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1.了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.
[必备知识]考点1定积分
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx.
在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做叫做被积式．
[a，b]
积分变量，f(x)dx
2．定积分的几何意义
f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)＜0 表示由直线，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 3.定积分的性质
(1)kf(x)dx＝(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝.
(3)___________＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
x＝a，x＝b
x＝a，x＝b
kf(x)dx
f1(x)dx±f2(x)dx
f(x)dx
考点2微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成，即f(x)dx＝＝F(b)－F(a)．
考点3定积分在物理中的应用
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b(a
2．变力做功问题
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a
F(b)－F(a)
F(x)
F(x)
[必会结论]定积分与曲边梯形的面积的关系
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S.
(1)S＝f(x)dx；
(2)S＝－f(x)dx；
(3)S＝f(x)dx－f(x)dx；
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝.()
2．在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f(x)|dx.()
3．若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()
4．[课本改编]已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是10tdt＝5t.()
5．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是连续的奇函数，则(x)dx＝0.()
×
√
√
√
√
二、小题快练
1．[课本改编]下列值等于1的是()
A.xdxB.(x＋1)dx
C.1dxD.dx
解析＝1.
2．[2014·陕西高考]定积分(2x＋ex)dx的值为()
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.
3．[课本改编]设S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
解析S1＝＝＝ln2，
＝e2－e，易知S2＜S1＜S3，故选B.
4．[2016·石家庄模拟]dx＝________.
解析dx＝dx＋，
因为dx的几何意义是单位圆x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)与坐标轴围成区域的面积，所以dx＝，
又xdx＝＝，则dx＝π＋＝.
5．[2015·天津高考]曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x的图象，如图，所围成的封闭图形如图中阴影所示，设其面积为S.由得或故所求面积S＝(x－x2)dx＝＝.
考向定积分的计算
例1计算下列定积分：
(1)dx；(2)(cosx＋ex)dx；
(3)2dx；(4)dx.
[解](1)dx＝
＝－ln2.
(2)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx
＝sinx＝1－.
(3)2dx＝dx
＝
＝－(2＋ln2＋4)
＝ln＋.
(4)根据定积分的几何意义，可知
dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，故dx＝.
求定积分时应注意的几点
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错；
(5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分；
(6)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
【变式训练1】计算下列定积分：
(1)(3x2－2x＋1)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)dx；(4)|1－x|dx.
解(1)(3x2－2x＋1)dx＝＝24.
(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝
－sinx＝2.
(3)因为(x2)′＝2x，′＝－，所以dx＝2xdx＋dx＝x2＝.
(4)|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝
＝－0＋－＝1.
考向利用定积分求图形的面积利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；常与解析几何、概率交汇命题，主要以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.
命题角度1求曲线围成平面图形的面积
例2[2014·山东高考]直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()
A．2B．4C．2 D．4
[解析]由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．
S＝(4x－x3)dx＝＝4.
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考点视频
命题角度2已知曲线围成的面积求参数
例3[2016·合肥模拟]由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为，则m的值为()
A．2 B．3
C．1 D．8
[解析]S＝(m－)dx＝＝m3－m3＝，解得m＝2.
命题角度3与概率交汇命题
例4[2014·辽宁高考]正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
[解析]由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝＝＝＝.
定积分解决有关图形面积的问题
(1)对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．
(2)已知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．
(3)与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
【变式训练2】(1)[2016·丰台模拟]由曲线y＝与y＝x，x＝4以及x轴所围成的封闭图形的面积是()
A.B.C．ln4＋ D．ln4＋1
解析
如图，面积S＝xdx＋
dx＝x2＋lnx＝＋ln4.
(2)设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________.
解析由定积分的几何意义，曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积．S＝dx＝＝a，∴a＝a，解得a＝.
(3)[2016·北京模拟]如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________．
解析阴影部分的面积为2sinxdx＝2＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是.
考向利用定积分解决物理问题
例5(1)[2013·湖北高考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()
A．1＋25ln5 B．8＋25lnC．4＋25ln5 D．4＋50ln2
[解析]由于v(t)＝7－3t＋，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，
即汽车从刹车到停止共用4s.
该汽车在此期间所行驶的距离
s＝dt＝
＝4＋25ln5(m)．
(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求变力F(x)对质点M所做的功．
[解]变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝∫F(x)dx＝∫(x2＋1)dx＝＝342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)dt.
2变力做功问题
物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx.
【变式训练3】(1)一物体在变力F(x)＝(单位：N)的作用下，沿力的正方向移动了10m，则在此过程中变力所做的功为____________．
解析由题意得，力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[0,10]上的定积分，即所做的功为∫F(x)dx＝
∫dx＝ln(x＋1)＝ln11(J)．
ln11J
(2)列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
解a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.
设ts后的速度为v,则v＝20－0.4t.
令v＝0，即20－0.4t＝0，得t＝50(s)．
设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，
则s＝∫vdt＝∫(20－0.4t)dt
＝(20t－0.2t2)
＝20×50－0.2×502＝500(m)，
即列车应在进站前50s和进站前500m处制动．
核心规律
1.求定积分的方法
(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强.
(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).
(3)利用定积分的几何意义求定积分.
2.求曲边多边形面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.
(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.
(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.
(4)计算定积分.
满分策略
1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.
2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.
3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.
4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.
5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.
题型技法系列6——分割不规则积分区间，巧求曲边图形面积
[2016·贵州六校联考]求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
[解题视点]作出草图观察可知，所求阴影部分的面积无法用定积分直接表达，所以我们要根据曲线围成的图形特点，进行科学而准确的划分，本题利用x＝1将图形一分为二，为利用定积分求解面积创造了条件．
[解]由得交点A(1,1)．
由得交点B(3，－1)．
故所求面积
S＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋＝.
答题启示
在求不规则图形的面积时，对图形进行分割?或者补形?，目的是把不可求化为可求，它体现了化归与转化思想的应用.
跟踪训练求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．
解由图知
解方程组，得交点(1,1)，解方程组，得交点(3,9)，由此所围图形面积为：
S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝.
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