板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数?正弦、余弦、正切?的定义.
[必备知识]考点1角的概念
1．分类
2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，kZ}．
考点2弧度的定义和公式
1．定义：长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度；(2)弧长公式：l＝；(3)扇形面积公式：S扇形＝和S扇形＝.
正角、负角、零角
象限角和轴线角
半径长
2π
π
|α|r
lr
|α|r2
考点3任意角的三角函数
1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的
y
x
正弦线，余弦线和正切线．
[必会结论]
1．象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
2．任意角三角函数的定义
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．小于90°的角是锐角．()
2．锐角是第一象限角，反之亦然．()
3．若sinα＞0，则α是第一象限角或第二象限角．()
4．相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()
5．将表的分针拨快5min，则分针转过的角度是30°.()
6．若角α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()
×
√
×
×
×
×
二、小题快练
1．[2016·兰州模拟]下列各角与终边相同的角是()
A.πB.π
C．－π D．－π
解析与终边相同的角可以写成＋k·2π，kZ，当k＝－1时，为－π.
2．[课本改编]在半径为4的圆中，150°的圆心角所对的弧长为()
A．6 B．600
C.πD.π
解析150°的弧度数是×150＝π，弧长l＝4×π＝π.
3．[2014·大纲全国卷]已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()
A.B.
C．－ D．－
解析由三角函数的定义知cosα＝＝－.故选D.
4．[课本改编]若角θ满足tanθ＞0，sinθ＜0，则角θ所在的象限是()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析由tanθ＞0知，θ是一、三象限角，由sinθ＜0知，θ是三、四象限角，故θ是第三象限角．
5．[2016·石家庄模拟]已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝()
A. B．－C．1 D．－1
解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝＝＝－1.
考向象限角及终边相同的角
例1(1)设集合M＝，N＝，判断两集合的关系()
A．M＝NB．MNC．NM D．M∩N＝
[解析]解法一：由于M＝
＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.
解法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.
(2)已知角α是第一象限角，试确定2α，终边的位置．
[解]2kπ<α<2kπ＋，kZ，
4kπ<2α<4kπ＋π，
kπ<
∴2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上，角终边在第一或第三象限．
(3)在－720°～0°范围内找出所有与45°角的终边相同的角．
[解]与45°角终边相同的角的集合为
S＝{β|β＝45°＋k×360°，kZ}，
S中适合－720°≤β<0°的元素是：
45°－2×360°＝－675°，
45°－1×360°＝－315°.
延伸探究
本例(2)的条件下，试判断的终边所在的位置．
解2kπ<α<2kπ＋，<<＋.
当k＝3n(nZ)时，2nπ<<2nπ＋(kZ)；
当k＝3n＋1(nZ)时，2nπ＋π<<2nπ＋π(kZ)；
当k＝3n＋2(nZ)时，2nπ＋π<<2nπ＋π(kZ)，
所以的终边在第一、二、三象限．
象限角和终边相同角的判断及表示方法
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(kZ)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
【变式训练1】(1)若α＝k·180°＋45°(kZ)，则α的终边在()
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析当k＝2n(nZ)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．
当k＝2n＋1(nZ)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．
所以α为第一或第三象限角．故选A.
(2)如果角α是第二象限角，则π－α的终边在第________象限．
解析＋2kπ<α<π＋2kπ(kZ)，
－π－2kπ<－α<－－2kπ(kZ)，
－2kπ<π－α<－2kπ(kZ)，
π－α的终边在第一象限．
一
(3)写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解终边在直线y＝x上的角的集合为
.
考向三角函数的定义及其应用任意角的三角函数?正弦、余弦、正切?的定义属于理解内容.在高考中以选择题、填空题的形式出现，考查利用定义求三角函数值，已知角求点的坐标及判断三角函数值的符号等问题.命题角度1利用三角函数定义求三角函数值
例2[2016·三门峡模拟]已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．
[解]P(x，－)(x≠0)，
P到原点的距离r＝.
