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板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三

























1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.

























[必备知识]

考点1y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A

T＝ f＝＝













































































ωx＋φ

























φ



























考点2用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内

的简图时，要找五个特征点

如下表所示．

x





ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0



























































































































































0



















































π





















































2π



























考点3函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤





























[必会结论]

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法

(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．



























[双基夯实]

一、疑难辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．()

2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()

3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．()

4．把y＝sinx的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sinωx的图象，则ω的值为.()

5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(kZ)．()

6．函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()

























×

























√

























√

























×

























×

























×

























二、小题快练

1．[2014·四川高考]为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度

D．向右平行移动1个单位长度

























解析将y＝sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到函数y＝sin＝sin(2x＋1)．故选A.





























2．[2016·柳州模拟]若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝()

A．5 B．4

C．3 D．2

























解析由图象可知，＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.



























3．[课本改编]将y＝2cos的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为()

A．y＝2cos＋2B．y＝2cos＋2

C．y＝2cos－2D．y＝2cos＋2

























解析将y＝2cos的图象平移后得到y＝

2cos＋2＝2cos＋2，故选A.



























4．[课本改编]已知简谐振动f(x)＝2sin

的图象经过点(0,1)，则该简谐振动的初相φ为________．



















































解析函数图象经过点(0,1)，将点(0,1)代入函数表达式可得2sinφ＝1，sinφ＝，|φ|<，φ＝.



























5．[2016·南通一调]将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________．



















































解析将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝sin＝sin的图象，因为该函数是奇函数，且0<φ<π，所以φ＝.



























考向三角函数的图象变换

例1[2015·山东高考]要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

























[解析]y＝sin＝sin，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B.

























延伸探究1

由函数y＝sin的图象作怎样的变换可得y＝sin4x的图象？

























解y＝sin4x＝sin，故将y＝sin向右平移个单位．



























延伸探究2

函数y＝sin向左平移m个单位长度后关于y轴对称，则m的最小正值为________．

























解析y＝sin关于y轴对称，则有4m＋＝kπ＋(kZ)，m＝＋，m的最小正值为.























































两种图象变换的区别

由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值.























【变式训练1】(1)[2016·河南南阳模拟]把函数y＝5sin的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为()

A．y＝5sinx B．y＝5sin

C．y＝5sin D．y＝5sin

























解析把函数y＝5sin的图象向左平移个单位，得y＝5sin＝5sin，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为y＝5sin，故选B.



























(2)将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为________．

























解析将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝tan(ω>0)的图象，与函数y＝tan的图象重合，所以－＝＋kπ(kZ)，所以k＝0时，ω的最小值为.





















































考向求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2[2016·南宁模拟]函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则()



A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝π





















































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考点视频

























[解析]由图象得：T＝4×2＝8，ω＝＝，

代入(－1,1)，得

cos＝1，－＋φ＝2kπ，即φ＝2kπ＋，kZ，

又0≤φ≤π，φ＝.





























确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

(3)求φ，常用方法有：

代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

























【变式训练2】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

的图象如图所示，则f(x)＝__________________.





























解析根据题意，由于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象中相邻最高点之间的距离为一个周期，那么T＝－＝，即T＝，所以＝，故可知ω＝3，同时振幅为2，那么可知当x＝，函数值取得最大值，那么可知×3＋φ＝，φ＝－，那么可知解析式为f(x)＝2sin.



























2sin

























函数y＝Asin?ωx＋φ?的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中档题.命题角度1函数图象与性质的综合问题

例3[2015·课标全国卷]函数f(x)＝

cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()

A.，kZ B.，kZ

C.，kZ D.，kZ





















































[解析]由图象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，mZ，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，mZ，所以函数f(x)＝cos＝cos的单调递减区间为2kπ<πx＋<2kπ＋π，kZ，即2k－
























命题角度2图象变换与性质的综合问题

例4[2015·湖南高考]将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝()

A.B.C. D.

























[解析]由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.



























函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

(1)奇偶性：当φ＝kπ(kZ)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(kZ)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．

(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.

(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)得单调递减区间．

(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(kZ)求解，令ωx＋φ＝kπ(kZ)求得对称中心的横坐标．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(kZ)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(kZ)得其对称轴．

























【变式训练3】(1)[2016·北京模拟]将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()

A.B.

C. D．－



























解析y＝sin(2x＋φ)y＝sin

＝sin，则由＋φ＝＋kπ(kZ)，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.故选B.

























(2)[2016·长春调研]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．



求函数y＝f(x)的解析式；

当x时，求f(x)的取值范围．



















































解由题中图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入得sin＝1，又－<φ<，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin.

由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，

所以－1≤sin≤，

所以f(x)的取值范围是.





























核心规律

1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质求解析式时，若最大值与最小值对应的自变量为x1，x2，则＝|x1－x2|min.通过代入解析式点的坐标解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

























满分策略

1.在三角函数的平移变换中，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|.

2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0对称，则ωx0＋φ＝kπ＋(kZ)，即过函数图象的最高点或最低点，且与x轴垂直的直线为其对称轴.

3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)成中心对称，则ωx0＋φ＝kπ(kZ)，即函数图象与x轴的交点是其对称中心.























题型技法系列8——三角函数模型在实际中的应用

[2014·湖北高考]某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－cost－sint，t[0,24)．

(1)求实验室这一天上午8时的温度；

(2)求实验室这一天的最大温差．

[解题视点]在第(1)问中，可将t＝8直接代入函数解析式求出结果．在第(2)问中，可转化为求函数的最大值与最小值问题，先根据辅助角公式将函数转化为f(t)＝10－2sin，再根据t的范围可求出t＋的范围，依次又可求出sin的范围，最终可求出f(t)的范围，从而可求出最大温差．



























[解](1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.

故实验室上午8时的温度为10℃.

(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，

又0≤t＜24，

所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。



























答题启示

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.























跟踪训练[2016·青岛模拟]电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是()



A．－5安 B．5安C．5安 D．10安



















































解析先由图象求函数的解析式，再由解析式解答．

由图象可知，A＝10，T＝2＝，所以T＝＝，即ω＝100π，

故I＝10sin(100πt＋φ)，

代入点，得10＝10sin，

即sin＝1，

因为0<φ<，所以φ＝，

所以I＝10sin，

当t＝时，I＝10sin＝－5(安)．故选A.