板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第2章函数、导数及其应用第7讲函数的图象板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.
[必备知识]
考点1利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、、连线．
首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
考点2利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝.
描点
f(x)＋b
2．伸缩变换
y＝f(x)y＝Af(x)．
3．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝
－f(－x)．
4．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
[必会结论]
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．当x(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()
2．函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同．()
3．函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()
4．若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()
5．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．()
×
√
×
×
×
二、小题快练
1．[2016·海淀区测试]下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是()
解析因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
2．[课本改编]函数y＝x|x|的图象大致是()
解析因为y＝x|x|＝，故选A.
3．[2013·福建高考]函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()
解析依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
4．[2016·济南模拟]函数f(x)＝2x－x2的图象为()
解析函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A，C.又f(－1)＝－，f(－2)＝－，即f(－1)＞f(－2)．所以f(x)在(－∞，0)上不可能是减函数，故排除B.
5．[课本改编]如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
2
解析由图象知f(3)＝1，
＝1.f＝f(1)＝2.
考向函数图象的画法
例1作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋2；
(2)y＝；
(3)y＝|x|；
(4)y＝|log2x－1|.
[思维启迪](1)(3)(4)可通过图象变换画出函数的图象，对于(2)可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图象．
[解](1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图．
(2)因y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图．
(3)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图．
画函数图象的一般方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【变式训练1】作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解(1)函数式可化为
y＝，
其图象如右图实线所示．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．
(3)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．
(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图．
考向识图与辨图
例2(1)[2015·浙江高考]函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()
[解析]因为f(－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．排除A，B；又f(π)＝cosπ＝－π＋＜0，排除C.故选D.
(2)
[2016·泉州五中质检]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()
A．f(x)＝B．f(x)＝
C．f(x)＝－1D．f(x)＝x－
[解析]由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C；若函数图象为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选A.
识辨函数图象的方法
(1)知式选图
从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)知图选式
从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．
从图象的变化趋势，观察函数的单调性．
从图象的对称性，观察函数的奇偶性．
从图象的循环往复，观察函数的周期性.
【变式训练2】(1)[2016·海淀区测试]函数f(x)＝2x＋sinx的部分图象可能是()
解析因为xR，f(－x)＝－2x－sinx＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又f′(x)＝2＋cosx＞0，所以函数单调递增，因此选A.
(2)[2016·杭州模拟]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
A．f(x)＝x2－2ln|x|
B．f(x)＝x2－ln|x|
C．f(x)＝|x|－2ln|x|
D．f(x)＝|x|－ln|x|
解析由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x＞0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2,1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln|x|符合条件，故应选B.
考向函数图象的应用函数图象是函数的一种直观表达方式，它可以形象地反映函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.命题角度1利用图象研究函数的性质
例3[2014·福建高考]已知函数f(x)＝则下列结论正确的是()
点击观看
考点视频
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析]函数f(x)＝
的图象如图所示，由图象知只有D正确．
命题角度2利用函数图象判断交点的个数
例4[2016·青岛模拟]已知函数y＝f(x)的周期为2，当x[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()
A．10个B．9个
C．8个 D．1个
[解析]根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下
可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；x＞10时，|lgx|＞1.
因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个．
命题角度3巧用图象求参数的范围
例5[2015·湖南高考]若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(0,2)
[解析]函数f(x)的零点个数即为函数g(x)＝|2x－2|＝的图象与直线y＝b的交点个数．
如图，分别作出函数y＝g(x)与直线y＝b的图象，由图可知，当0＜b＜2时，直线y＝b与y＝g(x)有两个交点．所以b的取值范围为(0,2)．
函数图象应用中的几个问题
(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．
(2)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
(3)有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解.
【变式训练3】(1)[2016·金版创新]已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)[2014·山东高考]已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()
A.B.C．(1,2)D．(2，＋∞)
解析在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故＜k＜1.
(3)[2016·日照模拟]已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
5
核心规律
1.识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点等).
2.识图的方法
(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
(3)排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证.
满分策略
3个必须防范：函数图象应用中的易误点：
一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量.
二是注意含绝对值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的.
三是混淆条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x＝1对称.
题型技法系列5——巧用函数的变化趋势及特殊值选图
[2015·课标全国卷]如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()
[解题视点]解本题关键是抓住动点P的几个不同位置，确定其不同的函数形式，从而求出解析式，并进而确定函数图象，同时要注意结合函数的某一性质或特殊点进行排除．
[解析]解法一：当点P位于边BC上时，BOP＝x，0≤x≤，则＝tanx，BP＝tanx，AP＝，
f(x)＝tanx＋(0≤x≤)，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，BOP＝x，≤x≤，则BP＋AP＝＋＝＋.当点P位于边AD上时，BOP＝x，≤x≤π，则＝tan(π－x)＝－tanx，AP＝－tanx，
BP＝，f(x)＝－tanx＋，根据函数的解析式可排除D，故选B.
解法二：当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2＜1＋，故可排除C，D，当点P位于点D时x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.
答题启示
?1?解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择.?2?知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图象，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误的选择肢，快速选择.
跟踪训练[2014·课标全国卷]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()
解析解法一：由题图可知：当x＝时，OPOA，此时f(x)＝0，排除A、D；当x时，OM＝cosx，设点M到直线OP的距离为d，则＝sinx，即d＝OMsinx＝sinxcosx，
f(x)＝sinxcosx＝sin2x≤，排除B，故选C.
解法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D.
当x＝时，MD＝0，排除A，D选项，
当x＝或x＝时，MD取得最大值为，排除B，故选C.
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