又cosα＝x，cosα＝＝x，
x≠0，x＝±，r＝2.
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考点视频
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.
当x＝－时，P点坐标为(－，－)，
sinα＝－，tanα＝.
命题角度2利用三角函数的定义求点的坐标
例3若点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动π弧长到达Q点，则Q的坐标为()
A.B.
C. D.
[解析]P，即所求Q点坐标为.
命题角度3判断三角函数值的符号
例4若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是()
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析]角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意，选C项．
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．
(2)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.
【变式训练2】(1)[2016·青岛模拟]已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝()
A．－ B．±C．－ D．±
解析由|OP|2＝＋y2＝1，
得y2＝，y＝±.
当y＝时，sinα＝，tanα＝－，
此时，sinα·tanα＝－.
当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，
此时，sinα·tanα＝－.
(2)若点P(sinθcosθ，cosθ)位于第二象限，则角θ所在的象限是()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析由题意，得所以sinθ＜0，cosθ＞0，故θ是第四象限的角．
(3)[2016·临沂模拟]顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________．
解析由三角函数的定义得A(cos30°，sin30°)，
B(cos60°，sin60°)，即A，B.
所以|AB|＝
＝＝.
考向扇形的弧长、面积公式的应用
例5已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解](1)α＝60°＝rad，
l＝|α|·R＝×10＝cm.
(2)由题意得l＋2R＝20，
l＝20－2R(0
S扇＝l·R＝(20－2R)·R＝(10－R)·R＝－R2＋10R.
当且仅当R＝5时，S有最大值25.
此时l＝20－2×5＝10，α＝＝＝2rad.
当α＝2rad时，扇形面积取最大值．
延伸探究1
若扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角α的值．
解(舍去)，或
扇形圆心角为rad.
延伸探究2
若α＝，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
解设弓形面积为S弓．由题知l＝cm.
S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin＝cm2.
延伸探究3
若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，求弧长l.
解设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝，得r＝4cm，
l＝|α|·r＝×4＝πcm.
弧长和扇形面积的计算方法
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
(3)记住下列公式：l＝αR；S＝lR；S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积.
【变式训练3】[2016·盐城模拟]扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或α＝＝或α＝＝6.
(2)2r＋l＝8，
S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值，
r＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
核心规律
1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中|OP|＝r一定是正值.
2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
满分策略
1.锐角一定是小于90°的角，但小于90°的角不一定是锐角.
2.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等.
3.在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制.
4.已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况.
5.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.
易错警示系列3——三角函数定义的应用错误
[2016·杭州模拟]已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sinα＋5cosα＋4tanα＝________________.
－2或－4
[错解]因为角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则点P到原点的距离r＝＝5t.
由三角函数的定义，得
sinα＝＝－，
cosα＝＝.
tanα＝＝－.
故5sinα＋5cosα＋4tanα＝－3＋4＋(－3)＝－2.
[答案]－2
[错因分析]解题过程错在求r时开方没加绝对值，误以为t＞0而导致漏解．
[正解]因为角α的终边在直线3x＋4y＝0上，所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则点P到原点的距离r＝＝5|t|，
当t＞0时，r＝5t，sinα＝＝－，
cosα＝＝，tanα＝＝－，
所以5sinα＋5cosα＋4tanα＝－3＋4－3＝－2；
当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
所以5sinα＋5cosα＋4tanα＝3－4－3＝－4.
综上，所求值为－2或－4.
答题启示
1.准确利用三角函数的定义,利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P的横、纵坐标及点P到原点的距离，再利用定义求解.2.区分角的终边和角的终边所在的直线,角的终边是射线，若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解.
跟踪训练若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
解设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k.
sinα＝＝－，＝＝.
10sinα＋＝－3＋3＝0.
当k＜0时，r＝－k.
sinα＝＝，＝＝－.
10sinα＋＝3－3＝0.
综上，10sinα＋＝0.
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