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．
当0＜t≤1时，如图1．
B′F＝AA′＝t
∵Rt△AOF∽Rt△∠GB′F，∴＝．
∴B′G＝·B′F＝×t＝t
正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B′FG的面积S△B′FG
∴S＝S△B′FG＝B′F·B′G＝×t×t＝t2 7分
②当点C运动到x轴上时
∵Rt△BCC′∽Rt△∠AOB，∴＝．
∴CC′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）．
当1＜t≤2时，如图2．
∵A′B′＝AB＝，∴A′F＝t－．
∴A′G＝
∵B′H＝t
∴S＝S梯形A′B′HG＝(A′G＋B′H)·A′B′
＝(＋t)·
＝t－ 9分
③当点D运动到x轴上时
DD′＝
t＝＝3（秒）
当2＜t≤3时，如图3．
∵A′G＝
∴GD′＝－＝
∴D′H＝－
∴S△D′GH＝()(－)＝()2
∴S＝S正方形A′B′C′D′－S△D′GH
＝()2－()2
＝－t2＋t－ 11分
（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．
∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝
∴S阴影＝S矩形BB′C′C 13分
＝BB′·BC
＝×
＝15 14分
20.已知：抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．a，－a)． 4分
（2）∵点N′是△NAC沿轴翻折后点N的对应点
∴点N′与点N关于y轴对称，∴N′(－a，－a)．
将N′(－a，－a)代入y＝x2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a
整理得4a2＋9a＝0，解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－． 6分
∴N′(3，)，∴点N到轴的距离为3．
∵a＝－，抛物线y＝x2－2x＋a与y轴相交于点A，∴A(0，－)．
∴直线AN′的解析式为y＝x－，将y＝0代入，得x＝．
∴D(，0)，∴点D到轴的距离为．
∴S四边形ADCN＝S△ACN＋S△ACN＝××3＋××＝ 8分
（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC．a，－a)，代入抛物线的解析式，得：－a＝(a)2－2×a＋a，整理得8a2＋3a＝0．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．
∴P(－，) 10分
当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，
则AC与PN互相平分．．a，a)，代入y＝x2－2x＋a，得
a＝(－a)2－2×(－a)＋a，整理得8a2＋15a＝0．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．
∴P(，－) 12分
∴存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为
(－，)或(，－)．
2014中考数学压轴题及答案40例（6）
21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线过A、C两点
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长②连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值22.如图，抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为
（1）直接写出三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式
23.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．
24.如图已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、轴上，且AD2，AB3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图所示）．
①当t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
25.如图1，已知抛物线y＝ax2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（）点是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使，，F，为顶点的四边形是平行四边形？存在，出点F的坐标；不存在，请说明理由．26.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
27.已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
21解：（1）点A的坐标为（4，8）将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入解得a＝－，b＝4．
∴抛物线的解析式为x2＋4x． 3分
（2）①Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝，即＝＝．
∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．
∴点E的坐标为（t，8－t）∴点G的纵坐标为(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t2＋8． 5分
∴EG＝－t2＋8－(8－t)＝－t2＋t
∵－＜0，∴当＝4时，线段EG最长为2②共有三个时刻，t2＝，t3＝40－． 11分
22
解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分
抛物线的对称轴是：x＝1． 3分
（2）①设直线BC的式为：．
B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得直线BC的式为．
当x1时，2，∴E（1，2）．
当x时，，∴P（m，）．x＝1代入y＝－x2＋2x＋3，∴D（1，）．x＝m代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－m2＋2m＋3．
∴F（m，－m2＋2m＋3）． 5分
∴线段DE4－2＝2，线段∵PF∥DE，∴当时，四边形为平行四边形．
由2，解得：2，（不合题意，舍去）．
∴当2时，四边形为平行四边形． 7分
②设直线与轴交于点．由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．
