板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
[必备知识]
考点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝ 二倍角的余弦 cos2α＝ 二倍角的正切 tan2α＝
2sinαcosα
cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1
[必会结论]
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanα·tanβ)．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()
2．两角和与差的正切公式中的角α，β是任意的．()
3．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.()
4．sinα±cosα＝sin.()
5.＝tan.()
6．存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()
7．在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()
×
√
×
×
√
×
√
二、小题快练
1．[课本改编]计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()
A.B.
C. D.
解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．[2016·黑龙江阶段考试]已知sinα＝，则cos2α等于()
A．－ B.
C．－ D.
解析本题考查二倍角公式的应用．cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.
3．[2015·重庆高考]若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()
A. B.
C. D.
解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
4．[课本改编]的值为()
A．2＋B．2－
C．2 D.
解析原式＝＝＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.
5．[2015·浙江高考]函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________．
π
解析f(x)＝＋sin2x＋1＝sin＋，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为.
考向给角求值问题
例1(1)[2015·课标全国卷]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()
A．－ B.
C．－ D.
[解析]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(10°＋20°)＝sin30°＝.
(2)[2016·临沂模拟]计算的值为()
A. B.
C．－D．－
[解析]原式＝＝＝＝.
(3)[2013·重庆高考]4cos50°－tan40°＝()
A. B.
C.D．2－1
[解析]4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝
＝＝.
解决给角求值问题的基本思路
对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正、负相消的项，消去求值；
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.
【变式训练1】(1)[2016·南昌质检]＝()
A．－ B.
C．－1D．1
解析＝＝1.
(2)(tan10°－)sin40°的值为()
A．－1B．0
C．1D．2
解析(tan10°－)·sin40°＝·sin40°
＝·sin40°
＝－
＝－＝－1.
(3)计算：tan20°＋4sin20°＝__________.
解析原式＝＋4sin20°
＝＝
＝
＝
＝
＝＝.
考向给值求值问题
例2[2016·常州模拟]已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cosβ的值．
[解](1)α，β，从而－<α－β<.
又tan(α－β)＝－<0，－<α－β<0.
sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
α为锐角，且sinα＝，cosα＝.
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×
＝.
延伸探究1在本例条件下，求sin(α－2β)的值．
解sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，
cosβ＝，sinβ＝.
sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－.
延伸探究2在本例条件下，求tan(2α－β)的值．
解α为锐角，sinα＝，cosα＝，
tanα＝，又tan(α－β)＝－，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝.
三角函数的给值求值问题的破解关键
解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”．
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．
角的变换是求值的关键环节，常用角的变换如下：
α＝2·，α＝(α＋β)－β，
α＝β－(β－α)，＋α＝－，
α＝－等．
【变式训练2】[2015·广东高考]已知tanα＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解(1)tan＝＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝＝1.
考向给值求角问题
例3(1)[2016·江苏徐州质检]已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.
[解]0<β<α<，0<α－β<.
又cos(α－β)＝，
sin(α－β)＝＝.
cosα＝，0<α<，sinα＝.
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝.
0<β<，β＝.
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(2)已知α，β(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．
[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，
0<α<.
又tan2α＝＝＝>0，
0<2α<，
tan(2α－β)＝＝＝1.
tanβ＝－<0，<β<π，
－π<2α－β<0，2α－β＝－.
1．解决给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出要求的角．
2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【变式训练3】[2016·济南模拟]已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
解(1)因为tan＝，所以sinα＝sin＝2sin·cos＝＝＝＝.
(2)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.
由cos(β－α)＝，得0<β－α<.
所以sin(β－α)＝＝，
所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)·sinα＝×＋×＝＝.
由<β<π得β＝π.
核心规律
解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.
满分策略
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
2.在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的.
3.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.
题型技法系列9——三角函数中“角”的转化技巧
[2015·重庆高考]若tanα＝2tan，则＝()
A．1B．2
C．3D．4
[解题视点]本题应着眼于“所求角”与已知角的和差关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[解析]因为tanα＝2tan，
所以＝＝
＝
＝＝＝3.
答题启示三角函数中往往会出现较多的差异角，解题时要注意观察题中角与角之间的和、差、倍、半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，运用角的变换，化复角为单角或想方设法减少未知角的数目，沟通条件与结论中角的联系，使问题顺利解决.
跟踪训练[2016·南京模拟]已知sin＝，x(π，2π)，则＝________.
－
解析因为x(π，2π)，
所以π
又sin＝>0，
所以
所以cos＝－＝－，
cos＝cos＝－sin＝－，
cos2x＝sin＝－sin
＝－2sincos
＝－2××＝，
所以原式＝＝－.
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