板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第3章三角函数、解三角形第6讲简单的三角恒等变换板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换?包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆?.
[必备知识]
[必会结论]
1．辅助角公式
asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，
其中sinφ＝，cosφ＝.
2．tan＝＝.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．1＋sinα＝2,1－sinα＝2.()
2．y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.()
3．若sin＝，则cosα＝－.()
4.＝.()
5．y＝sin2xcos2x的最大值为1.()
6．设sin2α＝－sinα，α，则tan(－α)＝.()
×
√
×
√
×
√
二、小题快练
1．[2016·张家口模拟]计算：tan15°＋＝()
A.B．2
C．4D．2
解析tan15°＋＝＋＝＝＝4.
2．[课本改编]已知cosα＝，α(π，2π)，则cos等于()
A.B．－
C.D．－
解析因为cosα＝，α(π，2π)，所以，所以cos＝－＝－＝－.
3．[2015·合肥质检]若α，tan＝，则sinα＝()
A. B.
C．－D．－
解析由tan＝，得＝，即tanα＝－，又α，所以sinα＝，选A.
4．[2016·合肥模拟]化简：＝________.
解析原式＝＝2cosα.
2cosα
5．[2016·江西模拟]函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
解析因为y＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋，所以最小正周期T＝＝π.
π
考向三角函数式的化简与求值
例1[2014·广东高考]已知函数f(x)＝
Asin，xR，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ，求f.
[解](1)f(x)＝Asin，且f＝，
Asin＝Asin＝A＝3.
点击观看
考点视频
(2)由(1)知f(x)＝3sin，
f(θ)－f(－θ)＝，
3sin－3sin＝，展开得3
－3＝，化简得sinθ＝.
θ∈，cosθ＝.
f＝3sin
＝3sin＝3cosθ＝.
延伸探究1若将本例中的“f(θ)－f(－θ)＝”改为“f(θ)＋f(－θ)＝”，如何求解？
解f(x)＝3sin，f(θ)＋f(－θ)＝，
3sin＋3sin＝，sin－sin＝，2cosθsin＝，即cosθ＝，
f＝3sin＝3cosθ＝1.
延伸探究2若将本例条件改为“f(x)＝Asin，且f＝”，如何求解？
解(1)f＝Asin＝，
A＝，即A＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin，
又f(θ)－f(－θ)＝，
sin－sin＝1，
即sin＋sin＝1.2sinθcos＝1，
sinθ＝.又θ∈，θ＝.
f＝f＝sin＝
sin＝.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.
【变式训练1】已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
解(1)解法一：cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，
cosβ＋sinβ＝，1＋sin2β＝，sin2β＝－.解法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
<β－<π，<α＋β<，
sin>0，cos(α＋β)<0.
cos＝，sin＝，
sin＝，cos(α＋β)＝－.
cos＝cos
＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
考向三角恒等式的证明
例2(1)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β＝________.
[解析]解法一：(从“角”入手，倍角→单角)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
解法二：(从“角”入手，单角→倍角)
原式＝·＋·－cos2α·cos2β
＝(1－cos2α－cos2β＋cos2α·cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－·cos2α·cos2β＝.
(2)[2016·桂林模拟]已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.
[证明]分析角的差异进行变角，2α＋β＝(α＋β)＋α；β＝α＋β－α.sin(2α＋β)＝2sinβ，
sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，
sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα
＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα，
3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα，tan(α＋β)＝3tanα.
三角恒等式证明的两种类型
(1)绝对恒等式的证明要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【变式训练2】(1)[2016·枣庄模拟]化简＝()
A．sinαB．cosα
C．tanα D.
解析原式＝
＝
＝＝tanα.
(2)证明：＝.
证明左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．
原式得证．
考向三角恒等变换的综合应用
例3[2015·北京高考]已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
[解](1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝
－1－.
1．三角函数综合问题的解决方案
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．
2．解决三角变换的综合问题的一般思路
(1)先化简所求三角函数式．
(2)观察已知条件与所求三角函数式之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求三角函数式，化简求值.
【变式训练3】[2016·随州模拟]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)当α时，若f(α)＝，求α的值．
解(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α，所以4α＋.
所以4α＋＝.故α＝.
核心规律
三角恒等变换主要有以下四变
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、正、余弦互化等.
(3)变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公式.
(4)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法通常有：常值代换、逆用或变用公式、通分约分、分解与组合、配方与平方等.
满分策略
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式y＝Asin(ωx＋φ)再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
规范答题系列3——逆向思维构造辅助角公式解题
[2015·天津高考]已知函数f(x)＝sin2x－sin2，
xR.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解题视点]在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数，而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的函数加以解决；化简时，主要应用两角和差公式的逆用、倍角的变用等三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的有关性质解题．
[解](1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以，f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
[答题模板]
第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式．
第二步：构造f(x)＝
.
第三步：和差公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．
化简时公式的准确应用是灵魂；研究三角函数性质时注意整体思想的应用．
答题启示(1)利用asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．
(2)化asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)时φ的求法：tanφ＝；φ所在象限由(a，b)点确定．
跟踪训练[2014·天津高考]已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，xR.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解(1)由已知，有
f(x)＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由x得2x－，
则sin，
即函数f(x)＝sin.
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
|
|