则S＝S△BPF＋S△CPF 8分
＝PF·BM＋PF·OM
＝PF·OB
＝(－m2＋3m)×3
＝－m2＋0≤m≤3）
即S与的函数关系式m2＋0≤m≤3）． 9分
23解：（1）点是的中点，，
又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．
∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD； 3分
（2）过点作的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点的坐标为（2，2），故，作
∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．
点P的坐标为（3，3）．
抛物线经过原点设抛物线的解析式为．
又抛物线经过点P（3，3）和点（，）解得
抛物线的解析式为 7分
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．
连接E，它与的平分线的交点即为所求的P点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．
抛物线的顶点的坐标，点的坐标设所在直线的解析式为则解得所在直线的解析式为．
，解得，故点P的坐标为，）．
的周长即是； 11分
（4）存在点，°，其坐标，）或． 14分
（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为2，4）
∴可设其对应的函数关系式为又抛物线经过坐标原点O，解得∴所求函数关系式为即（2）①点P不在直线ME上理由如下：根据抛物线的对称性可知E点的坐标为设直线ME的式为M（2，4），E（4，0）代入，得
解得∴直线ME的式为当时，OA＝AP＝，∴P（，）． 7分
∵点P的坐标不满足直线ME的式∴当时，点P不在直线ME上． 8分
②S存在最大值，理由如下： 9分
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t．
∴P（t，t），N（t，－t2＋4t），∴AN＝－t2＋4t（0≤≤3）
∴PN＝AN－AP＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0 10分
（ⅰ）当PN＝0，即t0或t3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 11分
（ⅱ）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD．
∴S＝(CD＋PN)·AD＝(3－t2＋3t)×2＝－t2＋3t＋3＝－(t－)2＋（0＜t＜3）．
当t＝时，S最大＝． 12分
综上所述，当时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为． 13分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t0和t3时也适合
25
解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，则OH＝2，DH＝3．
∵tan∠BAD＝1，∴AH＝DH＝3，∴AO＝3－2＝1． 1分
∴A(－1，0)． 2分
把A(－1，0)代入y＝ax2－2ax－3，得a＋2a－3＝0．
∴a＝1． 3分
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3． 4分
（2）∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4
∴C(1，－4)． 5分
连结AC，则AD2＝32＋32＝18，CD2＝(2－1)2＋(－3＋4)2＝2，AC2＝(1＋1)2＋42＝20．
∴AD2＋CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°． 7分
∴AD⊥CD． 8分
（3）设直线的解析式直线的解析式设点P的横坐标为xx，－x－1)，E(x，x2－2x－3)．
∵点P在点E的上方EP＝(－x－1)－(x2－2x－3)＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋ 10分
∴当x＝时，线段PE长度的最大值＝． 12分
（4）存在点F的坐标分别，，，0)，，0)．
16分
关于点F坐标的求解过程（原题不作要求，本人添加，仅供参考）
如图3
①若四边形ADQ1F1为平行四边形平行四边形平行四边形，x4＝．
－1－()＝，OF3＝2－()＝．
∴F3(，0)．
④若四边形AQ4F4D为平行四边形)－()＋()＝
∴F4(，0)
26
搞不在了自己问老师
27解：（1）由t2＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4． 1分
∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）． 2分
∵抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B两点
∴解得
∴这个抛物线的解析式为y＝x2＋x＋4．
4分
（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0．
又∵S＝2S△APO＝2××|OA|·|y|＝|OA|·|y|＝6|y|
∴S＝－6y． 6分
＝－6(x2＋x＋4)
＝－4(x2＋7x＋6)
＝－4(x＋)2＋25． 7分
令y＝0，则x2＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）
∴x的取值范围为－6＜x＜－1． 8分
（3）当S＝24时，得－4(x＋)2＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3． 9分
代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4．
∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．
当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．
当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形．
10分
要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝x2＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形． 12分
A
B
C
O
D
E
x
y
x=2
G
F
H
x
y
D
C
A
O
B
x
y
D
C
A
O
B
F
M
P
E
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